5.3.2积、商、幂的对数（课件）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

5.3.2积、商、幂的对数 1 学习目标 1.理解并记忆积、商、幂的对数运算性质； 2.能运用上述性质进行简单的对数运算； 3.掌握“利用对数性质简化运算”的基本思路，能解决与职业相关的简单问题； 4.通过“观察实例—猜想性质—逻辑证明—应用验证”的过程，体会数学的严谨性和转化思想； 5.感受对数运算在简化复杂计算中的作用，体会数学的工具性和实用性. 一、对数定义 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 （1）0和负数没有对数 （2）1对数等于0 （3）底数的对数等于1 复习回顾 二、指数运算法则 复习回顾 求下列各式的值： 猜想:它们之间的关系？ 问题导入 根据计算结果发现有如下关系： 问题导入 你发现什么规律？ 猜想可能有如下式子成立： 问题导入 怎么证明呢？ 设M>0, N>0, a>0且a≠1, logaM=p, logaN=q, 根据对数式和指数式的关系有 ap=M,aq=N． 所以 MN = ap·aq = ap+q, 其对数式 loga(MN)=p+q=logaM+logaN． 探索新知 积的对数 设M>0, N>0, a>0且a≠1, logaM=p, logaN=q, 根据对数式和指数式的关系有 ap=M,aq=N． 因为 = = ap-q , 所以, 其对数式 loga= p-q=logaM-logaN ． 探索新知 商的对数 设M>0, N>0, a>0且a≠1, logaM=p, logaN=q, 根据对数式和指数式的关系有 ap=M,aq=N． M n=(ap)n= apn(n为任意实数), 所以, 其对数式 logaMn=np=nlogaM． 探索新知 幂的对数 综上, 对数运算有如下运算法则： 其中, M > 0, N > 0, a>0且a≠1, n为任意实数． （1）loga(MN)=logaM+logaN; （2） loga= logaM -logaN ; （3） logaMn =nlogaM ． 探索新知 积的对数等于各个因式对数的和 商的对数等于被除式的对数减去除式的对数 幂的对数等于幂指数乘以幂底数的对数 (1) (其中c>0，且c≠1). (2) . 探索新知 补充：换底公式 例4 计算下列各式的值． （1） lg2+ lg5;（2） log26-log23 ;（3）log5 +ln e5 ． 解 （1） lg2+ lg5 =lg(2×5) = lg 10 =1; 典型例题 例4 计算下列各式的值． （1） lg2+ lg5;（2） log26-log23 ;（3）log5 +ln e5 ． 解（2） log26-log23 =log2 = log22 =1; 典型例题 例4 计算下列各式的值． （1） lg2+ lg5;（2） log26-log23 ;（3）log5 +ln e5 ． 解（3） log5 +ln e5 =log55-4 +5lne =-4log55-4 +5lne = -4 +5=1 ． 典型例题 例5 已知 x>0, y>0, z>0, 用lgx、lgy、lgz表示下列各式． （1） lgx²y ;（2）lg ;（3）lgx+lg． 解 （1） lgx²y =lgx²+lgy =2lgx+lgy; 典型例题 例5 已知 x>0, y>0, z>0, 用lgx、lgy、lgz表示下列各式． （1） lgx²y ;（2）lg ;（3）lgx+lg． 解 （2）lg lg(yz) (lgy+lgz) lgy-lgz; 典型例题 例5 已知 x>0, y>0, z>0, 用lgx、lgy、lgz表示下列各式． （1） lgx²y ;（2）lg ;（3）lgx+lg． 解 （3）lgx+lg ． 典型例题 如何将log35分别用常用对数和自然对数表示？ 探究与发现 解答：将log35用常用对数（以10为底的对数，记为lg）表示时，根据换底公式logab=（其中(c>0)且c≠1）， 令a=3，b=5，c=10，可得log35=。 用自然对数（以无理数(e)为底的对数，记为ln）表示时， 同样依据换底公式，令c=e，则有log35=。 1．用lgx、lgy、lgz表示下列各式． （1）lg; （2）lg(xy)+lgz ;（3）lg ． 巩固练习 解：（1）lg =lg =lg 1．用lgx、lgy、lgz表示下列各式． （1）lg; （2）lg(xy)+lgz ;（3）lg ． 巩固练习 解：（2）lg(xy)+lgz =lg 1．用lgx、lgy、lgz表示下列各式． （1）lg; （2）lg(xy)+lgz ;（3）lg ． 巩固练习 解：（3）lg =lg+lg =lg+lg-lg 2．计算下列各式的值. （1） log2(47×25); （2） lne2; （3）log27+ lg ． 巩固练习 解：（1）log2(47×25) =log2(47)+log2(25) =log2((22)7)+5 =log2(214)+5 =14+5 =19 解：（2）lne2 =2lne =2×1 =2 2．计算下列各式的值. （1） log2(47×25); （2） lne2; （3）27+ lg ． 巩固练习 解：（3）27+ lg =(33)+(−2)lg10 =log33+(−2)×1 =6×1−2 =4 3．设a=ln2, b=ln3, 试用a, b表示 ． 巩固练习 解：ln=ln108 =ln（22×33） =ln22+ln33 =ln2+ln3 归纳汇总 （1）loga(MN)=logaM+logaN; （2） loga= logaM -logaN ; （3） logaMn =nlogaM ． 积、商、幂的对数: 作业布置 1.完成5.3.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 $