5.3.1对数的概念（课件）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

5.3.1对数的概念 1 学习目标 1.理解对数的概念，能说出对数的定义、底数、真数的含义。 2.掌握对数式与指数式的互化关系，能熟练地将指数式转化为对数式，将对数式转化为指数式。 3.知道常用对数和自然对数的概念，会用符号表示常用对数和自然对数。 4.掌握对数的基本性质，特别是loga1=0，logaa=1（(a>0)且a≠1），并能运用这些性质解决简单问题。 5.在探究对数式与指数式互化的过程中，培养学生的逆向思维能力和数学转化能力。 水污染会危害人体健康, 破坏生态环境, 水环境保护事关人民群众的切身利益, 科学有效地治理水污染, 才能保障国家的生态安全和人民的用水安全,推进全国生态文明建设．水污染治理一直是国家的重大工程． 情境导入 假设河水开始的污染程度为1, 在治理期间, 河水污染程度y与治理时间x (单位：年) 的关系为y=0.8x, 那么, 需要治理多长时间, 污染程度可降为原来的20%？ y=0.8x 情境导入 在一个指数式中, 知道了底数和幂, 为了方便求出指数, 引进对数． 探索新知 容易得到, 当污染程度为原来的20%时, 有0.8x=0.2, 求治理时间就是求x的值, 因为x是指数, 所以问题转化为如何求指数． 一般地, 若ab=N(a>0且a≠1), 则称b为以a为底N的对数, 记作 b=logaN, 其中, a称为对数的底数, N称为真数． 探索新知 注意：①.注意底数的限制，a>0且 a ≠ 1； ②. 注意对数的书写格式． ③.对数式与指数式的互化: 幂 ↓ 对数 ↓ 指数 ↓ 真数 ↓ 底数 ↓ 底数 ↓ b log a N ＝ a b = N 由23=8可知, 3是以2为底8的对数, 记作3=log28． 由10-3=0.001可知, 以10为底0.001的对数是-3, 记作log100.001=-3． “情境与问题”中的治理时间x=log0.80.2． 探索新知 当a>0且a≠1, N >0时, 指数式ab=N与对数式logaN=b有如下关系： 由此可知, 已知底数a和幂N, 求指数b, 就是求以a为底N的对数． 探索新知 根据对数的定义, 对数具有如下性质： （1） loga1=0, 即1的对数是0; （2） logaa=1, 即底的对数是1; （3） N >0, 即零和负数没有对数． 探索新知 由于以10为底的对数运算相对简便, 应用也比较普遍, 通常把log10N称为常用对数, 简记为lgN ． 如, log102简记为lg2, log109简记为lg9． 探索新知 常用对数有着广泛的应用．在化学上, 常用氢离子浓度c(H+)的负对数-lgc(H+)来表示溶液的酸碱性, 这个数值称为pH, 即 pH=-lg(H+)． 正常人体血液的pH为7.35～7.45． 探索新知 在科学研究和工程计算中, 经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN, 并称这个对数为自然对数, 简记为lnN． 如, loge5简记为ln5 ． 探索新知 例1 将下列指数式写成对数式． （1） 0.23=0.008; （2）45=1024 ; （3）104=10000 ． 解 （1）由0.23=0.008, 得log0.20.008=3; （2）由45=1024, 得log41024=5 ; （3）由104=10000, 得lg10000=4 ． 典型例题 例2 将下列对数式写成指数式． （1） log381=4 ; （2）=2 ; （3） ln =-1 ． 解 （1）由log381=4, 得34=81; （2）由=2 , 得= （3）由 ln =-1 , 得 = ． 典型例题 常用对数的值 对数恒等式 方法总结 在实际计算对数时,经常借助科学型计算器完成, 操作步骤为：进入计算的“计算”应用程序, 可以利用 键调用ln函数计算自然对数, 也可以利用 键调用log函数计算常用对数, 或利用 键计算一般底数的对数． 温馨提示 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位) ． （1）lg4;（2）ln8;（3）log37;（4）log0.5 ． 分析 首先进入计算器的“计算”应用程序, 然后分别利用 键调用ln函数、 键调用log函数以及利用 键进行计算． 解 所以, lg4≈0.602; （1）操作步骤为：按键 调用log函数→按“4”输入真数→按 键显示计算结果为“0.602 059 991 3” ． 典型例题 所以, ln8≈2.079; （2）操作步骤为：按键 调用ln函数→按“8”输入真数→按 键显示计算结果为“2.079441542”． 解 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位) ． （1）lg4;（2）ln8;（3）log37;（4）log0.5 ． 分析 首先进入计算器的“计算”应用程序, 然后分别利用 键调用ln函数、 键调用log函数以及利用 键进行计算． 典型例题 （3）操作步骤为：按 键调用对数功能→按“3”输入底数→按 键移动光标到真数位置→按“7”输入真数→按 键显示计算结果为“1.771243749” ． 所以,log37≈1.771; 解 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位) ． （1）lg4;（2）ln8;（3）log37;（4）log0.5 ． 分析 首先进入计算器的“计算”应用程序, 然后分别利用 键调用ln函数、 键调用log函数以及利用 键进行计算． 典型例题 （4）操作步骤为：按 键调用对数功能→按“0.5”输入底数→按 键移动光标到真数位置→按“2” “3”输入真数→按 键显示计算结果为“0.5849625007”． 所以,log0.5 ≈0.585 ． 解 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位) ． （1）lg4;（2）ln8;（3）log37;（4）log0.5 ． 分析 首先进入计算器的“计算”应用程序, 然后分别利用 键调用ln函数、 键调用log函数以及利用 键进行计算． 典型例题 1．将下列各指数式写成对数式． （1）23=8;（2）0.53=0.125;（3）5x=18 ;（4）ex=11 ． 巩固练习 解：（1）log28=3 （2）log0.50.125=3 （3）log518=x （4）ln11=x 2．将下列各对数式写成指数式： （1）log0.110=-1 ; （2） log8127= ; （3） log5 = - ; （4） lg =- ． 巩固练习 解：（1）0.1-1=10 （2）=27 （3）5-4= （4）10-5= 3．求下列对数的值： （1）log381 ; （2）log0.80.8; （3）lg1; （4）lne ． 巩固练习 解：（1）log381=4 （2）log0.80.8=1 （3）lg1=0 （4）lne =1 4．用计算器计算下列式子的值(保留到小数点后第3位)． （1）lg4.5 ; （2）ln12 ; （3）log30.89; （4）log0.722.34 ． 巩固练习 解：（1）lg4.5 ≈0.653 （2）ln12 ≈2.485 （3）log30.89 ≈-0.106 （4）log0.722.34 ≈-8.709 归纳总结 1.指数式与对数式 2.log10N 常用对数 简记为lgN logeN 自然对数 简记为lnN 作业布置 1.完成5.3.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 $