5.3.1对数的概念（教案）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块下册》 第五章 指数函数与对数函数 5.3.1 对数的概念 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是在学生已经学习了指数概念、指数幂的运算性质以及指数函数的基础上，为了解决“已知底数和幂的值，求指数”这一实际问题而引入的全新数学概念。对数概念的引入，不仅完善了指数与对数之间的互逆关系，构建了更完整的知识体系，也为后续学习对数的运算性质、对数函数及其应用奠定了坚实基础。教材通过具体实例引导学生从指数式自然过渡到对数式，强调对数式与指数式的互化，突出对数概念的本质。同时，教材注重概念的形成过程，鼓励学生通过观察、思考、归纳来理解对数的意义，符合中职学生的认知特点。学好本节内容，有助于学生进一步体会数学的抽象性和逻辑性，提升数学思维能力，也为解决生活和专业学习中的实际问题提供了新的数学工具。 五、学情分析 从知识基础来看，学生已经学习了有理数指数幂、实数指数幂的概念和运算性质，以及指数函数的初步知识，能够理解指数式中底数(a)、指数(b)和幂(N)之间的关系，这为学习对数概念提供了必要的知识储备。从认知特点来看，中职学生的抽象思维能力相对较弱，但形象思维和直观感受能力较强，对与生活实际或专业相关的问题比较感兴趣。他们在学习过程中，更倾向于通过具体实例和动手操作来理解抽象概念。然而，由于对数概念本身较为抽象，符号“”对学生来说是全新的，且对数式与指数式的互化需要逆向思维，这对习惯于正向思维的中职学生而言可能存在一定困难。此外，部分学生在指数部分的学习可能不够扎实，这也会影响对对数概念的理解。因此，教学中应多从学生熟悉的实例出发，通过问题驱动，引导学生主动参与概念的形成过程，降低理解难度，同时注重对数式与指数式的对比与互化训练，帮助学生突破思维障碍。 六、教学目标 1.理解对数的概念，能说出对数的定义、底数、真数的含义。 2.掌握对数式与指数式的互化关系，能熟练地将指数式转化为对数式，将对数式转化为指数式。 3.知道常用对数和自然对数的概念，会用符号表示常用对数和自然对数。 4.掌握对数的基本性质，特别是loga1=0，logaa=1（(a>0)且a≠1），并能运用这些性质解决简单问题。 5.在探究对数式与指数式互化的过程中，培养学生的逆向思维能力和数学转化能力。 七、教学重点 1.对数的概念； 2.对数式与指数式的互化。 八、教学难点 1.对数概念的理解； 2.对数符号的理解及正确使用。 九、教学方法 情境创设法：从实际问题出发，引导学生思考“已知底数和幂的值，如何求指数”的问题，激发学生的认知冲突和学习兴趣，使学生在解决实际问题的需求中自然引入对数概念。 问题驱动法：围绕“如何表示指数式中的指数”这一核心问题，通过一系列递进式问题引导学生思考。概念形成法：从特殊到一般的过程，帮助学生逐步形成对数概念。 类比教学法：将对数概念与学生熟悉的指数概念进行类比，对比指数式和对数式中各部分的名称和关系，明确指数式与对数式是同一关系的两种不同表示形式，通过类比，帮助学生理解对数的本质，降低概念的抽象性。 讲练结合法：在讲解对数的定义、底数和真数的取值范围、对数式与指数式的互化等知识点后，及时安排练习题。 归纳总结法：在课堂教学的各个环节，尤其是在知识点讲解完毕后，引导学生对所学内容进行归纳总结。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 水污染会危害人体健康,破坏生态环境．科学有效地治理水污染,才能保障国家的生态安全和人民的用水安全．水污染治理一直国家的重大工程．假设河水开始的污染程度为1,在治理期间,河水污染程度y与治理时间x(单位：年)的关系为y=0.8x,那么经过多长时间,污染程度可降为原来的20%？ 创设情境渗透环保意识 探索新知 容易得到,当污染程度为原来的20%时,有0.8x=0.2,求治理时间就是求x的值,因为x是指数,所以问题转化为如何求指数． 在一个指数式中,知道了底数和幂,为了方便求出指数,引进对数． 一般地,若ab=N(a>0且a≠1),则称b为以a为底N的对数,记作 b=logaN, 其中,a称为对数的底数,N称为真数． 例如,由23=8可知,3是以2为底8的对数,记作3=log28． 同样地,由10-3=0.001可知,以10为底0.001的对数是-3,记作log100.001=-3． “情境与问题”中的治理时间x=log0.80.2． 可以看出,当a>0且a≠1,N>0时,指数式ab=N与对数式logaN=b有如下关系： 由此可知,已知底数a和幂N,求指数b,就是求以a为底N的对数． 根据对数的定义,对数具有如下性质： （1）loga1=0,即1的对数是0; （2）logaa=1,即底的对数是1; （3）N>0,即零和负数没有对数． 