5.1实数指数幂（课件）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

5.1实数指数幂 1 学习目标 1.理解分数（实数）指数幂的概念，掌握分数（实数）指数幂与根式的互化方法。 2.能够运用实数指数幂的运算性质进行简单的指数幂运算。 3.通过对整数指数幂的复习，引导学生类比、归纳得出分数指数幂的概念和运算性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。 4.通过练习和实际问题的解决，提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 5.通过指数概念的拓展过程，感受数学知识的连贯性和逻辑性，激发学生学习数学的兴趣。 在义务教育阶段, 我们已学习过整数指数幂的知识, 但在实际问题中, 幂的指数不一定是整数, 还可以是有理数和无理数, 即实数． 复习导入 放射性元素在衰变过程中, 其放射性核的数目衰变到原来的一半所需的时间称为放射性元素的半衰期．某种元素同一个样本内有N个原子, 半衰期是10天, 10天之后还有 个原子没有衰变, 20天之后,还有 个原子没有衰变, 没有衰变的原子数就可以用 表示, 以此类推, 设衰变次数为n次, 那么没有衰边的原子数如何表示？ 问题情境 根据衰变规律, 容易推出, 没有衰变的原子数为 n个相同因子a的连乘积记作an, 称为a的n次幂, 其中a称为幂的底数, 简称底, n称为幂的指数．即 规定当a≠0时, =1, = 探索新知 一般地, 如果数b的n次方等于a, 即bn=a(n∈N*, n>1), 那么称数b为a的n次方根． 探索新知 当n为偶数时, 正实数a的n次方根有两个, 分别用-和 表示, 其中称为a的n次算数根, 负实数a的偶次方根没有意义． 当n为奇数时, 实数a的n次方根只有一个, 用表示． 0的n次方根为0． 形如 (n∈N*, n>1)的式子称为a的n次根式, 其中n称为根指数, a称为被开方数． 探索新知 如果指数是最简分数, 规定： 这样, 就把整数指数幂推广到了有理数指数幂． 当指数为正分数 (m, n∈N*, n>1)时, = ． 当指数为负分数-(m, n∈N*, n>1)且a≠0时, = = ． 当n为偶数时, a的取值应使或有意义． 探索新知 可以证明, 当a>0, b>0且p, q∈Q时, 有理数指数幂有以下运算法则： （1）pq=p+q; （2）q = pq; （3） p = pp ． 探索新知 例1 将下列各分数指数幂写成根式的形式． （1） ; （2） （b>0）; （3） ． 解 （1） = ; （2） = ; （3） = ． 典型例题 例2 将下列各根式写成分数指数幂的形式． （1） ; （2） ; （3） ． 解 （1） = ; （2） = ; （3） = ． 典型例题 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位)． （1）; （2） ; （3） ． （1）操作步骤为：按“4”输入底数→按 键→按“3” “5”输入指数→按 键显示计算结果为“2.29736971” ． 所以, ≈2.297 ; 解 典型例题 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位)． （1）; （2） ; （3） ． 解 （2）操作步骤为：按“6”输入底数→按 键→按 “3” “4”输入指数→按 键显示计算结果为“2.26084743”． 所以, ≈0.261; 典型例题 例3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位)． （1）; （2） ; （3） ． 解 （3）将化为, 再运算, 操作步骤为：按“1.37”输入底数→按 键→按 “4” “5”输入指数→按 键显示计算结果为“0.7773624281”． 所以, ≈0.777． 典型例题 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 温馨提示 在实数范围内, 我们学习了有理数指数幂的运算, 可以证明, 当幂的指数为无理数时, 无理数指数幂aα(a＞0, α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂． 这样我们就将幂指数推广到了全体实数． 探索新知 可以证明, 当a>0, b>0且α, β∈R时, 实数指数幂有以下运算法则： （1）αβ=α+β ; （2）β = αβ ; （3） α = αα ． 探索新知 例4 计算下列各式的值． （1）;（2） ;（3） ． 解 （1） 典型例题 （2） （3） 例5 化简下列各式(a>0, b>0) ． （1）(+) () ;（2）;（3） ． 分析 先把根式化成分数指数幂, 然后再进行化简与计算． 解 （1）(+)()= ()² - ()² = - = - 典型例题 例5 化简下列各式(a>0, b>0) ． （1）(+) () ;（2）;（3） ． 解 分析 先把根式化成分数指数幂, 然后再进行化简与计算． （2）由于 ; 典型例题 解 分析 先把根式化成分数指数幂, 然后再进行化简与计算． （3） 例5 化简下列各式(a>0, b>0) ． （1）(+) () ;（2）;（3） ． 典型例题 例6 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第3位) ． （1）;（2） ;（3） ． （1）操作步骤为：按“0.3”输入底数→按 键→按“2.1” 输入指数→按 键显示计算结果为“0.07979113355” ． 解 所以,≈0.080; 典型例题 同理，可计算（2）2.336． （3）≈9.739 ． （4）0.091 ． 1．将下列分数指数幂写成根式的形式(其中a>0) ． （1）; （2） ; （3） ; （4） ． 巩固练习 解：（1）= （2） （3）= （4） = 2．将下列根式写成分数指数幂的形式． （1）;（2） ;（3） ;（4） （a≠0）． 巩固练习 解：（1）= （2） =（ （3） = （4） = 3．用分数指数幂表示下列各式 (a>0) ． （1）;（2）;（3） ． 巩固练习 解：（1）=· = （2）=· （3） === 4．计算下列各式的值． （1）(× ; （2）; （3）． 巩固练习 解：（1）原式=×÷== （2）原式=×= （3）原式=×= 5．化简下列各式(a>0, b>0) ． （1）; （2）()³ ()² ; （3）． 巩固练习 解：（1）原式== （2）原式=×=9 （3）原式== 6．利用计算器计算下列幂的值(保留到小数点后第3位)． （1）; （2） ; （3）． 巩固练习 解：(1)0.033 （2）21.702 （3）0.084 归纳总结 作业布置 1.完成5.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 $