4.2.2 等差数列的前n项和公式（3）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的最值与应用，通过例1具体问题导入，连接等差数列通项公式与前n项和公式，搭建从数列单调性分析到二次函数图像解读的学习支架，帮助学生形成知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，一题多解（例1的数列单调性与二次函数法）培养逻辑推理，结合二次函数图像分析前n项和特征发展几何直观，实际应用例题（例3正偶奇数和、例4车队行驶问题）引导用数学眼光观察现实世界。课堂小结系统梳理知识点、题型方法和易错点，助力学生构建知识体系，教师使用能高效落实重难点，提升教学效果。

4.2.2.等差数列的前n项和公式的最值与应用 例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 一、等差数列前n项和的最值问题 例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 一、等差数列前n项和的最值问题 例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 变式：d=-3.5呢 一、等差数列前n项和的最值问题 最大 最小 一、等差数列前n项和的最值问题 最小 最大 一、等差数列前n项和的最值问题 例2、(1)已知Sn数列{an}为等差数列的前n项和，d<0，若S3=S9，则使Sn>0的n的最大值为 。 . . . . . . . . . . . . 。。 题型一、等差数列前n项和有关的最值问题 从函数的角度看Sn 二、等差数列前n项和的函数特征 当d=0 时，Sn的图象是一条过原点的直线上的均匀分布的点. 常数列 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n时的函数值. 你能画出它们的图像吗？ （1）当d >0 时，Sn的图象是一条开口向上 的过坐标原点的抛物线上孤立的点. （2）当d<0 时，Sn的图象是一条开口向下 的过坐标原点的抛物线上孤立的点. 二、等差数列前n项和的函数特征 例2、(2)已知Sn数列{an}为等差数列的前n项和S15<0,S16>0,则Sn取最小值时，n= 。 . . . . . 题型一、等差数列前n项和有关的最值问题 例2(3)、(系统集成例1)(多选)在等差数列{an}中，首项a1>0,公差d≠0，前n项和为Sn，则下列说法正确的是（ ）A. 若S3=S11,则S14=0 B.若S3=S11,则S7是数列｛Sn｝中的最大项C.若S7>S8,则S8>S9 D.若S7>S8,则S6>S9 题型一、等差数列前n项和有关的最值问题 题型一、等差数列前n项和有关的最值问题 二、等差数列前n项和的应用 例3、课本P25\3T（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和 求从小到大排列的前n个正奇数的和 在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和。 在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ 二、等差数列前n项和的应用 例4、课本P25\9T一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务。第一辆车于14时出发，以后每间隔10min发一辆车，某天下午依次出发执行运输任务，并都在18时停下来休息。 截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ 如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队当天一共行驶了多少千米? 课堂小结 1、知识点 2、题型方法 3、易错点、难点 (1)在等差数列{an}中， 当a1＞0，d＜0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定． (2)等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有 值；当d＜0时，Sn有 值，且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [1]d的符号决定Sn有最大值还是最小值 [训练1]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))的前15项中最大的项是(　　)． A．第1项 B．第8项 C．第9项 D．第15项 $