精品解析：黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，分别是平面法向量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（ ） A B. C. D. 6. 2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据： A. 17.9万亿 B. 19.1万亿 C. 20.3万亿 D. 21.6万亿 7. 已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（ ） A. 4 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设为实数，若方程表示圆，则（ ） A B. 该圆必过定点 C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或 D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为 10. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最大 11. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和为，若，则____________. 13. 已知O为正方形ABCD的中心，分别为的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为____________. 14. 已知双曲线，的左右焦点记为，，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，其中，. （1）求的通项公式； （2）求的值. 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列前项和为，求证：. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项. 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 2. 已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可计算. 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案. 【详解】由，，则，，， 所以数列的最小正周期为， 由，则. 故选：D. 4. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，可得出双曲线的方程，根据题意，设所求双曲线的方程为，根据所求双曲线与双曲线有相同的渐近线可得出的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意且，则，则双曲线的方程为. 以椭圆的短轴端点为顶点的双曲线可设为， 若与双曲线具有相同渐近线，则，即. 故所求双曲线的方程为，即. 故选：B. 5. 正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将线面距离转化为点面距离，利用空间距离的向量求法，即得答案. 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正三棱柱的几何性质可知，两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，故可得. 由于平面平面，所以平面. 所以到平面的距离即到平面的距离，即. 故选：C. 6. 2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据： A. 17.9万亿 B. 19.1万亿 C. 20.3万亿 D. 21.6万亿 【答案】B 【解析】 【分析】确定从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】依题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列， 其中，公比， 故2022年进出口累计总额约为（万亿）， 故选：B 7. 已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为. 故选：B 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出，，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，根据的面积为，求出的值，可得出的值，再利用椭圆的定义可得出的周长. 【详解】如下图所示： 由已知，则，， 所以，椭圆的方程为， 易知点、，， 所以，直线的方程为， 联立，解得或，即点， 所以，，解得， 所以，， 则的周长为， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设为实数，若方程表示圆，则（ ） A. B. 该圆必过定点 C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或 D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断； 对B，点代入方程即可判断； 对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解； 对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上的点到直线距离的最小值. 【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错； 对B，将代入方程，符合，B对； 对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对； 对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对. 故选：BCD. 10. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 11. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，，抛物线，焦点，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义，，所以， 当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确； 对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和为，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 13. 已知O为正方形ABCD的中心，分别为的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故答案为： 14. 已知双曲线，的左右焦点记为，，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，与双曲线方程联立，求出点的坐标，根据三角形的面积和双曲线的定义表示出，根据解三角形整理可得，解得即可． 【详解】解：由题意可知，， 设双曲线一条渐近线方程， 则直线的方程， 联立方程组， 消去可得，解得， ， 点的坐标为， 设，， 由三角形的面积可得， 化简可得①， 又②， 由①②解得， 设直线的倾斜角为，过点作轴，垂足为，则， ， 在，， ， 整理可得，即， 解得，（舍去）． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，其中，. （1）求的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2）-50 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，. 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 17. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）或； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）根据裂项相消计算求和结合不等式的性质证明. 【小问1详解】 由，，得，解得， 由，，所以，所以或， 当时，此时； 当时，此时； 综上可得数列的通项公式为或； 【小问2详解】 因为，所以，， 则， 所以 所以 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱形，， 又，且平面平面平面． 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面， 又四边形是菱形，， 均为等边三角形， 以点A为坐标原点，及过点A平行于直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即． 令，可得，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数和，进而可求出椭圆的方程； （2）设定点，通过几何关系和代数计算判断是否存在定点，并求出其坐标； （3）设，直线，，的斜率成等差数列，只需证，通过直线与椭圆的联立，经过代数运算之后，可得结论. 【小问1详解】 ∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. 【小问3详解】 证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $