4.2.2 等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，从高斯求和历史问题引入，通过1+2+…+100到n项和的推广，用倒序相加法推导公式，连接等差数列概念与求和公式，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以历史情境培养数学眼光，用倒序相加法发展数学思维，通过多方法解题（如例2三种解法）和公式应用（判断等差数列、最值问题）强化数学语言表达。学生能深化公式理解与应用，教师可借助丰富例题提升教学效率。

第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前项和公式（第一课时） 新课引入—等差数列的前项和公式 高斯(1777—1855) 德国著名数学家 享有“数学王子”之称 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 高斯的求和过程利用了数列的什么性质？ 高斯的算法： 不同数的求和 相同数的求和 转化 记，等差数列 首末等距项和相等： 新课引入—等差数列的前项和公式 你能用高斯的方法求吗？ 将上述方法推广到一般，可以得到： 于是有 个 当是偶数时，有 当是奇数时，有 个 所以对任意的, 新课引入—等差数列的前项和公式 我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 它相当于两个相加，而结果变成个相加. 怎么加呢？ 新知讲解—等差数列的前项和公式 上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 探究 将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同的数的求和化为个相同的数求和. 对于等差数列，因为,故 即 新知讲解—等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 将代入，得 不把的通项代入，你能用其他方法得到上述公式吗？ 倒序相加法 知首末项和 知首项和公差 新知讲解—等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 ② ① ①式可化为即首末项平均数即为前项的平均数； ②式可化为当时，是关于的不含常数项的二次函数. 是等差数列 典例分析—等差数列中的基本量计算 例.已知数列是等差数列. （1）若，求； （2）若求； （3）若，求； （4）若，求； （5），求及 典例分析—等差数列中的基本量计算 例.若等差数列的前项和为，前项和为，求该数列的前项和. 你有几种方法来解决本题？ 典例分析—利用等差数列前项和公式判断等差数列 例2.若数列的前项和求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 变式.若数列的前项和求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 时，是关于的不含常数项的二次函数. 巩固训练—利用等差数列前项和公式判断等差数列 巩固训练2.(1)设数列的前项和为点均在函数的图象上，则数列的通项公式为__________. ， 为等差数列 巩固训练—利用等差数列前项和公式判断等差数列 巩固训练2.(2)设数列的前项和为，则__________. 新知讲解—等差数列前项和的最值问题 （） 等差数列前项和的最值 (1)图象法：在等差数列中，时，有最小值； 时，有最大值. (2)通项法：当，时，有最 值，使取得最值的可由不等式组___________确定； 当，时，有最 值，使取得最值的可由不等式组______________确定. 大 小 当取最接近对称轴的正整数时，取到最值. 典例分析—等差数列前项和的最值问题 例3.在等差数列中，，，求前项和的最大值. 方法一　因为S8=S18，a1=25，所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2.所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d=-2.所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.因为a1=25>0， 由又因为n∈N*，所以当n=13时， Sn有最大值为169. 巩固训练—等差数列前项和的最值问题 巩固训练3.（1）(多选)设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.和为的最大值 根据题意可得6a1+d=9a1+d，即a1+7d=a8=0. 因为a1>0，a8=0，所以d<0，所以数列是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为a8=0，d<0，所以a6>0，所以S5<S6，故C不正确； 对于D，因为a8=0，所以S7=S8，又为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确. 巩固训练—等差数列前项和的最值问题 巩固训练3.（2）(多选)已知等差数列的前项和是，若，则（ ） A.数列是递减数列 B.当时，最大 C.使得成立的最小自然数 D.中的最小项为 课堂小结 等差数列的前项和公式 1.等差数列前项和公式 2.判断等差数列的方法 ①定义法： ③通项法： ②等差中项法： ④前项和公式法： 是等差数列 $