6.1.2两角和与差的正弦公式（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章和角公式 6.1.2两角和与差的正弦公式 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《两角和与差的正弦公式》位于三角函数知识体系的核心位置，它承接了学生已学的任意角的三角函数、同角三角函数基本关系及诱导公式，是对三角函数运算规律的进一步深化和拓展。教材通过具体实例引入课题，引导学生从已有的两角和与差的余弦公式出发，通过诱导公式进行推导，体现了数学知识的逻辑性和连贯性。该公式不仅是解决三角函数化简、求值、证明等问题的重要工具，也为后续学习二倍角公式、三角函数的图像与性质等内容奠定了坚实基础。同时，公式的推导过程蕴含了转化与化归、数形结合等重要数学思想方法，有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思维品质，在中职数学教学中具有承上启下的关键作用。 五、学情分析 从知识基础来看，学生已经学习了任意角的三角函数定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式以及两角和与差的余弦公式，对三角函数的符号变化、公式结构有了一定的认识，具备了推导新公式的潜在知识储备。但中职学生数学基础相对薄弱，抽象思维能力和逻辑推理能力有待提高，对复杂公式的推导过程容易产生畏难情绪。在学习习惯方面，部分学生缺乏主动探究精神，习惯于被动接受知识，需要教师通过问题引导和情境创设激发其学习兴趣。此外，学生对知识的应用意识不强，将数学公式与实际问题联系起来的能力不足。因此，在教学过程中，应注重从学生已有知识出发，降低推导难度，通过直观演示和阶梯式问题设计，引导学生逐步参与公式的推导过程，并通过实例强化公式的应用，帮助学生克服学习障碍，提升学习信心。 六、教学目标 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征和记忆方法。 2.能够运用两角和与差的正弦公式正确进行三角函数的化简、求值和简单证明。 3.初步学会运用公式解决与三角函数相关的简单实际问题，提高知识的应用能力。 4.通过对两角和与差余弦公式的回顾与变形，引导学生经历公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和转化与化归思想。 5.通过公式的推导和应用，感受数学知识的内在联系和严谨性，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣。 七、教学重点 1.两角和与差的正弦公式的推导过程及公式的记忆。 2.运用两角和与差的正弦公式进行三角函数的化简、求值。 八、教学难点 1.两角和与差的正弦公式的推导思路的形成（如何从余弦公式转化到正弦公式）。 2.公式的灵活运用，特别是在复杂问题中公式的选择和角的拆分与组合。 9、 教学方法 引导发现法：通过复习两角和与差的余弦公式，设置问题情境，引导学生思考如何用余弦公式表示正弦公式，激发学生的探究欲望，逐步引导学生自主推导公式。 讲练结合法：在公式推导完成后，通过教师讲解例题，学生进行练习，及时巩固所学知识，加深对公式的理解和应用能力。 小组讨论法：对于一些有难度的问题或开放性问题，组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流合作，共同解决问题，培养学生的合作精神和表达能力。 多媒体辅助教学法：利用PPT、几何画板等多媒体工具，展示公式推导过程、图像变化以及例题解析，使教学内容更加直观生动，提高课堂教学效率。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 复习两角和与差的余弦公式,并提出问题:sin(α±β)是否也可以用α、β的正弦、余弦来表示呢？ 引导学生发现问题 探索新知 由sinx=cos(-x),有 sin(α+β)= cos[-(α+β)] =cos[ (-α)-β] =cos(-α)cosβ)+sin(-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ, 即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ． 在上式中,用-β代替β,可得 sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β),即 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 于是,我们得到两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβSα+β sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβSα-β 公式解读： （1） 公式的结构特点：正余余正号相同； （2） 公式中的角α，β：任意角，任意形式； （3）公式的灵活应用 借助两角和的余弦公式对角两角和的正弦公式,强调知识间的的联系 典型例题 例4求sin15°的值． 解：sin15°=sin(60°-45°) =sin60°cos45°-cos60°sin45° 例5已知sincos,并且α和β都是第二象限角,求sin(α+β)的值． 解因为sincos并且α和β都是第一象限角,所以 因此 例6求下列各式的值． （1）sin80°cos10°+cos80°sin10°; 解（1）sin80°cos10°+cos80°sin10° =sin(80°+10°) =sin90°=1; =sin15°cos30°+cos15°sin30° 试一试 逆向使用共往往会带来新的思路,使问题变简单．请尝试用两角和的余弦公式解决问题（2）． （详解见PPT） 方法总结 两角和与差的正弦、余弦公式 【易错点提醒】 1.符号错误：注意和差公式中符号的区别； 2.函数对应错误：sin用sincos，cos用coscos； 3.角度范围：注意公式的适用范围，对任意角都成立； 4.公式变形：灵活运用公式，正向、逆向都要熟练. 例4直接应用公式,也可用45°与30°的差 例5设计已知一个正弦或余弦值求余弦或正弦值 例6逆向使用公式 巩固练习 练习6.1.2 1．求sin105°的值． 2．求下列各式的值． （1）sin5°cos25°+cos5°sin25°; （2）sin70°cos10°-cos70°sin10°; 3．已知sincos,且α、β都是第三象限的角,求sin(α+β)和sin(α-β)的值． 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ Sα+β sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ Sα-β 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.1.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.1.2两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ Sα+β sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ Sα-β 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处：本节课从学生已有的两角和与差的余弦公式和诱导公式入手，通过问题引导，自然地过渡到两角和与差的正弦公式的推导，符合学生的认知规律，降低了推导难度。在公式推导过程中，充分调动学生的积极性，让学生参与到公式的推导中来，加深了对公式的理解。例题和练习的设计由浅入深，既有基础题巩固公式，又有提高题拓展思维，兼顾了不同层次学生的需求。课堂小结和作业布置也比较合理，能够帮助学生梳理知识，巩固所学。 不足与改进：在公式推导过程中，部分学生对从转化到这一步的思路不够清晰，今后教学中可以提前铺垫更多关于诱导公式应用的练习，帮助学生建立角之间的转化意识。课堂练习的时间略显紧张，部分学生未能完成提高练习，下次可以适当调整各环节时间分配，或在课后通过小组讨论的形式继续完成。此外，对于公式的灵活应用，如角的拆分（如将75°拆分为45°+30°），部分学生掌握不够熟练，需要在后续练习中加强训练。 学生反馈：通过课堂观察和学生练习情况来看，大部分学生能够理解公式的推导过程，并基本掌握公式的简单应用，但在复杂问题中公式的选择和角的处理上仍存在困难。后续教学中应加强对学生数学思维能力的培养，引导学生多思考、多总结，提高知识的迁移和应用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $