精品解析：江西省吉安市永丰县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

江西省永丰县二中2024级高一上学期期中考试数学试卷 （2024.11） 考试内容:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、指数与对数函数 考试时间:120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 3. 已知偶函数的定义域为，且对任意正实数（）恒有成立，则一定有 （ ） A. B. C. D. 4. 函数（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则的最小值和最大值分别为 （ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 命题“”是真命题的一个充分但不必要条件的是 （ ） A. B. C. D. 7. 甲用元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，且获利，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了丙，在上述股票交易中对甲描述正确的是 （ ） A. 甲刚好盈亏平衡 B. 甲盈利元 C 甲亏本元 D. 甲盈利元 8. 已知函数的定义域是，对于给定的正数，定义函数；设，若，则函数的递增区间是 （ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面有四个命题，其中正确的命题是（    ） A. 存在，使是幂函数 B. 函数在上是减函数 C. 函数的定义域是 D. 函数与函数表示同一函数 10. 下列说法正确的是（    ） A. 在定义域上是奇函数且又是增函数 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 函数的最小值为 11. 已知函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A. B. 实数的取值范围为 C. D. 实数的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 已知函数，则______． 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． (1)分别求，； (2)已知集合，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 17. 某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元. （1）写出辆客车运营总利润(万元)与运营年数的函数关系式： （2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知为奇函数，为偶函数，且满足. （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 19. 已知函数，且单调递增区间． （1）若对任意实数都成立，求a，b的值． （2）若在区间上有最小值，求实数b值． （3）若，对任意的，，总有，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省永丰县二中2024级高一上学期期中考试数学试卷 （2024.11） 考试内容:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、指数与对数函数 考试时间:120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】因为集合是表示大于的有理数构成的集合，而是无理数，则，故B正确，CD错误； 另外，表示集合，在此它显然不是元素，故A错误. 故选：B. 2. 已知，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 3. 已知偶函数的定义域为，且对任意正实数（）恒有成立，则一定有 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单调性和偶函数的性质可比较或的大小. 【详解】因对任意正实数（）恒有成立，知函数在上是增函数； 又是偶函数，则在上是减函数， 因，故. 另解:偶函数在上递增，. 故选：B 4. 函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题. 5. 若函数，则的最小值和最大值分别为 （ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】结合一次函数的单调性分别求解两段函数的值域，求并集即可求得的值域，即可得解. 详解】当时，；当时，. 综合得函数的值域为，故. 故选：C 6. 命题“”是真命题的一个充分但不必要条件的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】参变分离得对恒成立，则，从而，然后结合选项利用充分不必要条件概念判断即可. 【详解】由于命题“”是真命题， 则等价于，即对恒成立，则只需即可； 又由，得，可知，从而得. 又因区间是区间的真子集， 则满足题意的一个充分但不必要条件是. 故选：B 7. 甲用元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，且获利，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了丙，在上述股票交易中对甲描述正确的是 （ ） A. 甲刚好盈亏平衡 B. 甲盈利元 C. 甲亏本元 D. 甲盈利元 【答案】D 【解析】 【分析】根据每一次交易的收支即可判断总盈亏. 【详解】甲第一次卖股票给乙，售价为（元），盈利（元）， 乙损失了将这支股票返卖给甲，则甲买入的价格为（元）， 最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了丙，售价为（元）， 这一步亏损了（元）， 所以甲总盈利为（元）. 故选：D 8. 已知函数的定义域是，对于给定的正数，定义函数；设，若，则函数的递增区间是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性解不等式、，画出的图象即可求出. 【详解】因，易得， 由，得，解得或； 由，得，解得， 根据题意可得函数， 其图象如图： 故函数的递增区间是． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面有四个命题，其中正确的命题是（    ） A. 存在，使是幂函数 B. 函数在上是减函数 C. 函数的定义域是 D. 函数与函数表示同一函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数定义求得判断A；利用反比例函数性质判断B；结合对数运算，利用分式函数中分母不为0及根号下非负求解函数定义域判断C；结合对数运算性质和同一函数概念判断D. 【详解】对于A，使是幂函数，则，得，此时，故A正确； 对于B，函数的减区间应为和，不能合并，故B错误； 对于C，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域是，故C正确； 对于D，函数，且其定义域与值域都是均与函数保持一致，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（    ） A. 在定义域上是奇函数且又是增函数 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 函数的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三次函数的性质判断A选项；根据对数的运算法则及对数函数的值域判断B选项；利用指数与对数互相转化，结合特殊值对的大小进行判断进而判断C选项；使用换元法结合函数单调性求出其最小值判断D选项. 【详解】对于A，在定义域上是奇函数且又是减函数，故A错误； 对于B，由于， 又因，则有，即，故B正确； 对于C，由对数函数与指数函数的性质易知， ，，则得，故C正确； 对于D，因函数的定义域为， 令，则（）， 易证在上是单调递增函数，则得，即，故D正确． 故选：BCD 11. 已知函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A. B. 实数的取值范围为 C. D. 实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据构造方程组可求得，判断A、C，根据求的范围，判断B、D. 【详解】由已知，得， 解得，则，故知选项A，C正确. 又因，即得，即实数的取值范围是，故知选项B正确，选项D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据对数函数性质得，然后分段函数的解析式利用对数性质求解即可. 【详解】由于，则. 故答案为：3 13. 已知函数，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】令，通过奇函数定义得是上的奇函数，然后结合对数运算代入求值即可. 【详解】令，则； 因，即满足， 又 ，知是上的奇函数； 则. 故答案为：4. 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数和的图象，数形结合求解即可. 【详解】作出函数和图象如图所示， 依题意应有，即得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． (1)分别求，； (2)已知集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 【解析】 【分析】(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可. 【详解】(1)因为，即， 所以，所以， 因为，即，所以， 所以，所以． ，所以． (2)由(1)知，若， 当C为空集时，. 当C为非空集合时，可得. 综上所述. 【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解； （2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. 【小问2详解】 当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故的取值范围是. 17. 某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元. （1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式： （2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元. 【解析】 【分析】（1）由题知，每辆车年总收入为万元，总支出为，进而得利润的表达式； （2）结合（1）得年平均运营利润为，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：（1）依题意得，每辆车年总收入万元， 总支出为， 所以辆客车运营的总利润. （2）年平均运营利润为， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 此时， 所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元. 18. 已知为奇函数，为偶函数，且满足. （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）（）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据，的奇偶性便有，联立便可解出； （2）求出，设，根据的范围，求出的范围，根据对数函数的单调性便可得出的范围，从而便可得出的取值范围. 【小问1详解】 因为奇函数，为偶函数， 所以，， 由 ①； 又由①式可得， 所以 ②； 由①②得， （）， 【小问2详解】 由（1）知（）； ， 设，则 因为函数的定义域是，则且，故， 所以的定义域为， 由，可得，，， ，， 故，所以， 要使关于的方程有解，则. 故实数的取值范围是. 19. 已知函数，且单调递增区间是． （1）若对任意实数都成立，求a，b的值． （2）若在区间上有最小值，求实数b的值． （3）若，对任意的，，总有，求实数b的取值范围． 【答案】（1），； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得到，则可转化成，利用判别式即可求得答案； （2）分和两种情况进行讨论的单调性，通过得到最小值可计算出； （3）题意可转化成对，，通过二次函数的性质求出即可求解 【小问1详解】 的单调递增区间是，可得为的对称轴，则即，即， 因为即对任意的都成立， 则，即，但，故， 【小问2详解】 的对称轴为， ①若，则在递减，在递增， 则，即，解得，则； ②若，则在递减，则，即， 综上可得，或； 【小问3详解】 因为对任意，，总有， 所以对，， 当时，，且， 所以，， 则，可得， 则，即b的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $