6.1.1两角和与差的余弦公式（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.1.1两角和与差的余弦公式 1 学习目标 1.理解两角和与差的余弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征。 2.能够运用两角和与差的余弦公式进行三角函数的求值、化简和简单证明。 3.会用特殊角的三角函数值验证两角和与差的余弦公式。 4.通过对两角和与差余弦公式的探究，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。 5.通过公式的发现和推导过程，激发学生的求知欲和探索精神，培养学生的数学素养。 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 温故知新 3.在基础模块, 我们学习了三角函数的诱导公式： 观察这些公式可以发现, 等式左边都是两个角的和(或差)的三角函数．其中第一个角是特殊角, 第二个角α是任意角． 如果这两个角都是任意角, 那么它们的和(或差)的三角函数又是怎样的呢？ 温故知新 问题2 ： 如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α一β)？ 问题导入 问题1 ： 等式 cos(α一β)＝ cosα一cosβ成立吗？ 请举例验证 例如： cos30°= cos(90°一60°)＝ cos90°一cos60°？ 现实中, 很多与三角函数有关的实际问题常常涉及两个任意角的和(或差)的三角函数．为此, 我们进一步学习两角和与差的三角函数公式． 问题导入 早在公元2世纪, 人们就推导出了两角和与差的余弦公式．   随着时间的推移和研究的深入, 现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法．那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？ cos(α+β)=cos α cos β-sin α sin β, cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β ． 情境导入 则有点P1(1, 0)、 P2(cosα, sin α)、 P3(cos β, sinβ)、 P4(cos (β-α), sin (β-α))． 探索新知 如图所示, 设单位圆与x轴的交点为P1, 角α、β和β-α的终边与单位圆的交点分别为P2、P3和P4, 当P2、O、P3不在同一条直线上时, ∠P2OP3=∠P4OP1=α-β, 且 |OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1, 因此 △P2OP3≌△P1OP4, 所以 | P2P3|=| P1P4|． 当P2、O、P3在同一条直线上时, 容易看出也有| P2P3|=| P1P4|． 探索新知 根据两点之间的距离公式, 可得 = 整理可得 cos(β-α)=cos βcos α+sin βsinα 探索新知 | P2P3|=| P1P4| 由诱导公式cos(-α)=cosα , 可得 cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β 在上式中, 以-β代替β, 可得 cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinα sin(-β), 即 cos(α+β)=cos α cos β-sin α sin β 探索新知 两角和与差的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 探索新知 (1)公式的结构特点 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式； 探索新知 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 公式的左边是和角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差式； 可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式中的角α，β 公式中的角α，β不仅可以是任意具体的角，而且可以也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的α，“”相当于公式中的β. 探索新知 (3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cos α＝cos[(α＋β)－β]． 探索新知 例1 求cos15°的值 解 cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° = × + × = 典型例题 例2 已知sinα = , cosβ = , 并且α和β都是第一象限角, 求cos(α+β)的值 解 因为sinα = , cosβ = , 并且α和β都是第一象限角, 所以 cosα = = , sinβ = = 因此cos(α+β)= cosαcosβsinαsinβ = ×× =- 典型例题 例3 证明：cos =sinα 证明 因为cos = cos cosβsin sinβ sinα =0·cosα+1·sinα =sin , 所以 cos =sinα 典型例题 探究与发现 化简 （1）cos(α-β) cosβ-sin(α-β)sinβ ; （2）cos(α+β) cosβ+sin(α+β)sinβ （1）cos(α-β) cosβ-sin(α-β)sinβ=cos((α-β)+β)=cosα; （2）cos(α+β) cosβ+sin(α+β)sinβ=cos((α+β)-β)=cosα. 根据两角和与差的余弦公式，有 1．求下列各式的值 （1） cos105° ; 巩固练习 解：(1)cos105°=cos(60°+45°) =cos60°cos45°-sin60°sin45° =-× = 1．求下列各式的值 （2） cos75° ; 巩固练习 解：(2)cos75°=cos(30°+45°) =cos30°cos45°-sin30°sin45° =-× = 1．求下列各式的值 （3） cos55°cos10°+sin55°sin10° ; 巩固练习 解：(3)原式=cos(55°-10°) =cos45° = 1．求下列各式的值 （4） cos²22.5°-sin²22.5° 巩固练习 解：(4)原式=cos(22.5°+22.5°) =cos45° = 2．已知sinα = , 且α∈, 求cos 、 cos的值． 巩固练习 解：根据同角三角函数间的关系， cosα==±， 又∵α∈ ∴cosα=-， cos =coscos-sinsin =(-)- =- 同理，cos= 3．证明： cos =sinα 巩固练习 解：原式=coscos-sinsin =cos-×sin =sinα 归纳汇总 两角和与差的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 作业布置 1.完成6.1.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ $