6.1.3两角和与差的正切公式（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章 和角公式 6.1.3两角和与差的正切公式 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是三角函数章节的重要内容。在此之前，学生已学习了同角三角函数基本关系、诱导公式以及两角和与差的正弦、余弦公式，为本节课的学习奠定了知识基础。两角和与差的正切公式是两角和与差三角函数公式体系的重要组成部分，它不仅完善了三角函数的运算体系，也为后续学习二倍角公式、三角恒等变换等内容提供了关键工具。教材通过从已学公式出发进行推导，体现了数学知识的逻辑性和系统性；通过例题和练习，强调公式在求值、化简和证明中的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理能力。学好本节课，有助于学生进一步体会数学思想方法（如转化与化归、数形结合），提升分析和解决问题的能力，同时也能为专业课程中涉及的三角计算问题提供数学支持。 五、学情分析 从知识层面看，学生已经掌握了同角三角函数的商数关系（tanα = sinα/cosα）以及两角和与差的正弦、余弦公式（sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ），这是推导两角和与差正切公式的直接理论依据。从能力层面看，中职一年级学生已经具备一定的代数运算能力和逻辑推理能力，但在公式的灵活运用、解题思路的构建以及数学思想方法的体会上仍有不足。部分学生对抽象的数学公式推导可能存在畏难情绪，需要教师通过问题引导、步骤分解等方式降低难度。此外，中职学生更注重知识的实用性，因此在教学中结合生活或专业相关的实例（如机械加工中的角度计算等），可以提高学生的学习兴趣和参与度。同时，学生之间存在个体差异，需要设计分层练习，满足不同学生的学习需求。 六、教学目标 1.理解两角和与差的正切公式的推导过程，掌握公式的结构特征和记忆方法。 2.能够运用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式求值、化简与证明。 3.会运用公式解决与角的正切相关的简单实际问题。 4.通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力、代数运算能力以及转化与化归的数学思想。 5.通过对公式推导过程的探索，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性。 七、教学重点 1.两角和与差的正切公式的推导及公式的结构特征。 2.运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明。 八、教学难点 1.两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是公式的逆用和角的拆分。 2.公式成立的条件（即公式中涉及的各正切值有意义）的理解与应用。 9、 教学方法 讲授法：用于公式的推导过程讲解、重点知识强调以及解题方法指导，确保知识的系统性和准确性。 引导发现法：通过设置问题链，引导学生自主思考、逐步推导两角和与差的正切公式，激发学生的主动性和探究性。 练习法：通过不同层次的练习题，让学生巩固所学知识，掌握公式的应用方法，提升解题技能。 小组讨论法：针对一些综合性问题或解题思路的拓展，组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作，集思广益。 多媒体辅助教学法：利用PPT、几何画板等工具，展示公式推导过程、例题解析、图形辅助等，使教学内容更直观、生动，提高课堂效率。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 复习回顾 复习两角和与差的余弦、正弦公式，提出问题： 我们知道,α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示,那么α±β的正切tan(α±β),能否用α、β的正切来表示呢？ 提出问题引发思考 探索新知 由公式Cα+β、Sα+β和tan,可得 当cosαcosβ≠0时,得到 将公式中的β替换成-β,可得 于是,我们得到两角和与差的正切公式： 公式中α、β的取值应使分式有意义． 公式解读及正切公式的变形（详见PPT） 典型例题 例 7 求 tan15°的值． 解 tan15°=tan(45°-30°) 例 8 已知 tan 求 tan 值． 解 tan 例 9 求下列各式的值． （1） （2） ． 解（1） tan =tan(45°+15°)=tan60°= ． 读一读 灵活应用 tan45°=1 可以达到简化解题的目的． Sα±β 、Cα±β 、Tα±β 三组公式统称和角公式．应用和角公式可以计算三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式． 例7是直接应用公式解决问题 例8是逆向使用公式和公式应用的特殊形式 例9与例8（2）相呼应 巩固练习 练习 6.1.3 1． 求下列各式的值． （1）tan75°; （2） tan105°; （4） ． 2 . 已知 tanx=2, tany=3, 求 tan(x+y)和tan(x-y)的值． 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 两角和与差的正切公式： 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.1.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.1.3两角和与差的正切公式 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处： 本节课通过复习回顾已学公式自然引入新课，符合学生的认知规律，为公式推导做好了铺垫。在公式推导过程中，充分发挥了学生的主体作用，通过问题引导，让学生自主参与推导过程，加深了对公式的理解和记忆。例题和练习的设计由浅入深，层次分明，既巩固了基础知识，又提高了学生的综合应用能力，兼顾了不同层次学生的需求。板书设计条理清晰，重点突出，有助于学生梳理知识脉络。 不足之处： 部分学生在公式推导过程中，对分子分母同时除以cosαcosβ这一步的理解不够透彻，可能需要更细致的引导和解释。对于公式成立的条件，虽然进行了强调，但在练习中涉及较少，学生可能重视程度不够，后续练习中应增加相关辨析题。课堂时间分配上，推导公式和例题讲解占用时间较多，导致部分学生的练习时间略显仓促。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $