6.1.1两角和与差的余弦公式（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章 三角计算 6.1.1两角和与差的余弦公式 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是在学生已经学习了任意角的三角函数、同角三角函数基本关系及诱导公式等知识的基础上，对三角函数知识的进一步深化和拓展。两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的重要基础，为后续学习两角和与差的正弦、正切公式，以及二倍角公式等内容提供了知识和方法上的准备。教材通过具体实例引入，引导学生从特殊到一般进行探究，逐步推导出公式，体现了数学的逻辑性和严谨性。同时，公式在解决三角函数求值、化简及证明等问题中有着广泛的应用，能够培养学生的数学运算、逻辑推理和数学建模等核心素养，对于中职学生未来学习专业课程和解决实际问题具有重要意义。 五、学情分析 从知识层面来看，学生已经掌握了任意角的三角函数定义、同角三角函数基本关系和诱导公式等基础知识，具备了一定的三角函数运算能力。但中职学生数学基础相对薄弱，抽象思维和逻辑推理能力有待提高，对于公式的推导过程可能存在理解困难。从学习特点来看，学生学习兴趣差异较大，部分学生对数学学习存在畏难情绪，需要教师通过生动的情境、直观的演示和循序渐进的引导来激发学习兴趣。此外，中职学生更注重知识的实用性，教师在教学过程中应结合生活实例或专业相关案例，让学生体会数学的应用价值，从而提高学习的主动性和积极性。 六、教学目标 1.理解两角和与差的余弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征。 2.能够运用两角和与差的余弦公式进行三角函数的求值、化简和简单证明。 3.会用特殊角的三角函数值验证两角和与差的余弦公式。 4.通过对两角和与差余弦公式的探究，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。 5.通过公式的发现和推导过程，激发学生的求知欲和探索精神，培养学生的数学素养。 七、教学重点 两角和与差的余弦公式的推导及应用。 八、教学难点 1.两角和与差的余弦公式的推导过程； 2.公式中角的任意性及符号的确定。 十、教学方法 情境教学法：通过创设问题情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 引导发现法：引导学生从特殊角的三角函数值入手，逐步探究公式的结构特征，培养学生的自主探究能力。 讲练结合法：通过教师讲解和学生练习相结合，帮助学生巩固所学知识，提高应用能力。 多媒体辅助教学法：利用多媒体课件展示公式推导过程、例题和练习，增强教学的直观性和生动性。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 导入 温故知新 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 3.诱导公式的复习 问题：如果这两个角都是任意角, 那么它们的和(或差)的三角函数又是怎样的呢？ 问题1 ： 等式 cos(α-β)＝cosα-cosβ成立吗？ 请举例验证 例如： cos30°= cos(90°-60°)＝cos90°-cos60°？ 问题2 ： 如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α-β)？ 从已学知识入手，复习旧知，更好地学习、运用新知。 探索新知 如图所示, 设单位圆与 x轴的交点为 P1,角 α、β 和 β-α的终边与单位圆的交点分别为 P2 、P3 和 P4, 则点 P1 、P2 、P3 、P4 的坐标分别为(1, 0) 、(cosα, sin α) 、(cosβ, sinβ)、(cos (β-α), sin (β-α))． 当 P2 、O 、P3 不在同一条直线上时, ∠P2OP3=∠P4OP1=α-β,且如图所示, 设单位圆与 x 轴的交点为 P1,角 α、β 和 β-α的终边与单位圆的交点分别为 P2 、P3 和 P4, 则点 P1 、P2 、P3 、P4 的坐标分别为(1, 0) 、(cosα, sin α) 、(cosβ, sinβ)、(cos (β-α), sin (β-α))． 当 P2 、O 、P3 不在同一条直线上时, ∠P2OP3=∠P4OP1=α-β, 且|OP1 |=|OP2 |=|OP3 |=|OP4 |=1, 因此 △P2OP3 ≌△P1OP4,所以| P2P3 |=| P1P4 |． 当 P2、O、P3 在同一条直线上时, 容易看出也有| P2P3 |=| P1P4 |． 根据两点之间的距离公式, 可得 = · 整理可得, cos(β-α)= cosβ·cosα+sinβ·sinα . 由诱导公式 cos(-α)=cosα, 可得 cos(α-β)= cosα·cosβ+sinα·sinβ . 在上式中,以-β 代替 β, 得到 cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsinβ即 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ . 于是, 我们得到两角和与差的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 公式解读： (1)公式的结构特点：余余正正号相反； (2)公式中的角α，β：可以是任意角，任意形式； (3)公式的灵活应用 利用解析法研究两角和与差的余弦公式,解析法对近代数学的机械化证明提供了有力的工具．后续正弦、余弦定理以及三角形面积公式的证明都采用了这种方法 典型例题 例1求cos15°的值． 解cos15°=cos(45°−30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30°。 。 。 。 例2已知设sin,cos并且α和β都是第一象限角,求cos(α+β)的值． 解：因为sincos,并且α和β都是第一象限角,所以 因此 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 例3证明：cossinα. 证明：因为cos 所以cossinα. 探究与发现 化简． （1）cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ; （2）cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ. （结果见PPT） 巩固练习 练习6.1.1 1．求下列各式的值． （1）cos105°;（2）cos75°; （3）cos55°cos10°+sin55°sin10°;（4）cos²22.5°-sin²22.5°. 2．已知sin,且,求cos、cos的值． 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 两角和与差的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.1.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.1.1两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课的教学围绕两角和与差的余弦公式展开，通过复习回顾、情境引入、探究推导、例题讲解和巩固练习等环节，引导学生逐步掌握公式。在教学过程中，注重激发学生的学习兴趣，通过特殊角的计算引导学生猜想公式，再利用单位圆进行推导，体现了从特殊到一般的认知规律。例题和练习的设计由浅入深，有助于学生巩固所学知识。 然而，在实际教学中可能存在以下问题：一是部分学生对公式推导过程中的单位圆知识应用不够熟练，导致理解困难；二是学生在应用公式时，容易忽略角的范围对三角函数值符号的影响，出现计算错误；三是课堂时间有限，对于公式的灵活应用和拓展练习可能不够充分。 针对以上问题，在今后的教学中应注意以下几点：一是加强对单位圆等基础知识的复习和巩固，为公式推导做好铺垫；二是在例题和练习中增加对角的范围的讨论，帮助学生养成严谨的解题习惯；三是合理安排教学时间，适当增加课堂练习量，或通过课后拓展资源引导学生进一步提高应用能力。此外，还可以结合中职学生的专业特点，设计更多与专业相关的实例，提高学生的学习兴趣和应用意识。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $