4.3.2 等比数列的前n项和公式（八大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 2．（多选）记数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C．数列的前项和小于2 D．数列的前项和为 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝ ． 4．已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 题型二 等比数列的前n项和的基本量计算 5．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 8．已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型三 等比数列片段和性质及应用 9．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为 ． 12．，是正项等比数列．且，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 题型四 等比数列奇、偶项和的性质及应用 13．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 14．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 15．在数列中，，，且. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 题型五 等比数列的前n项和的其他性质 16．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 17．（多选）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 18．设等比数列的前n项和为，若，则 ． 19．已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 题型六 前n项和特点 20．已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 22．已知等比数列的前项和（是常数），则 . 题型七 前n项和与通项关系 23．若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 24．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 25．已知等比数列的前项和为，则的公比为 ；记，则的最小值为 ． 26．已知数列满足：，数列满足. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列不是等比数列，证明：数列一定是等差数列； (3)若数列是等比数列，为其前项和，且对任意正整数，都有，求实数的取值范围. 题型八 等比数列的简单应用 27．如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（   ） A．32 B．40 C．48 D．64 28．（多选）已知数列的前项和为，正整数满足：①；②是满足不等式的最小正整数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 29．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 30．在平面上有一点列，，…，，…，对每个自然数，点均在函数（）的图象上，且点，点与点构成一个以为顶点的等腰三角形． (1)求点的纵坐标的表达式； (2)若，，求数列的前项和； (3)若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法及等比数列通项公式求得，然后利用等比数列求和公式求得，进而求解即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，所以的前n项和为， 所以. 故选：C 2．（多选）记数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C．数列的前项和小于2 D．数列的前项和为 【答案】ABC 【分析】根据的关系可得是首项，公比为2的等比数列，即可求解AB，根据放缩法，结合等比求和可判断C，利用错位相减法求和即可判断D. 【详解】，则，两个式子相减，化简得（）， 即（），又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为，A正确； ，故，B正确； ，当且仅当时取到等号， 故的前项和满足，故C正确； 设的前项和， 则， 可得， 所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝ ． 【答案】或 【分析】根据条件建立方程组求出，，即可求出前项和. 【详解】设等比数列{an}的公比为，则，解得：，或， 当时，， 当时，， 故答案为：或， 4．已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 题型二 等比数列的前n项和的基本量计算 5．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质及前项和求解． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 6．（多选）记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由等差数列项的关系列出方程，解得首项和公差，判断A、B选项；先验证及是否成立，然后由等比数列前项和公式列出方程组，然后整理得到关于的方程，然后解得，判断C选项；由及计算得到，判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，由题意可得解得故A，B正确； 等比数列的公比为，若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，得，整理得， 解得或（舍去），则，故C错误； 因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 7．等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 8．已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以. （2）由，得， 所以. 题型三 等比数列片段和性质及应用 9．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 10．（多选）已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 11．已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 12．，是正项等比数列．且，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用，和建立方程组，求出，写出通项公式即可； （2）表示出数列，在求数列的前n项和时，进行分类讨论即可. 【详解】（1）因为，是正项等比数列．且， 所以，即，所以， 又因为，所以，解得， 所以的通项公式为：. （2）结合题意: ,得到， 所以 ， 当时，， ; 当时，， ， 综上所述：. 题型四 等比数列奇、偶项和的性质及应用 13．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 14．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 15．在数列中，，，且. