6.1.3两角和与差的正切公式（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.1.3两角和与差的正切公式 1 学习目标 1.理解两角和与差的正切公式的推导过程，掌握公式的结构特征和记忆方法。 2.能够运用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式求值、化简与证明。 3.会运用公式解决与角的正切相关的简单实际问题。 4.通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力、代数运算能力以及转化与化归的数学思想。 5.通过对公式推导过程的探索，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性。 1.两角和、差的余弦公式: 2.两角和、差的正弦公式: 复习回顾 3 是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢? 思考: 2.原式可化为: 1.将正切转化为正余弦: 代入 问题导入 4 由公式Cα+β、Sα+β和tanα= 可得 tan(α+β)= 当≠0时, 得到 tan(α+β) 将公式中替换为替, 可得 tan(αβ) 探索新知 两角和与差的正切公式： tan(α+β) Tα+β tan(αβ) Tα-β 公式中α、β的取值应使分式有意义 探索新知 公式解读： 1.两角和与差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和（差）与1减（加）两角正切的积的比. 3.公式成立的条件是：式子有意义且分母不为0，即： ( )且 ( )且 ( ). 探索新知 探索新知 注意： 1.必须在定义域范围内使用上述公式. 即：tanα，tanβ，tan(α+β)，tan(α-β)只要有一个不存在就不能使用这个公式. 2.注意公式的结构，尤其是符号. 8 探索新知 正切公式的变形结论： 例7 求tan15°的值 解 tan15°=tan(45°-30°) = = = = 2- 典型例题 解 = 例8 已知tanα= 值 典型例题 解 （1） 例9 求下列各式的值 （1） ; 典型例题 例9 求下列各式的值 （2） 解 （2） 读一读 灵活应用=1可以达到简化解题的目的 ． 典型例题 拓展训练 【已知正切求角】 【已知正切求角】 拓展训练 拓展训练 【已知正切求角】 1．求下列各式的值 （1） tan75°; 巩固练习 解: tan75°=tan(45°+30°) = = = 2+ 1．求下列各式的值 （2） tan105° ; 巩固练习 解: tan105°=tan(45°+60°) = = = -(2+ 1．求下列各式的值 （3） ; 巩固练习 解：原式=tan() =tan =1 1．求下列各式的值 （4） 巩固练习 解：原式= =tan() =tan =1 2．已知, , 求tan(x+y)和tan(xy)的值 巩固练习 解：tan(x+y)= = =-1 tan(x-y)= = =- 3．： tan 巩固练习 证明：tan= = 原等式成立. 巩固练习 归纳汇总 两角和与差的正切公式： tan(α+β) Tα+β tan(αβ) Tα-β 作业布置 1.完成6.1.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．　 已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜，＜β＜π. (1)求tan(α－β)； (2)求α＋β的值． 解：(1)因为tan α＝2，tan β＝－， 所以tan(α－β)＝＝＝7. 解：(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1， 又因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，在与之间，只有的正切值等于1.所以α＋β＝. 已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜，＜β＜π. (1)求tan(α－β)； (2)求α＋β的值． 解决给值求角(值)问题的常用策略 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　 4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan. 解：tan＝tan ＝ ＝＝. $