第七章 专项培优习题课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦相交线中的对顶角、邻补角、同位角等角的概念及应用，从基础图形识别到复杂情境计算，再到规律探究，搭建“概念理解—实例应用—规律抽象”的学习支架，帮助学生逐步深化对几何角关系的认识。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如光线折射情境题引导学生用数学眼光观察现实，n条直线同旁内角规律探究培养推理与抽象能力，详细解析示范规范数学表达。学生能提升空间观念与探究意识，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

第七章　相交线与平行线 阶段综合培优测 相交线 返回 一、选择题(每小题4分，共32分) 1. [2025重庆渝中区期中]如图，在下列所标的角中，对顶角是(　　) A．∠1和∠3 B．∠2和∠4 C．∠2和∠3 D．∠3和∠5 D 2 2. 过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在(　　) A．这条线段上 B．这条线段的端点上 C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能 D 返回 3 3. [2025河南]如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 返回 C 4 4. 运动会上，跳远运动员跳到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的①号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是(　　) A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B 返回 5 5. [2025湛江月考]如图，下列说法正确的是(　　) A．∠1和∠2是内错角 B．∠1和∠4是对顶角 C．∠3和∠4是同旁内角 D．∠2和∠4是同位角 返回 D 6 返回 6. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是(　　) A．26° B．30° C．36° D．54° C 7 7. 如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是(　　) A．点C到AB的距离等于4 B．点B到AC的距离等于3 C．点A到直线l2的距离等于4 D．点C到直线l1的距离等于4 返回 C 8 8.[2025衡阳期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝180°－2∠EOF.其中正确的结论为(　　) A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 9 【点拨】因为OE⊥AB，OD⊥OF， 所以∠AOE＝∠BOE＝90°，∠DOF＝90°. 所以∠AOF＋∠EOF＝90°，∠EOF＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°. 所以∠EOF＝∠BOD，∠AOF＝∠DOE. 所以当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°，故①正确； 因为OB平分∠GOD，所以∠GOD＝2∠BOD. 因为∠DOE＝90°－∠BOD， 所以∠DOE不一定等于∠GOD. 所以OD不一定是∠EOG的平分线，故②不正确； 因为OB平分∠DOG，所以∠BOD＝∠BOG. 所以∠BOD＝∠BOG＝∠EOF＝∠AOC，故③ 正确． 因为∠COG＝180°－∠AOC－∠BOG， 所以∠COG＝180°－2∠EOF，故④正确． 故其中正确的结论为①③④. 返回 【答案】C 二、填空题(每小题5分，共20分) 9. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河道l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段PC开挖的水渠长最短，理由是______________. 返回 垂线段最短 13 10.[2025济南历下区期末]如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，则∠AOE＝________. 返回 138° 14 11.在如图所示的6个角中，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a＋b－c的值为________. 返回 【点拨】在题图的6个角中，同位角有∠1与∠6，∠3与∠5，共2对，即a＝2，内错角有∠2与∠3，∠4与∠6，共2对，即b＝2，同旁内角有∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5，共4对，即c＝4，所以a＋b－c＝2＋2－4＝0. 0 15 12. 已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝_______. 返回 【点拨】当点F和点C在AB同侧时，根据垂直定义得∠COF＝90°，结合∠BOF＝40°，得∠AOC＝50°，根据角平分线的定义，得∠COE＝25°；当点F和点C在AB异侧时，可得∠BOC＝50°，得∠AOC＝130°，得∠COE＝65°. 65°或25° 16 三、解答题(共48分) 13.(12分)如图，关于该图形，下列说法都正确吗？如果不正确，请加以更正. (1)∠H与∠A是同旁内角，∠H与∠G是内错角； (2)与∠D互为同旁内角的角只有∠C； (3)图中没有同位角. 返回 【解】正确． 错误．与∠D互为同旁内角的角有∠C和∠E. 正确． 14.(10分)如图，(1)如果∠AOD＝3∠BOD，那么∠BOD＝________°，∠COB＝________°； 45 135 (2)如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝(x＋90)°，∠BOD＝(y＋4)°，求x，y的值. 返回 【解】因为∠AOC＋∠BOC＝180°， 所以2x＋(x＋90)＝180，解得x＝30. 因为∠BOD＝∠AOC， 所以y＋4＝2×30＝60，解得y＝56. 15.(12分)如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． (1)若∠COE＝54°，求∠DOF的度数； (2)若∠COE∶∠EOF＝2∶1，求∠DOF的度数. 返回 【解】设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°， 所以∠COF＝3x°. 因为OF平分∠AOC，所以∠AOF＝∠COF＝3x°. 所以∠AOE＝4x°.所以4x＝90，解得x＝22.5. 所以∠COF＝3x°＝67.5°. 所以∠DOF＝180°－∠COF＝112.5°. 16.(14分)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，且OC平分∠AOE. (1)【探究发现】若∠BOF＝2∠BOE， 则∠DOF的度数是________； 15° (2)【类比延伸】若∠DOF＝20°，求∠BOE的度数； 【解】设∠BOE＝x， 因为OE⊥OF，所以∠BOF＝90°－∠BOE＝90°－x. 因为∠AOE＋∠BOE＝180°， 所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－x. (3)【联想拓展】从(1)(2)的结果中可以猜想出∠BOE和∠DOF有何关系. 【解】猜想：∠BOE＝2∠DOF. 返回 【点拨】因为∠AOC＝70°，所以∠BOD＝∠AOC＝70°.又因为∠BOE∶∠EOD＝3∶2，所以∠BOE＝×70°＝42°.所以∠AOE＝180°－42°＝138°. 【解】因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°. 因为∠COE＝54°，所以∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝144°. 因为OF平分∠AOC，所以∠COF＝∠AOC＝72°. 所以∠DOF＝180°－∠COF＝108°. 又因为OC平分∠AOE， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠AOE＝(180°－x)． 所以∠BOD＝90°－x. 所以∠BOD＝∠DOF＋∠BOF＝90°－x， 即20°＋90°－x＝90°－x. 解得x＝40°，即∠BOE＝40°. 【点拨】设∠BOE＝m. 因为OE⊥OF，所以∠BOF＝90°－∠BOE＝90°－m. 因为∠AOE＋∠BOE＝180°， 所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－m. 又因为OC平分∠AOE， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠AOE＝(180°－m)． 所以∠BOD＝∠DOF＋∠BOF＝90°－m. 即∠DOF＋90°－m＝90°－m， 解得∠DOF＝m，即∠BOE＝2∠DOF. $ 第七章　相交线与平行线 专项培优2 相交线中的计数问题 返回 1.如图： (1)如图①，两条直线相交，有______个交点； 如图②，三条直线相交，最多有______个交点； 如图③，四条直线相交，最多有______个交点； (2)归纳猜想：n条直线相交，最多有________个交点. 1 3 6 2 2.在同一平面内有n(n≥2)条直线，设它们的交点个数为m. 例如：当n＝2时，m＝0或1(如图所示). (1)当n＝3时，m可以取哪些不同的值？请画图说明. 【解】当n＝3时，m＝0，1，2或3.如图①所示． 3 (2)当n＝4时，m的最大值为多少？请画图说明. 【解】当n＝4时，m的最大值为6.如图②所示． 4 (3)m的最大值为________．(用含n的式子表示) 5 (4)当m＝6时，n的最大值为多少？请画图说明. 【解】当m＝6时，n的最大值为7.如图③所示． 返回 6 3. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示. 7 列表如下： 直线条数 最多交点个数 把平面最多分成的部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … 8 (1)当直线条数为5时，最多有____个交点，可写成和的形式为____________；把平面最多分成____部分，可写成和的形式为_________________. (2)当直线条数为10时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分. 10 1＋2＋3＋4 16 1＋1＋2＋3＋4＋5 45 56 9 (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 返回 10 4. 如图，同位角一共有____对，分别是________________ ____________________________________________；内错角一共有____对，分别是________________________ ________________；同旁内角一共有____对，分别是___________________ ___________________。 6 返回 ∠1和∠5，∠2和 ∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9 4 ∠1和∠7，∠4和∠6，∠5 和∠9，∠2和∠9 4 ∠1和∠6，∠1和∠9， ∠4和∠7，∠6和∠9 11 n(n－1) 【点拨】三条直线相交，交点最多是1＋2＝3(个)， 四条直线相交，交点最多是1＋2＋3＝6(个)， 五条直线相交，交点最多是1＋2＋3＋4＝10(个)， 六条直线相交，交点最多是1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，…， 依次类推，n条直线相交，交点最多是1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝n(n－1)(个)． 【解】当直线条数为n时，最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(个)交点，把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分． $ 第七章　相交线与平行线 章末培优 全章热门整合考点应用 1. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线. (1)∠AOC的对顶角为________； (2)∠AOE的邻补角为________； ∠BOD ∠BOE 2 返回 (3)若∠AOC＝38°，∠DOE＝108°，求∠BOE和∠COE的度数. 【解】因为∠AOC＝∠BOD＝38°，∠DOE＝108°， 所以∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝38°＋108°＝146°. 因为∠DOE＋∠COE＝180°， 所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－108°＝72°. 3 2. 如图，点P与直线l上的四个点A，B，C，D的所有连线中，最短的线段是(　　) A．PA B．PB C．PC D．PD B 返回 4 3.如图，直线AB，CD相交于点O. (1)若∠AOC＋∠BOD＝120°，求∠AOD的度数. 【解】因为∠AOC＝∠BOD，∠AOC＋∠BOD＝120°， 所以∠BOD＝60°.所以∠AOD＝180°－∠BOD＝120°. 5 (2)分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF，请判断OE与OF之间的位置关系，并说明理由. 6 返回 【点方法】说明两直线的垂直关系，只需说明两直线相交所成的四个角中，有一个角是直角即可． 4. 如图，同位角有m对，内错角有n对，同旁内角有p对，则m＋n＋p的值是(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 C 返回 8 5. (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角； 【解】同位角：∠1与∠5，∠2与∠6；内错角：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6. 9 (2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角. 返回 略． 10 6. 如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是(　　) A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一直线的两直线平行 返回 A 11 7. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　) A．22° B．32° C．35° D．122° 返回 B 12 ①②④ 13 【点拨】①∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC. ∵BG平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABG. ∴∠BEC＝2∠ABG.故①正确； ②如图①，过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FH. ∴∠BAF＋∠AFH＝180°，∠DEF＝∠EFH. ∴∠AFH＝180°－∠BAF＝100°. ∵∠AFH＝∠AFE－∠EFH， ∴∠AFE－∠EFH＝∠AFE－∠DEF＝100°. 故②正确； 返回 9.【生活现象】如图①，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、 金属秤砣、提绳等组成. 19 【数学模型】如图②是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由. 20 返回 【解】OE∥BD.理由如下： ∵AC∥BD，∴∠A＋∠ABD＝180°. 又∵∠A＝104°，∴∠ABD＝180°－104°＝76°. 又∵∠BOE＝76°，∴∠ABD＝∠BOE.∴OE∥BD. 21 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°. 22 (1)求∠BAD的度数； 【解】∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°. 又∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°. 23 (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠C＝50°.求证：AE∥DC． 返回 【证明】∵AE平分∠BAD，∠BAD＝100°， ∴∠DAE＝50°. 又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°. 又∵∠C＝50°，∴∠AEB＝∠C.∴AE∥DC. 24 11.下列五个命题： ①对顶角相等；②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角；③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行. 其中定理的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 返回 25 12.把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果……那么……”的形式是_________________________________ _____. 返回 如果两数同号，那么这两个数的积是 正数 26 13. 对于命题“若|a|＞|b|，则a＞b”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝_______，b＝_______. 返回 －2 1 (答案不唯一) 14.如图，三角形ABC沿着直线BC向右平移得到三角形DEF，则下列结论中：①BE＝CF；②AB∥DE；③AG＝GD；④∠ACB＝∠DFE.其中结论正确的序号是________. 返回 ①②④ 15.如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形(阴影部分)，若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为________平方米. 返回 48 16. 【课本再现】 (1)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O.∠EOC＝35°，求∠AOD的度数； 【解】∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°. 又∵∠EOC＝35°， ∴∠BOC＝∠EOC＋∠BOE＝35°＋90°＝125°.又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝125°. 【变式探究】 (2)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O.若∠AOC∶∠COB＝3∶7，求∠EOC的度数. 【解】由题意设∠AOC＝3x°， 则∠COB＝7x°.∵∠AOC＋∠COB＝180°， ∴3x＋7x＝180，解得x＝18. ∴∠AOC＝3x°＝54°.∵OE⊥AB，∴∠EOA＝90°.∴∠EOC＝90°－54°＝36°. 返回 17.已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转. (1)若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30 s时，PB′与QC′的位置关系为_________. PB′⊥QC′ 【点拨】当旋转时间为30 s时，∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝1°×30＝30°.如图①，设PB′与QC′交于点E，过点E作EF∥AB，则易知EF∥CD∥AB， ∴∠PEF＝180°－∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°.∴∠PEQ＝∠PEF＋∠QEF＝90°. ∴PB′⊥QC′. (2)若射线QC先旋转45 s，射线PB才开始旋转，当射线PB旋转的时间为多少时，PB′∥C′Q？ 【解】设PB′与CD交于点F，射线PB旋转t s时，PB′∥C′Q.①当0≤t≤45时，第一次平行，如图②， 由题知∠BPB′＝(4t)°，∠CQC′＝45°＋t°. ∵AB∥CD，PB′∥C′Q， ∴∠BPB′＝∠PFC＝∠CQC′， 即(4t)°＝45°＋t°，解得t＝15； ②当45<t≤90时，第二次平行，如图③， 易知∠APB′＝(4t)°－180°，∠CQC′＝t°＋45°. ∵AB∥CD，PB′∥C′Q， ∴∠APB′＝∠PFD＝180°－∠CQC′， 即(4t)°－180°＝180°－(45°＋t°)，解得t＝63； 返回 ③当90<t≤135时，第三次平行，如图④， 易知∠BPB′＝(4t)°－360°，∠CQC′＝t°＋45°. ∵AB∥CD，PB′∥C′Q，∴∠BPB′＝∠CQC′， 即4t°－360°＝t°＋45°，解得t＝135. 综上所述，当射线PB旋转的时间为15 s 或63 s或135 s时，PB′∥C′Q. 【解】OE⊥OF.理由如下： 因为∠AOD，∠BOD的平分线分别是OE，OF， 所以∠DOE＝∠AOD，∠DOF＝∠BOD.所以∠DOE＋∠DOF＝(∠AOD＋∠BOD)．又因为∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠EOF＝×180°＝90°.所以OE⊥OF. 8. [2025武汉期中]如图，已知AB∥CD，点E为CD上一点，作∠BEF，连接AF，若∠ABE与∠BEF的平分线交于点G.下列结论：①∠BEC＝2∠ABG；②若∠BAF＝80°，则∠AFE－∠DEF＝100°；③∠G－∠DEF＝90°； ④∠G＋∠CEF＝180°.其中一定正确的结论有________(填写序号即可). ③如图②，过点G作GM∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GM. ∴∠ABE＋∠BED＝180°，∠BGM＝∠ABG， ∠EGM＝∠DEG.∴∠BEF＋∠ABE<180°. ∴(∠BEF＋∠ABE)<90°. ∵∠ABE与∠BEF的平分线交于点G， ∴∠ABG＝∠ABE，∠FEG＝∠BEF. ∴∠BGM＝∠ABE，∠EGM＝∠BEF＋∠DEF. ∴∠BGE＝∠EGM＋∠BGM＝∠DEF＋(∠BEF＋∠ABE)． ∴∠BGE－∠DEF＝(∠BEF＋∠ABE)． ∴∠BGE－∠DEF<90°.故③错误； ④∵∠CEF＝∠BEF＋∠BEC，∠ABE＝∠BEC， ∴∠CEF＝∠BEF＋∠ABE. 易得∠BEF＝2∠BEG，∠ABE＝2∠EBG. ∴∠CEF＝2(∠BEG＋∠EBG)． ∴∠G＋∠CEF＝∠G＋∠BEG＋∠EBG＝180°，故④正确． $ 第七章　相交线与平行线 专项培优1 相交线中的几种角 返回 1. [2025咸阳月考]如图，直线AD与EF相交于点C，点B在AD上，射线BG与直线EF相交于点H，图中的对顶角共有(　　) A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 A 2 2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.若∠AOC的度数为2α，则∠EOF＝________．(用含α的代数式表示) 3 返回 3. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠COE的邻补角； 【解】∠COF和∠EOD. 5 (2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角； 【解】∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF.　 6 (3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数. 返回 【解】因为∠BOF＝90°， 所以∠AOF＝180°－∠BOF＝90°. 因为∠BOD＝60°，所以∠AOC＝∠BOD＝60°， 所以∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝90°＋60°＝150°. 7 4. 光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象．如图，光线a从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线b，下列说法不正确的是(　　) A．∠2与∠4是内错角 B.∠2与∠3是同旁内角 C.∠1与∠2是对顶角 D.∠3与∠4互为邻补角 C 返回 8 5. 复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想. (1)如图①，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了________对同旁内角. (2)如图②，平面内三条直线l1， l2，l3两两相交，交点分别为 A，B，C，图中一共有 ________对同旁内角. 2 6 9 (3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角. (4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成_____________对同旁内角. 返回 24 n(n－1)(n－2) 10 6.如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C. 11 (1)指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出DE，BC被AC所截形成的内错角； 【解】同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B. ∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG. 12 返回 (3)指出FB，BC被AC所截形成的同旁内角. 【解】∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG. 13 90°－ 【点拨】因为∠AOC＝2α，所以∠BOD＝∠AOC＝2α. 又因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD＝α. 所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－α. 又因为OF平分∠COE， 所以∠EOF＝∠COE＝(180°－α)＝90°－. $ 第七章　相交线与平行线 专项培优3 平行线的性质与判定中常见辅助线的作法 类型1 加截线法 A．连接两点 1. 如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由. 2 【解】AB∥CD.理由：如图，连接BD. 在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°. ∵∠E＝∠3＋∠4， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 即∠ABD＋∠CDB＝180°.∴AB∥CD. 返回 【点方法】本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定说明AB∥CD. B．延长线段使相交 2. 如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.求证：∠BFE＝∠FEC．　 【证明】如图，延长BF交DC的延长线于点H.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠H. 又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠H＝∠DCE.∴BH∥CE.∴∠BFE＝∠FEC. 返回 5 类型2 过“拐点”作平行线法 A．“ ”形图 3.【问题探究】(1)如图①，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，则∠AEC与∠A，∠C之间有怎样的数量关系，请说明理由. 6 【解】∠AEC＝∠A＋∠C.理由如下： 如图，过点E作EF∥AB. 又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF. ∴∠A＝∠AEF， ∠C＝∠CEF. 又∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF， ∴∠AEC＝∠A＋∠C. 【灵活应用】(2)如图②，AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，求∠D的度数. 返回 【解】∵∠B＝60°，∠F＝85°， ∴∠BHF＝180°－∠B－∠F＝35°. 又∵∠AHE＝∠BHF，∴∠AHE＝35°. 由题易知∠D＝∠E－∠AHE， ∴∠D＝60°－35°＝25°. 8 B．“ ”形图 4.(1)如图①，直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间．求证：∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°. 小明的证明过程是这样的：“过点P向右作PE∥AB，……” 请按照小明的思路写出完整的证明过程； 9 【解】过点P向右作PE∥AB， ∴∠BAP＋∠APE＝180°. ∵AB∥CD，PE∥AB，∴CD∥PE. ∴∠DCP＋∠CPE＝180°. ∴∠BAP＋∠APE＋∠DCP＋∠CPE＝360°， 即∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°. (2)①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图②，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由； 11 ②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图③，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由. 请在①②中任选一个问题进行解答. 12 【解】(二选一即可)①∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋ ∠QCD＝540°.理由如下： 如图①，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD. 又∵AB∥CD，∴AB∥PE∥QF∥CD. ∴∠BAP＋∠APE＝180°，∠EPQ＋∠PQF＝180°， ∠FQC＋∠QCD＝180°.∴∠BAP＋∠APE＋∠EPQ＋∠PQF＋∠FQC＋∠QCD＝180°＋180°＋180°＝540°， 即∠BAP＋∠APQ＋∠PQC＋∠QCD＝540°. 返回 ②∠BAP＋∠APQ－∠PQC＋∠QCD＝180°.理由如下： 如图②，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD. 又∵AB∥CD，∴AB∥PE∥QF∥CD. ∴∠BAP＋∠APE＝180°，∠EPQ＝∠PQF，∠QCD＝∠CQF.　∴∠BAP＋∠APQ－∠PQC＋∠QCD＝∠BAP＋(∠APE＋∠EPQ)－(∠PQF＋∠FQC)＋∠QCD＝∠BAP＋∠APE＋∠EPQ－∠PQF－∠FQC＋∠QCD＝∠BAP＋∠APE＝180°. C．“ ”形图 5.(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数； 15 【解】如图，过点E向左作EF∥AB， 则∠B＋∠BEF＝180°. 又∵∠B＝130°， ∴∠BEF＝180°－∠B＝180°－130°＝50°. ∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD.∴∠FEC＝∠C. 又∵∠C＝30°，∴∠FEC＝30°. ∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°. (2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由. 17 【解】∠B＋∠BEC－∠C＝180°. 理由如下：如图． 由(1)得∠FEC＝∠C，∠B＋∠BEF＝180°. 又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC， ∴∠BEF＝∠BEC－∠C. ∴∠B＋∠BEF＝∠B＋∠BEC－∠C＝180°. 【点方法】解这种类型的题目时，通常是过“拐点”作平行线，把一个大角分成两个小角，使分成的角与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到． 返回 D．“ ”形图 6.【信息阅读】 材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC． 方法信息：如图②，在“材料 信息”的条件下，∠B＝55°， ∠D＝35°，求∠BCD的度数. 20 解：如图②，过点C作CF∥AB， ∴∠BCF＝∠B＝55°. ∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE. ∴∠DCF＝∠D＝35°. ∴∠BCD＝55°－35°＝20°. 21 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：________________. ∠BCD＝∠B－∠D 22 (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由. 23 【解】改变，∠BCD＝∠D－∠B.理由如下： 如图，过点C作CF∥AB， ∴∠BCF＝∠B. ∵AB∥DE，CF∥AB， ∴CF∥DE. ∴∠DCF＝∠D. ∵∠BCD＝∠DCF－∠BCF， ∴∠BCD＝∠D－∠B. 返回 e.“ ”形图 7.已知直线AB∥CD，E为平面内一点，连接EB，EC． (1)如图①，已知∠B＝32°，∠C＝120°，求∠BEC的度数； 25 【解】过点E向右作EM∥AB. 又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM. ∴∠B＝∠BEM，∠C＋∠CEM＝180°. 又∵∠B＝32°，∠C＝120°， ∴∠BEM＝32°，∠CEM＝180°－120°＝60°. ∴∠BEC＝32°＋60°＝92°. (2)如图②，判断∠ABE，∠BEC，∠DCE之间的数量关系为____________________________； ∠ABE－∠BEC＋∠DCE＝180° 【点拨】过点E向右作EM∥AB.又∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD. ∴∠ABE＝∠BEM，∠CEM＋∠DCE＝180°.∵∠CEM＝∠BEM－∠BEC＝∠ABE－∠BEC，∴∠ABE－∠BEC＋∠DCE＝180°. 27 返回 (3)如图③，BE⊥CE，BF平分∠ABE，若∠ECF＋∠ECD＝90°，求∠BFC的度数. 【解】如图，过点F作FH∥AB，过点E作EN∥AB. ∵∠ECF＋∠ECD＝90°， 设∠ECF＝x，则∠ECD＝180°－2x， ∴∠FCD＝180°－2x＋x＝180°－x. ∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°.∵AB∥EN，AB∥CD，∴AB∥CD∥EN.∴∠ABE＝∠BEN，∠DCE＋∠CEN＝180°. ∴∠ABE＝∠BEN＝90°＋∠CEN＝90°＋(180°－ ∠ECD)＝90°＋2x.∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠ABE＝(90°＋2x)＝45°＋x. 由(2)可知∠ABF－∠BFC＋∠FCD＝180°， ∴45°＋x－∠BFC＋180°－x＝180°， 解得∠BFC＝45°. $ 第七章　相交线与平行线 阶段综合培优测 平行线的性质和判定 返回 一、选择题(每小题5分，共35分) 1. [2025湖北]数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是(　　) A．34° B．44° C．46° D．56° D 2 2. 如图，下列条件中能判断BC∥EF的是(　　) ①∠1＝∠E；②∠2＝∠E；③∠B＝∠1； ④∠E＋∠EGC＝180°. A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ D 返回 3 3. 下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是(　　) A．k＝4 B．k＝8 C．k＝10 D．k＝16 返回 C 4 4. 如图，直线a平移后得到直线b，若∠1＝60°，∠B＝130°，则∠2的度数为(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° C 返回 5 5. 如图①，汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看作平行光．现对此进行逆向分析，如图②，两条平行光线l1，l3通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F，l2是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下列判断错误的是(　　) A．l1∥l3 B．l1∥l2 C．l2∥l3 D．∠1＝45° 6 【点拨】如图，由题意，得l1∥l3，故A正确； ∵∠DCF＝∠CFE＝45°，∴l1∥l2，故B正确； ∵l1∥l3，l1∥l2，∴l2∥l3，故C正确； ∵∠EFB不一定等于45°， ∴∠1不一定等于45°，故D错误．故选D. 【答案】 D 返回 6. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若AB∥CD，∠1＝130°，∠3＝35°，则∠2的度数为(　　) A．75° B．80° C．85° D．90° 8 【点拨】如图．∵AB∥CD，∠3＝35°， ∴∠ABC＝∠3＝35°. ∵∠1＝130°，∴∠4＝180°－130°＝50°. ∴∠5＝180°－50°－35°＝95°. ∴∠2＝180°－∠5＝85°.故选C. 【答案】 C 返回 7.[2025合肥期末]如图，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，点G在AB，CD之间．连接ED，EF，EG，GF，使得GF∥ED．过点E作EH⊥GF于点H，EM平分∠HEB交CD于M.若EG平分∠AEH，∠AEG＝∠GFC，则下列结论不一定正确的是(　　) A．∠D＝30° B．∠GEM＝90° C．∠GEH＝∠MED D．FE平分∠GFD 10 返回 【答案】 D 二、填空题(每小题5分，共20分) 8. 把命题“互为倒数的两数之积为1”改成“如果……那么……”的形式：________________________________ ________. 如果两个数互为倒数，那么这两个数 返回 的积为1 12 9. 如图，AB∥CD，∠1＝150°，∠2＝110°，则∠3＝________°. 80 13 返回 10.[2025孝感期末]如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，将三角形ABC沿BC方向平移a cm(a<5)得到三角形DEF，AC与DE相交于点G，连接AD． 15 (1)AD与BC的位置关系是________； (2)若三角形ADG的面积比三角形CEG的面积大3 cm2，则a＝________cm. 平行 返回 16 11.将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图①，再沿PM折叠得到图②，已知AB∥CD，AM>DN. 17 (1)如图①，若∠EPN＝50°，则∠AMN的度数为________°； 25 18 (2)如图②，若∠AMG＝k∠CNM，则∠CPM的度数为________°(用含k的代数式表示). 返回 19 三、解答题(共45分) 12.(8分) 如图，已知四边形ABCD，将其沿箭头方向平移，平移的距离为线段BC的长度，请画出平移后的图形. 返回 【解】如图，四边形A′B′C′D′即为所作． 20 13.(10分) 已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥B． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题. (1)写出一个真命题，并证明它的正确性； 【解】(答案不唯一)命题： 如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.证明如下： 如图．∵a⊥c，b⊥c， ∴∠1＝90°，∠2＝90°. ∴∠1＝∠2.∴a∥b. (2)写出一个假命题，并举出反例. 返回 【解】(答案不唯一)命题：如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b. 反例：如图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b. 14.(13分)如图是某汽车的标志图案，其中BC∥AD，BE∥AF. (1)求证：∠A＝∠B； 【证明】∵BC∥AD，∴∠B＝∠DOE. ∵BE∥AF，∴∠DOE＝∠A.∴∠A＝∠B. (2)若∠DOB＝125°，求∠A的度数. 返回 【解】∵∠DOB＝125°，∴∠DOE＝55°. 又∵∠A＝∠DOE，∴∠A＝55°. 15.(14分)如图，直线MN分别与直线AP，DG交于点B，F，且∠1＝∠2.∠ABF的平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的平分线FC交直线AP于点C． (1)请判断直线AP与DG的位置关系，并说明理由. 【解】AP∥DG. 理由如下：∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2， ∴∠ABF＝∠2，∴AP∥DG. (2)BE平行于CF吗？请说明理由. (3)若∠ACF＝37°，求∠BED的度数. 【解】∵AC∥DG，∠ACF＝37°， ∴∠CFG＝∠ACF＝37°. ∵BE∥CF， ∴∠BEG＝∠CFG＝37°， ∴∠BED＝180°－∠BEG＝143°. 返回 【点拨】先证明∠AEG＝∠HEG＝∠BED＝∠D＝∠GFC，再求出∠AEG＋∠GEH＋∠DEB＝90°，进而可求出∠D＝30°，判断A正确；求出∠HEM＝∠BEM＝∠HEB＝60°，进而可得∠GEM＝90°，判断B正确；求出∠MED＝∠BEM－∠BED＝30°，进而可判断C正确；无法判断D正确． 【点拨】如图，过点E作EF∥AB. 又∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF. ∴∠FEG＝180°－∠1＝30°， ∠FEH＝180°－∠2＝70°. ∴∠3＝180°－∠FEG－∠FEH＝80°. 【点拨】∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠EPN＝50°.由折叠的性质可知∠AMN＝∠AMP＝25°. 【点拨】∵AB∥CD，∴∠CNM＝∠AMN，∠CPM＝∠AMP.∵∠AMG＝k∠CNM，∴∠AMG＝k∠AMN. 设∠AMN＝x，则∠PMN＝x，∠AMG＝kx，∠BMP＝180°－2x，由折叠的性质可知∠GMP＝∠BMP，∴2x＋kx＝180°－2x，解得x＝.∴∠CPM＝∠AMP＝2x＝. 【解】BE∥CF，理由如下：由(1)知AP∥DG， ∴∠ABF＝∠BFG. ∵∠ABF的平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的平分线FC交直线AP于点C，∴∠EBF＝∠ABF，∠CFB＝∠BFG，∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF. $ 第七章　相交线与平行线 专项培优4 平行线的性质与判定中的实际情境问题 类型1 与学具相结合 1. 三角尺ABC(其中∠A＝30°，∠C＝90°)和三角尺DEF(其中∠E＝45°，∠EDF＝90°)按照如图所示的位置摆放，点D在边AC上，若AB∥EF，求∠CDF的度数. 2 返回 【解】如图，过D点作DK∥AB， ∴∠ADK＝∠A＝30°. ∵AB∥EF，DK∥AB，∴DK∥EF. ∴∠EDK＝∠E＝45°. ∴∠ADK＋∠EDK＝30°＋45°＝75°， 即∠ADE＝75°.又∵∠EDF＝90°， ∴∠CDF＝180°－90°－75°＝15°. 2. [2025邢台期末]平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束光线AB射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2. 4 (1)如图②，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若∠1＝∠4，请判断光线AB与光线CD是否平行，并说明理由. 【解】AB∥CD.理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4. ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4. ∴∠ABC＝∠BCD.∴AB∥CD. 5 (2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图③中的方式制作一个装置．若∠1＋∠4＝90°，求证：AB∥DE. 返回 【证明】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∠1＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°. ∴∠ABD＋∠BDE＝180°.∴AB∥DE. 6 类型3 与生活情境相结合 3.[2025烟台期末]如图①是一款落地的平板支撑架，AF垂直水平地面，AB，BC是可转动的支撑杆，调整支撑杆使得其侧面示意图如图②所示， 此时平板DE∥AF，∠BAF＝ ∠BCE，∠B＝80°. 7 (1)请求出∠BCE的度数； 【解】如图，过点B作BG∥AF， ∴∠BAF＋∠ABG＝180°. ∵DE∥AF，∴DE∥BG.∴∠CBG＋∠BCE＝180°. ∴∠BAF＋∠ABG＋∠CBG＋∠BCE＝360°.　 ∴∠BAF＋∠ABC＋∠BCE＝360°， ∵∠BAF＝∠BCE，∠ABC＝80°，∴∠BCE＝140°. 8 (2)先将支撑杆AB调整至图③所示位置，调整过程中，∠B和∠BCE的大小不变，∠BAF＝155°，再顺时针调整平板DE至D′E′，使得D′E′∥AF，请求出∠DCD′的度数. 9 返回 【解】如图，延长FA交BC于点H， ∵∠BAF＝155°，∴∠BAH＝180°－155°＝25°. 又∵∠B＝80°，∴∠AHB＝180°－∠BAH－∠B＝ 180°－25°－80°＝75°.又∵D′E′∥AF， ∴∠AHB＝∠BCE′＝75°.∵∠BCE＝140°， ∴∠ECE′＝∠BCE－∠BCE′＝140°－75°＝65°. ∴∠DCD′＝∠ECE′＝65°. $