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由递推关系得，结合已知及等比数列定义即可证结论. （2）由（1）得，当n为奇数，应用累加法求，当n为偶数，结合求，即可确定的通项公式. 【详解】（1）由得：，且， 则，又， 所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. （2）由（1）知：，又，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，· 综上，· 题型五 等比数列的前n项和的其他性质 16．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 17．（多选）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 18．设等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得. 【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以； 由，得，即， 所以，解得， 则． 法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列， 其公比为，设，显然， 则，，所以，所以． 故答案为： 19．已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）先求出，从而求得，即，从而求解. （2）由（1）得，求出，从而求解. 【详解】（1）因为在函数上， 所以：，又， 所以：，即：， 且，可知， 两边取以为底的对数，， 又，， 所以：是首项为，公比为的等比数列． 所以：， 所以：. （2）因为，， 所以：， 则：，得：， 又因为：， ， 即证：. 题型六 前n项和特点 20．已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等比数列的和为，，根据公式，求出，则也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可； 【详解】等比数列的前项和为，， 当时，可得，可得， 当时，，则 因为为等比数列，所以，解得 故选：． 21．（多选）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 22．已知等比数列的前项和（是常数），则 . 【答案】 【分析】由求出数列的通项公式，根据该数列为等比数列求出的值，即可得出的值. 【详解】因为等比数列的前项和（是常数）， 当时，， 当且时，， 因为数列是等比数列，则也满足， 即，解得，故， 且对任意的，，即数列为等比数列，故， 故答案为：. 题型七 前n项和与通项关系 23．若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列定义求解并验证即可. 【详解】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 24．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 25．已知等比数列的前项和为，则的公比为 ；记，则的最小值为 ． 【答案】 2 / 【分析】求出可得公比并求出的通项，结合与1的大小关系可求的最小值. 【详解】因为，故，而， 故公比，故，故， 故的最小值为， 故答案为： 26．已知数列满足：，数列满足. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列不是等比数列，证明：数列一定是等差数列； (3)若数列是等比数列，为其前项和，且对任意正整数，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件写出即可求出数列的通项公式； （2）根据等差数列与等比数列的定义求证即可； （3）根据等比数列的前项和公式列出不等式关系求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得 因为 又， 所以数列是以-15为首项，为公比的等比数列， 所以， （2）证明：由（1）知，又，所以 ①当时，，由上可知. 此时数列是以为首项，为公比的等比数列，不合题意，舍去. ②当时，，此时不是等比数列，则分有， 所以当数列不是等比数列时，数列一定是等差数列； （3）由（2）知当时，数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，于是可得分 要使对任意正整数成立，即. 得① 令，则 当为正奇数时，随增大而减少，所以 当为正偶数时，随增大而增大，所以 的最大值为的最小值为 于是，由①式得.解得. 综上，实数的取值范围是. 题型八 等比数列的简单应用 27．如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（   ） A．32 B．40 C．48 D．64 【答案】A 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，代入求出的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，，第n个正方形的面积为， 设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为， 所以第n+1个正方形的边长为，， 即数列{}是首项为，公比为的等比数列，， 数列{}是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32. 故选：A 28．（多选）已知数列的前项和为，正整数满足：①；②是满足不等式的最小正整数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，由，可得，那么位于数阵第11行最后一项，通过计算得；设数阵中第k行各项之和为，则，故通过计算可得满足的最小正整数，相加即可得出最后结果. 【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项． 将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为， 该行有项，如下所示： 由，则，故A正确； 对于①，位于数阵第11行最后一项，对应于数列的项数为： ， ∴，故B正确； 对于②，数阵中第k行各项之和为， 则， 且数列的前k项之和： ， ， 而， 故恰好满足的项位于第11行， 假设位于第m项，则有： ， 可得出． 由于，， 则，∴， 因为前10行最后一项位于的第 项， 因此，满足的最小正整数， 所以，故C正确，D错误. 故选：ABC. 29．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【答案】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 30．在平面上有一点列，，…，，…，对每个自然数，点均在函数（）的图象上，且点，点与点构成一个以为顶点的等腰三角形． (1)求点的纵坐标的表达式； (2)若，，求数列的前项和； (3)若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质可得，代入解析式可得答案； （2）求出，利用裂项相消法可求答案； （3）根据函数的单调性判断，，的单调性，利用可求答案. 【详解】（1）由于三角形为等腰三角形， 所以点在两点与连线的中垂线上， 从而， 又因为点在函数（）的图象上， 所以； （2）由，则， 所以， 所以， 所以 . （3）因为，所以， 所以函数（）在定义域上单调递减， 所以对每一个自然数有， 又因为以，，为边长能构成一个三角形，所以， 从而， 即，解得或， 因为，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $