5.1.2 导数的概念及其几何意义（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及其几何意义，通过复习高台跳水瞬时速度、抛物线切线斜率，从平均变化率过渡到瞬时变化率，从割线斜率过渡到切线斜率，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学抽象提炼导数定义，结合几何意义直观理解斜率与变化快慢，例3变形导数定义考查逻辑推理，例7原油温度、例8汽车加速度培养数学眼光。总结系统且板书突出核心公式，助力学生深化概念与应用，为教师提供结构化资源和多样化例题。

5.1.2 导数的概念及其几何意义（1）P64-P69 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.通过实际背景，探究函数在某处的导数与导函数。 数学抽象 2.应用探究： （1）求某处的导数与导函数； （2）导数的几何意义; （3）实际问题的瞬时变化率（导数）解读. 逻辑推理 数学运算 1分钟（读） 1（2） 一.新课引入：复习 问题1 高台跳水运动员的速度 (2)瞬时速度： 问题2 抛物线的切线的斜率 f(x)=x2 (1)割线斜率： (2)切线斜率： 2（4） 二.概念形成：在某点导数值 (2)瞬时变化率： 概念强化： 1. f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 4. 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 . 问题1 导数f'(x0)的几何意义是什么? x y x0 x0+∆x f(x0) y=f(x) O P • P0 T • 二.概念形成：在某点导数值 问题2 如图比较导数f'(x0)与f'( 几何意义是什么? （2）导数0<f'(x0)<f'( 2（6） 二.概念形成：导数概念 (2)瞬时变化率： 1（7） 二.概念形成：导数概念 1（8） 2（10） 三.概念深化：在某处的导数值与导函数 例1 2（12） 三.概念深化：在某处的导数值与导函数 2（14） 三.概念深化：在某处的导数值与导函数 例2. 求f(x)=x3的导数 y′= 3x2表示函数y=x3的图象上点(x, y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. x y y=x3 O 即 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 练习2. 求函数f(x)=x2的导数 y′= 2x表示函数y=x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x, 说明随着x的变化, 切线的斜率也在变化. y′= 2x表明: 当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y=x2减少得越来越慢； 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大， y=x2增加得越来越快. x y y=x2 O 三.概念深化：在某处的导数值与导函数 3（17） 3（20） 四.应用探究：1求在某处的导数值 例3： 解： 选C 2+1（23） 四.应用探究：1求在某处的导数值 =4 练习3： 解： √ 四.应用探究：2导数几何意义 2+1（26） 例5. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • l3 l4 解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(3)>0. 这时, 曲线在t=t3附近上升, 即函数h(t)在t=t1附近单调递增. (3)当t=t4时, 曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t2)>0. 这时,在t=t2附近曲线上升,即函数h(t)在t=t2附近也单调递增. 从图中可以看出, 直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快. 课本P69 四.应用探究：2导数几何意义 2（28） t1 h t0 O • • t2 • t 例6（课本例4） 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. l2 l1 l0 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 四.应用探究：2导数几何意义 2+1（31） x y 1 2 O • • • 3 练习4. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ). (A) f'(1)>f'(2)>f'(3)>0 (B) f'(1)<f'(2)<f'(3)<0 (C) 0<f'(1)<f'(2)<f'(3) (D) f'(1)>f'(2)>0>f'(3) A 课本P70 四.应用探究：2导数几何意义 2+1（34） 2+1（37） 四.应用探究：2导数几何意义 练习5 (单选）若函数的导函数在区间上是增函数且，则函数 在区间上的图象可能是( ) A 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和 f′(6). 例7 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为 . 计算第2 h与第6 h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 一般地，f'(x0) (0≤x0≤8) 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 四.应用探究：3实际问题，课本P65 解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6). 例8 一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 ，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 四.应用探究：3实际问题，课本P65 练习6. 吹气球时，气球的半径r (单位: dm)与体积V (单位: L)之间的函数关系是 利用信息技术工具，画出0≤V≤5时函数的图象，并根据其图 象估计V=0.6, 1.2 L时，气球的瞬时膨胀率. x y 0.6 1.2 O • • 3 4 5 四.应用探究：3实际问题，课本P70 五总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜5.1.2 导数的概念及其几何意义（1）（导数几何意义，实际问题） 1（40） 1 2 3 1求某处的导数与导函数； 2导数的几何意义; 3实际问题的瞬时变化率（导数）解读. 1导数法 板书设计 4 导数f'(x0)的几何意义是什么? （2）导数0<f'(x0)<f'( x y x0 x0+∆x f(x0) y=f(x) O P • P0 T • (1)平均变化率:＝． ＝． 函数y＝f(x) 导函数的定义 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 函数y＝f(x) (1)平均变化率:＝． ＝． f′(x0)与f′(x)的区别和联系 区别：(1)f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量． (2) f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a, b)内每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a, b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x). 联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一． 例4 设f(x)存在导函数且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．－1　　B．－2 C．1 D．2 解：由 ＝－1，可得f′(1)＝－1， ∴y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝－1. $