由于以10为底的对数运算相对简便,应用也比较普遍,通常把log10N称为常用对数,简记为lgN． 如,log102简记为lg2,log109简记为lg9． 常用对数有着广泛的应用．在化学上,常用氢离子浓度c(H+)的负对数-lgc(H+)来表示 溶液的酸碱性,这个数值称为pH,即pH=-lg(H+)． 正常人体血液的pH为7.35～7.45． 在科学研究和工程计算中,经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN,并称这个对数为自然对数,简记为lnN．如,loge5简记为ln5． 归纳概念突出强调规范表述和注意事项 回归情境问题,及时巩固和应用知识归纳特殊情况 引入概念 联系实际渗透数学应用价值 引入概念 典型例题 例1将下列指数式写成对数式． （1）0.23=0.008;（2）45=1024; （3）104=10000． 解（1）由0.23=0.008,得log0.20.008=3; （2）由45=1024,得log41024=5; （3）由104=10000,得lg10000=4． 例2将下列对数式写成指数式． 解（1）由log381=4,得34=81; （2）由log得 （3）由ln得e． 例3利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位)． （1）lg4;（2）ln8;（3）loglog 分析首先进入计算器的“计算”应用程序,然后分别利用键调用ln函数、键调用log函数以及利用键进行计算． 解（1）操作步骤为：按键调用log函数→按“4”输入真数→按键显示计算结果为“0.6020599913”． 所以,lg4≈0.602; （2）操作步骤为：按键os调用ln函数→按“8”输入真数→按键显示计算结果为“2.079441542”． 所以,ln8≈2.079; （3）操作步骤为：按键调用对数功能→按“3”输入底数→按键移动光标到真数位置→按“7”输入真数→按键显示计算结果为“1.771243749”． 所以,log37≈1.771; （4）操作步骤为：按键调用对数功能→按“0.5”输入底数→按键移动光标到真数位置→按“2”“3”输入真数→按键显示计算结果为“0.5849625007”． 所以,log 指数式与对数式的互化是必要的学习训练 引入数学学习工具使用计算工具,提升数学运算核心素养 巩固练习 练习5.3.1 1．将下列各指数式写成对数式． （1）23=8;（2）0.53=0.125;（3）5x=18;（4）ex=11． 2．将下列各对数式写成指数式： （1）log0.110=-1;（2）log （3）loglg 3．求下列对数的值： （1）log381;（2）log0.80.8;（3）lg1;（4）lne． 4．用计算器计算下列各式的值(保留到小数点后第3位)． （1）lg4.5;（2）ln12; （3）log30.89;（4）log0.722.34． 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 归纳总结 若（），则 常用对数： 自然对数： 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成5.3.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 5.3.1对数的概念 一、对数的定义 若（），则 - 底数： - 真数： - 对数： 二、指数式与对数式的互化 三、两个对数 1. 常用对数： 2. 自然对数：（） 四、对数的基本性质 1. （1的对数是0） 2.（底数的对数是1） 3. 负数和零没有对数 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课围绕对数概念的形成过程展开教学，通过实际问题情境引入对数概念，帮助学生理解对数产生的必要性。在教学过程中，注重引导学生通过指数式与对数式的互化，加深对对数定义的理解，强调对数式中底数和真数的取值范围，帮助学生建立清晰的概念认知。 从课堂效果来看，多数学生能够掌握指数式与对数式的互化方法，但对对数概念的本质理解仍需加强。部分学生在解决与对数相关的问题时，容易混淆底数和真数的关系，特别是对零和负数没有对数这一性质的理解不够深入。此外，在引入对数概念时，问题情境的创设可以更加贴近学生的生活实际，以提高学生的学习兴趣。 在今后的教学中，应进一步加强概念形成过程的教学，通过更多的实例引导学生自主探究，加深对对数概念本质的理解。同时，要注重数学思想方法的渗透，培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。此外，还应关注学生的个体差异，针对不同层次的学生设计不同的练习，确保每个学生都能得到充分的发展。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $