5.2指数函数（课件）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

5.2指数函数 1 学习目标 1.理解指数函数的定义，掌握底数a的取值范围（a>0且a≠1）及合理性； 2.能画出指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图像，通过图像归纳其定义域、值域、单调性、特殊点（0,1）等性质； 3.能运用指数函数的性质解决简单的比较大小、求定义域及实际应用问题。 4.通过学习，培养学生观察、分析、抽象概括能力，体会数形结合思想和从特殊到一般的推理方法。 5.感受数学与生活的联系，通过人口增长、复利计算等实例，激发学习兴趣，培养数学应用意识和严谨的思维习惯。 疑中探 情境导入 若某种细胞分裂时, 由1个分裂成2个, 2个分裂成4个, 4个分裂成8个, ……按照这样的规律分裂x次后, 得到的细胞个数y与分裂次数x之间的关系是怎样的呢？ 情境导入 可以看出, 细胞个数y与分裂次数x的关系式可以表示为： y=2x, x∈N*, 这个函数的底数2为常数, 自变量x在指数的位置上． 探索新知 一般地, 形如y=ax (a>0且a≠1)的函数称为指数函数, 其中常数a称为指数函数的底数, 指数x为自变量, x∈R． 探索新知 注意：（1）y=ax中ax前的系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的实数. 想一想 为什么规定：底数a>0且a≠1？ 探索新知 如果a=0，则 如果a=0，x=-2，则 无研究价值 无意义 如果a=0，x= 无意义 在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=x与y=的图像． 首先, 给出一些x的特殊值, 通过函数式y=x与y=分别计算对应的y值,列出下表． 探索新知 将表中两个函数值在同一平面直角坐标系中根据对应关系对两个函数依次描点、连线,分别得到它们的图像, 如图所示． 探索新知 观察图像,这两个函数的图像具有以下特点： （1）函数图像都在x轴的上方, 向上无限伸展, 向下无限接近x轴; （2）函数图像都经过点(0,1); （3）函数y=2x的图像在(-∞,+∞)上自左至右呈上升趋势, 函数y=的图像在(-∞,+∞)上自左至右呈下降趋势． 探索新知 指数函数y=ax（a0，且a 1）的图象和性质 0<a<1 a>1 图 象 定义域、值域 性 质 定点 单调性 奇偶性 x、y取值情况 特殊点 定义域：R 值域：（0，+∞）——图象在x轴上方 （0，1） 即x=0时，y=1. 单调递减 减函数 单调递增 增函数 x<0时，y>1;x>0时，0<y<1 x<0时，0<y<1;x>0时，y>1 非奇非偶函数 过定点的原理：a0=1 定图象、由图象比较底数大小 比较幂的大小 探究与发现 观察图像，可以发现： 底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称 可否利用函数y=的图像画出函数y=的图像？ 探究与发现 要点：两个函数图像关于y轴对称 1.画出的图像 2.确定对称点 3.连接对称点并描绘图像 例1 比较下列各组中两个数值的大小． 解 （1）因为指数函数y=2x中的a=2>1, 故函数y=2x在(-∞,+∞)上是增函数．又因为3.1>3,所以23.1>23; （1）23.1与23; （2） 0.34与0.3-4 ; （3）0.32.1与2.10.3 ． （2）因为指数函数y=0.3x中的a=0.3<1, 故函数y=0.3x在(-∞,+∞)上是减函数．又因为4>-4,所以0.34<0.3-4． 典型例题 例1 比较下列各组中两个数值的大小． 解 （1）23.1与23; （2） 0.34与0.3-4 ; （3）0.32.1与2.10.3 ． （3）因为指数函数y=0.3x中的底数a=0.3<1, 故函数y=0.3x在(-∞,+∞)上是减函数,又因为0.30=1, 所以0.32.1<0.30=1．类似地可得2.10.3>2.10=1, 则0.32.1<2.10.3 ． 典型例题 方法总结 比较指数幂大小的方法： ①、单调性法：利用函数的单调性，数的特征是底同指不同（包括可以化为同底的）。 ②、中间值法：找一个“中间值”如“1”来过渡, 数的特征是底不 同指不同。 例2 求下列函数的定义域． 解 （1）要使 y= 有意义, 则应有≠0, 因为 = =>0 , 所以函数y= 的定义域为(-∞,+∞) ; （1）y= ; （2） y= ;（3） y= 典型例题 例2 求下列函数的定义域． 解 （2）要使 y=有意义, 则应有x≠0, 所以函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ; （1）y= ; （2） y= ;（3） y= 典型例题 例2 求下列函数的定义域． 解 （3）要使y=有意义, 则应有x-1>0, 所以函数y=的定义域为 (1,+∞)． （1）y= ; （2） y= ;（3） y= 典型例题 1．比较下列各组中两个数值的大小． （1）1.82.5与1.83; 巩固练习 解：因为指数函数y=1.8x中的a=1.8>1, 故函数y=2x在(-∞,+∞)上是增函数． 又因为3>2.5, 所以1.82.5<1.83. 20 1．比较下列各组中两个数值的大小． （2） 0.54 与0.5-7 ; 巩固练习 解：因为指数函数y=0.5x中的a=0.5<1, 故函数y=0.5x在(-∞,+∞)上是减函数． 又因为4>-7, 所以0.54<0.5-7. 21 1．比较下列各组中两个数值的大小． （3） 21.1与0.20.3 ． 巩固练习 解：因为指数函数y=2x中的a=2>1, 故函数y=2x在(-∞,+∞)上是增函数． 又因为1.1>1,所以 21.1>20=1. 因为指数函数y=0.2x中的a=0.2<1, 故函数y=0.2x在(-∞,+∞)上是减函数． 又因为0.3<1,所以 0.20.3<0.20=1. 综上所述，21.1>0.20.3 . 22 2．求下列函数的定义域． （1） y= ; 巩固练习 所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0+∞) . 解：要使 y= 有意义, 则应有≠0, x0 23 2．求下列函数的定义域． （2）y=． 巩固练习 解：要使y=有意义, 则应有x 所以函数的定义域为R. 24 归纳总结 作业布置 1.完成5.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 $