精品解析：河北省廊坊市安次区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学 人教版 〔九上第二十一章~第二十四章〕 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合．而中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形，这个点称为对称中心．中心对称图形的关键特点是绕对称中心旋转180°后，图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 一元二次方程的一次项系数是 B. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C. 将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D. 某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 3. 如图是小冀用配方法解方程的过程的一部分．①②分别代表的是（ ） 把常数项移到方程的右边，得………………第一步 二次项系数化为1，得①…………………………第二步 配方，得……………………………………第三步 A. 3 ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．第一步移项后，第二步将二次项系数化为1，得到①；第三步配方，需要加上一次项系数一半的平方，得到②，即可． 【详解】把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得 ∴ ①为；②为． 故选：C 4. 将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 位置不变 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了对称点的坐标特点，关键是熟记变化规律．关于x轴对称的点坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点坐标特点：横坐标和纵坐标皆互为相反数． 【详解】解：设图形A上任意一点为， ∵ 横坐标乘得图形B， ∴ B上点为． ∵ 将B的点横、纵坐标都乘得图形C， ∴ C上点为． ∴ A的点与C的点对应， ∵ 横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴ 图形A与图形C关于x轴对称． 故选：A． 5. 点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算各点的纵坐标值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，，均在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， 即， 故选：A． 6. 设，是方程的两个实数根，则的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．先结合得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：B． 7. 图中是圆周角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 8. 下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练运用配方法和判别式是解题关键． 通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 对于A：开口向下，错误； 对于B：顶点坐标是，不是，错误； 对于C：∵ 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，正确； 对于D：判别式， ∴与轴有两个交点，错误． 故选 C． 9. 如图，点A的坐标为，将绕原点O顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作轴，轴，利用旋转的性质得到线段与角的关系，可证明，通过对应边相等将原来点的坐标转化为旋转后点的坐标． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，则， 由题意，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， 已知， 则，， ∴，， ∵在第四象限， ∴其坐标为． 故选：B． 10. 如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设米，则米，根据矩形的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又长度要小于墙长米， ， ∴米． 故选：D． 11. 如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小圆半径为厘米，则大圆半径为厘米， 利用垂径定理结合勾股定理列方程求出两圆半径， 利用三角函数可求出，则阴影部分半径和圆心角都可知，计算阴影部分对应的弧长，利用圆锥底面圆周长=侧面展开弧长求出底面半径． 【详解】解：连接，， ∵刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q， ∴，， ∵直尺两边平行， ∴， 则三点共线， 设小圆半径为厘米， ∵刻度尺宽度为厘米， 则大圆半径厘米， 由垂径定理得： 厘米， 在中，由勾股定理： ， 即 ∴厘米，大圆半径厘米， 在中， ∴， ∴， ， 则阴影部分对应的圆心角为， 则阴影部分（扇形）的弧长为： 厘米 设圆锥底面半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理，勾股定理，圆锥侧面展开图与底面圆的关系，垂直的性质，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 12. 已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 关于x的方程的两个根分别为1和3，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，可求出和的值，进而计算 ． 【详解】∵方程的两个根分别为1和3， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：12 14. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则h的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移．根据抛物线的平移规律，得到平移后的解析式后，代入点，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后的解析式为， 即平移后的抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：． 故答案为：6 15. 掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际运用、解一元二次方程，解题关键是理解题意及熟练掌握一元二次方程的解法． 根据题意可知，求小明这次实心球训练的成绩即求时，二次函数中的取值，将代入后求解即可． 【详解】解：依题得：在二次函数中， 时，即实心球的飞行高度为时， 有， ， ， 解得或（舍去）， 即实心球飞行的水平距离为． 小明这次实心球训练的成绩为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为个单位长度的正方形（点A在x轴正半轴上）绕原点O逆时针旋转，得到正方形，连接，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于，根据旋转的性质和勾股定理可得，且，旋转角，则，可求得的长度，在中，利用勾股定理题目可解． 【详解】解：在正方形中， ， 由勾股定理得： 由旋转性质，， 过作轴于，则 ， 原正方形中，旋转角， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在中， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点A，B在数轴上的位置如图所示，点A代表的数为，点B代表的数为． （1）若，求x的值； （2）小高通过计算得出A，B之间的距离不能为2，请你完成小高的计算过程． 【答案】（1）或4 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点之间距离公式，解一元二次方程，配方法，读懂题意，转化为相关数学知识是解决问题的关键． （1）根据，由数轴上两点之间的距离公式列式解方程即可得到答案； （2）根据数轴上两点之间距离公式表示，利用配方法得到，再由平方非负性得到即可确定答案． 【小问1详解】 解：点代表的数为，点代表的数为， 由数轴上两点之间的距离公式可得， ， 即， 解得或； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴、之间距离不能为2． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）0或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其大于零即可； （2）由根与系数的关系得，，代入求解即可． 【小问1详解】 证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 19. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为，． （1）若和关于原点O成中心对称，则点的坐标为________； （2）求的面积； （3）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1） （2） （3）如图即为所求， 【解析】 【分析】本题考查中心对称，旋转作图，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）若和关于原点O成中心对称，则对应点C和关于原点对称，据此解答即可； （2）利用割补法计算即可； （3）先画出绕点O逆时针旋转的对应点，再连接即可． 【小问1详解】 解：若和关于原点O成中心对称，则对应点C和关于原点对称， ∵， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图：； 【小问3详解】 解：先画出绕点O逆时针旋转的对应点，再连接即可． 20. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，其对称轴为直线． （1）结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为________； （2）求b，c的值； （3）在自变量x的值满足的情况下，求对应的函数值y的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）①找到点关于函数对称轴的对称点即可解答；②找出与x轴的两个交点，然后根据函数图象解答即可； （2）根据函数与x轴的交点可知抛物线解析式为，然后化简进而可求出的值； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①∵二次函数对称轴为直线，与y轴交于点， 故C点的对称点为：， 故关于x的一元二次方程的解是， 故答案为：． ②∵二次函数与x轴交于，对称轴为直线 ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解为或， 故答案为：或． 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴的交点坐标为和两点， ∴抛物线解析式为， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向下，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为：， 当时，，当时，， 故在自变量x的值满足的情况下，y的取值范围为：． 21. 如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过切线性质得垂直关系，因为，则可得由切线长定理得，结合中点得，则，可得，则四边形为矩形，则，且，故，且，从而判定平行四边形； （2）因为，则矩形为正方形，利用计算阴影部分面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查圆的切线性质，切线长定理，平行四边形的判定，矩形、正方形的判定，扇形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 22. 嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树，之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且，之间的水平距离为6米． （1）树，的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________； （2）如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为米，使抛物线的最低点距树的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】（1）， （2）点M到地面的距离为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，顶点坐标，函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将代入抛物线解析式，直接求树的高度；② 与等高且米，可得坐标，将代入抛物线求得解析式，再用顶点公式求顶点坐标； （2）根据的顶点坐标设出解析式，代入已知点求参数，代入点的横坐标，计算对应的纵坐标即到地面的距离． 【小问1详解】 解：已知抛物线，当时，代入得： ； ∵与等高且米， ∴， 将代入抛物线解析式： ， 化简得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点横坐标为， 代入解析式得顶点纵坐标： ， ∴顶点坐标为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意，点的横坐标为， 抛物线的顶点为， 设的解析式为． ∵过点，代入得： ， 化简得， 解得， ∴的解析式为， 将代入解析式，得： ． 故点到地面的距离为米． 23. 某商场售卖A，B两款儿童玩具，已知每个A款玩具的售价是每个B款玩具售价的倍，用元购买A款玩具的数量比用元购买B款玩具的数量少5个． （1）求每个B款玩具的售价为多少元； （2）经统计，商场每月卖出A款玩具个，每个A款玩具的利润为元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每个A款玩具的售价每降低2元，那么平均每月可多售出个，商场要想每月销售A款玩具的利润达到元，每个A款玩具应降价多少元？ 【答案】（1）每个B款玩具的售价为元 （2）每个A款玩具应降价6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元，根据两款玩具的数量关系列方程求解即可； （2）设每个A款玩具应降价a元，根据单利润乘以数量等于总利润列方程求解，并保留符合实际情况的解． 【小问1详解】 解：设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元， 由题意得， ， 检验：当时， 原分式方程的解为， 答：每个B款玩具的售价为元； 【小问2详解】 解：设每个A款玩具应降价a元， 由题意得， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个A款玩具应降价6元． 24. 在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” （1）如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； （2）如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】（1）①点在外，点在内；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学 人教版 〔九上第二十一章~第二十四章〕 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 一元二次方程的一次项系数是 B. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C. 将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D. 某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 3. 如图是小冀用配方法解方程的过程的一部分．①②分别代表的是（ ） 把常数项移到方程的右边，得………………第一步 二次项系数化为1，得①…………………………第二步 配方，得……………………………………第三步 A. 3 ， B. ， C. ， D. ， 4. 将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 位置不变 5. 点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是方程的两个实数根，则的（ ） A. B. C. D. 7. 图中是圆周角的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴有唯一交点 9. 如图，点A的坐标为，将绕原点O顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（ ） A. B. 或 C. D. 11. 如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 关于x的方程的两个根分别为1和3，则的值为________． 14. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则h的值是________． 15. 掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为个单位长度的正方形（点A在x轴正半轴上）绕原点O逆时针旋转，得到正方形，连接，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点A，B在数轴上的位置如图所示，点A代表的数为，点B代表的数为． （1）若，求x的值； （2）小高通过计算得出A，B之间的距离不能为2，请你完成小高的计算过程． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为，． （1）若和关于原点O成中心对称，则点的坐标为________； （2）求的面积； （3）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 20. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，其对称轴为直线． （1）结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为________； （2）求b，c的值； （3）在自变量x的值满足的情况下，求对应的函数值y的取值范围． 21. 如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 22. 嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树，之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且，之间的水平距离为6米． （1）树，的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________； （2）如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为米，使抛物线的最低点距树的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 23. 某商场售卖A，B两款儿童玩具，已知每个A款玩具的售价是每个B款玩具售价的倍，用元购买A款玩具的数量比用元购买B款玩具的数量少5个． （1）求每个B款玩具的售价为多少元； （2）经统计，商场每月卖出A款玩具个，每个A款玩具的利润为元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每个A款玩具的售价每降低2元，那么平均每月可多售出个，商场要想每月销售A款玩具的利润达到元，每个A款玩具应降价多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” （1）如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； （2）如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $