6.1.2两角和与差的正弦公式（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.1.2两角和与差的正弦公式 1 学习目标 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征和记忆方法。 2.能够运用两角和与差的正弦公式正确进行三角函数的化简、求值和简单证明。 3.初步学会运用公式解决与三角函数相关的简单实际问题，提高知识的应用能力。 4.通过对两角和与差余弦公式的回顾与变形，引导学生经历公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和转化与化归思想。 5.通过公式的推导和应用，感受数学知识的内在联系和严谨性，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣。 上一节学习了α±β的余弦, 即cos(α±β)可以用α、β的正弦、余弦来表示 情境导入 那么, α±β的正弦sin(α±β)是否也可以用α、β的正弦、余弦来表示呢？ 两角和与差的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 由sinx =cos , 有 sin(α+β) = = = = sinαcosβ+cosαsinβ, 即 sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ 探索新知 在上式中, 用-代替, 可得 sin 即 sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ 探索新知 sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ 两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ Sα+β sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ Sα-β 探索新知 (1)公式的结构特点 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 公式的左边是和角的正弦，右边的式子是含有正余函数之积与余正函数之积的和式； 探索新知 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 公式的左边是差角的正弦，右边的式子是含有正余函数之积与余正函数之积的差式； 可用口诀“正余余正号相同”记忆公式． (2)公式中的角α，β 公式中的角α，β不仅可以是任意具体的角，而且可以也可以是一个“团体”，如s中的“”相当于公式中的α，“”相当于公式中的β. 探索新知 (3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如sinα＝sin[(α＋β)－β]． 探索新知 例4 求sin15°的值 解 sin15°=sin(60°-45°) =sin60°cos45°-cos60°sin45° =× - = 典型例题 你还有其它解法吗？ 【一题多解】 求sin15°的值 解 sin15°=sin(45°-30°) =sin45°cos30°-cos45°sin30° =× - = 典型例题 例5 已知sinα = , cosβ =, 并且α和β都是第二象限角, 求sin(α+β)的值 解 因为sinα = , cosβ =, 并且α和β都是第一象限角, 所以 cosα =-=-, sinβ = = 因此 sin(α+β)= sinαcosβcosαsinβ = =- 典型例题 解（1） sin80°cos10°+ cos80°sin10° =sin(80°+10°) =sin90° =1; 例6 求下列各式的值 （1） sin80°cos10°+ cos80°sin10°; 典型例题 例6 求下列各式的值 （2） 解（2） =+ =sin() =sin45° = 试一试 逆向使用共往往会带来新的思路, 使问题变简单．请尝试用两角和的余弦公式解决问题（2） ． 典型例题 【一题多解】 用两角和的余弦公式解决问题: 解: =+ =cos() =cos45° = 典型例题 方法总结 两角和与差的正弦、余弦公式 【易错点提醒】 1.符号错误：注意和差公式中符号的区别； 2.函数对应错误：sin用sincos，cos用coscos； 3.角度范围：注意公式的适用范围，对任意角都成立； 4.公式变形：灵活运用公式，正向、逆向都要熟练. 1．求sin105°的值 巩固练习 解：sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+ cos60°sin45° =× + = 2．求下列各式的值 （1） sin5°cos25°+ cos5°sin25°; 巩固练习 解：原式=sin(5°+25°) =sin30° = 2．求下列各式的值 （2） sin70°cos10°- cos70°sin10°; 巩固练习 解：原式=sin(70°-10°) =sin60° = 2．求下列各式的值 （3） 巩固练习 解：原式=- =sin() =sin(-) =-sin = 2．求下列各式的值 （4） 巩固练习 解：原式=- =sin() =sin(-) =-sin = 3．已知sinα=, cosβ=, 且都是第三象限角, 求sin(α+β)和sin(α-β)的值 巩固练习 解 因为sinα = , cosβ =, 并且α和β都是第三象限角, 所以 cosα =-=-, sinβ = =- 因此 sin(α+β)= sinαcosβcosαsinβ = = sin(α-β)= sinαcosβcosαsinβ = = 4. 已知sinα = , cosβ =, 并且α和β都是第二象限角, 求sin(α-β)的值 解：因为sinα = , cosβ =, 并且α和β都是第一象限角, 所以 cosα =-=-, sinβ = = 因此 sin(α-β)= sinαcosβcosαsinβ = = 典型例题 归纳汇总 两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ Sα+β sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ Sα-β 作业布置 1.完成6.1.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ $