4.4 万有引力定律及应用 课件 -2026届高考物理一轮复习

第4讲　万有引力定律及应用 第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行 考点 1 考点二　万有引力定律的理解和应用 考点一　开普勒三定律的理解和应用 考点三　天体质量和密度的计算 目录 2 考点一　开普勒三定律的理解和应用 开普勒三大定律 椭圆 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上 椭圆 目录 考点 面积 定律 内容 图示或公式 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的_________跟它的公转周期的_________的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量 三次方 二次方　 目录 考点 注意 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 3.开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 目录 考点 思考 1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度:近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。 (1)v1与v2大小什么关系? (2)试推导=。 提示　(1)v1>v2。 (2)由开普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2，则有v1Δt·r1=v2Δt·r2，可得=。 2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k的值。 提示　由G=mr得=，即k=。 目录 考点 例1 (2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　) B A.周期约144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 目录 考点 解析　冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得=，整理得T1=T2=288 h，A错误;根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确;从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，其在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误;两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，其在捕获轨道近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 目录 考点 例2 (2024·山东卷，5)鹊桥二号中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　) A. B. C. D. D 解析　鹊桥二号中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有=k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有=k'，则有==，D正确。 目录 考点 考点二　万有引力定律的理解和应用 1.万有引力定律 物体的质量m1和m2的乘积 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与_______________________成正比，与它们之间__________________成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。 距离r的二次方 目录 考点 (2)适用条件 ①公式适用于______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是_________间的距离。 质点 两球心 目录 考点 2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)在地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转):由mg=G，得g=。 (2)地球上空的重力加速度g' 在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':由mg'=，得g'=。 目录 考点 3.万有引力的“两个推论” 推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。 推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=G。 目录 考点 判断正误 × √ (1)地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。( ) (2)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。( ) (3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( ) × 目录 考点 例3 (2024·全国甲卷，16)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　) A.在环月飞行时，样品所受合力为零 B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的 压力小 D 目录 考点 解析　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误;若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误;质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误;由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。 目录 考点 例4 (2025·江苏南通联考)如图所示一半径为R、质量均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到球体的万有引力分别为F1、F2、F3，则有(　　) D A.F1<F2=F3 B.F1<F2<F3 C.F1=F2=F3 D.F1=F2<F3 解析　设球体的密度为ρ，则没有挖去小球体前的质量为M=ρ·πR3，被挖去的小球体质量为M'=ρ·π=M，根据万有引力定律可得F1==， 目录 考点 F3==，采用填补法，可知质点在图中2点受到球体的万有引力大小等于挖掉的部分对质点的万有引力大小，即F2==，则有F1=F2<F3，故D正确。 目录 考点 例5 (2025·云南昆明联考)我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的向心加速度为(　　) B A.g B.g C.g D.g 目录 考点 解析　A位置的重力加速度由万有引力提供得G=mg，D位置万有引力提供重力加速度和向心加速度G=m×g+mω2R，E位置的向心加速度an=ω2r=ω2Rcos 30°=ω2R=g，故B正确。 目录 考点 万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示。 (1)在赤道: G=mg1+mω2R。 (2)在两极:G=mg2。 目录 考点 (3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G=mg。 目录 考点 例6 (2024·河南南阳高三期末)若地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零，地球表面的重力加速度为g，则地面以下深为0.4R处的重力加速度大小为(　　) A.0.16g B.0.36g C.0.4g D.0.6g 解析　设地球的密度为ρ，则在地球表面有G=mg，M=ρ·πR3，地面以下深0.4R处的重力加速度相当于半径为0.6R的球体表面的重力加速度，即G=mg'，M'=ρ·π(0.6R)3，联立可得g'=0.6g，故D正确。 D 目录 考点 1.利用天体表面重力加速度 考点三　天体质量和密度的计算 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 目录 考点 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr，得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 目录 考点 例7 (2025·湖南邵阳模拟)2023年4月24日，中国首次探测火星全球影像图在第八个中国航天日发布。其中，国际天文学联合会还将天问一号着陆点附近的22个地理实体以中国历史文化名村和名镇命名，将中国标识永久刻印在火星上。火星半径为R0，火星表面处重力加速度为g0。火星和地球的半径之比约为1∶2，表面重力加速度之比约为2∶5，忽略火星、地球自转，则地球和火星的密度之比约为(　　) A.4∶5 B.5∶4 C.5∶1 D.1∶5 B 解析　根据万有引力与重力的关系G=mg，可得M=，体积为V=πR3，则密度为ρ==，地球和火星的密度之比约为===，故B正确。 目录 考点 例8 (2024·海南卷，6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　) A. B. C. D. D 解析　 ρ=，D正确。   目录 考点 限时作业 2 目录 　基础对点练 A 对点练1　开普勒三定律的理解和应用 1.(2025·八省联考内蒙古卷，3)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　) A.1.5×103 B.1.5×104 C.1.5×106 D.1.5×107 解析　由开普勒第三定律=，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为==≈1.5×103，故A正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 BC 2.(多选)(2025·宁夏平罗中学高三月考)经过71年的长途跋涉，编号为12P/Pons－Brooks的彗星(以下简称12P彗星)于2024年4月21日通过近日点。若只考虑12P慧星与太阳的作用力，下列说法正确的是(　　) A.太阳处在12P彗星椭圆轨道的中心点上 B.12P彗星在近日点的速度比在远日点的速度大 C.12P彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值 D.在远离太阳的过程中，12P彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积逐渐增大 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　根据开普勒第一定律可知，太阳处在12P彗星椭圆轨道的焦点上，选项A错误;根据开普勒第二定律可知，12P彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，选项B正确;根据开普勒第三定律可知，12P彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值，选项C正确;根据开普勒第二定律可知，在远离太阳的过程中，12P彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，选项D错误。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 C 对点练2　万有引力定律的理解和应用 3.(2025·陕西西安高三开学考)2024年4月，神舟十八号飞船航天员乘组携带“水生密闭生态实验模块”进入中国空间站“问天”实验舱，实施国内首次在轨水生生态系统研究项目。该模块主体为一个充满水的“太空鱼缸”，其中有金鱼藻和4条斑马鱼。该系统在轨运行期间，忽略空间站受到的空气摩擦力和地球之外的天体引力，则(　　) A.斑马鱼受到浮力、地球引力和向心力 B.斑马鱼受到的浮力与地球引力大小相等，方向相反 C.斑马鱼所受向心力来自地球引力 D.斑马鱼所受地球引力与其在地面所受引力大小相等 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　浮力产生的原因为液面不同高度的压力差，空间站绕地稳定飞行时，地球对它的万有引力提供向心力，处于完全失重状态，液面没有压力差，所以斑马鱼只受万有引力作用，不受浮力作用，故A、B错误，C正确;根据万有引力表达式F=G，可知，斑马鱼所在轨道的半径更大，所以其所受地球引力比其在地面所受引力大小更小，故D错误。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 A 4.(2025·江苏镇江联考)如图所示，在半径为R均匀质量分布的某个球形天体中，挖去一半径为的球形，形成的空穴跟球形天体相切。另一均匀小球，其球心位于跟空穴中心连线上的A处，小球球心与球形空穴中心距离为d=2R，引力常量为G，已知两个球之间的万有引力大小为F0。现将小球向左移动使得d=，这时两球间的引力F与F0的比值约等于(　　) A.1.5 B.2.5 C.3.8 D.4.6 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　假设球体完整，对小球的万有引力为F1=G =，挖去部分对小球的万有引力为F2=G=， 剩余部分球体对小球的万有引力为F0=F1－F2=G，当小球向左移动使得d=R时，同理假设球体完整，对小球的万有引力为F3=G=，挖去部分对小球的万有引力为F4=G=，剩余部分球体对小球的万有引力为F=F3－F4=G，所以=1.5，故A正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 D 5.(2025·浙江金华一中月考)某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F;在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是(　　) A.该行星的自转周期为 B.该行星的质量为 C.该行星赤道处的重力加速度为 D.该行星的密度为 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力G=mg极=F，在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力G－mg赤=Fn，其中mg赤=F，联立解得Fn=F。根据向心力公式Fn=mR可得，该行星的自转周期为T=，故A错误;物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力G=mg极=F，解得M=，故B错误;在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即mg赤=F，解得g赤=，故C错误;根据ρ=可知，该行星的密度为ρ====，故D正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 C 6.(2025·贵州贵阳高三期末)在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里阐述了这样一个故事:“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉，船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若近地卫星的周期为T，当地层飞船“落日六号”在地面以下距离地心0.5R的圆形轨道上做无动力(只受万有引力)匀速圆周运动时，其运行周期为(　　) A.T B.T C.T D.2T 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　近地卫星做圆周运动时受到的万有引力提供向心力G=m，解得T=，飞船做匀速圆周运动的半径减半，根据地球的质量公式M=ρV=ρ·πR3，可知地层飞船做圆周运动时，其对应的中心天体半径减半，则对应中心天体质量变为之前的，类比于近地卫星，地层飞船的运行周期T'===T，所以运行周期不变，故C正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 C 对点练3　天体质量和密度的计算 7.(2025·八省联考河南卷，3)水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为(　　) A.64∶9 B.8∶3 C.3∶8 D.9∶64 解析　由万有引力提供向心力有G=m，又M=ρ·V， V=πR3，联立解得v=2R∝R，所以==，故C正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 B 8.(2024·新课标卷，16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 解析　设行星质量为m，轨道半径为r1，周期为T1，红矮星质量为M1，由万有引力提供向心力有G=mr1，可得M1=;同理可得太阳质量M2=(其中r2为日地距离，T2为地球公转周期)，=·=≈0.1，B正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 综合提升练 D 9.(2025·河北名校联考)2023年9月21日，我国神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在天宫空间站进行第四次“天宫课堂”授课。一天文爱好者在观看“天宫课堂”第四课的同时，根据观测记录测出天宫空间站绕地球飞行相对地心转过θ角所用时间是t。若天宫空间站运行轨道视为圆轨道，天宫空间站距地面高度为地球半径的k倍，引力常量为G。则地球的密度表达式为(　　) A. B. C. D. 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　由题意可知天宫空间站运动的角速度为ω=，根据G=mω2r，设地球半径为R，又r=(1+k)R，地球的质量M=πρR3，联立解得地球的密度ρ=，故D正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 D 10.(2024·浙江6月选考，8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则(　　) A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比= D.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比= 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　由开普勒第二定律可知，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A错误;由G=ma，可得a=，结合题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球的公转半径，故小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，B错误;根据开普勒第三定律可得=，则=，C错误;甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比===，D正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 A 11.(2025·山东名校联盟联考)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一质量分布均匀的球体，半径为R。若在地球内部修一条距离地心O点半径为r的圆管形轨道，轨道的内径远小于r。可视为质点的物体以速率v在轨道内做匀速圆周运动，且与轨道无相互作用，已知地球表面的重力加速度为g，则物体的速率为(　　) A.r B.R C. D. 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　设地球的密度为ρ，在地球表面处有G=mg，其中M=ρ·πR3，物体以速率v在轨道内做匀速圆周运动，且与轨道无相互作用，则有G=m'，其中M'=ρ·πr3，联立解得物体的速率为v=r，故A正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 D 12.(2025·福建漳州模拟)嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为T1的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为T2的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的k倍。引力常量为G，则(　　) A.根据题中所给信息可求出地球的质量 B.根据题中所给信息可求出月球的质量 C.周期T1和T2满足= D.地球质量与月球质量之比= 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 解析　月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，有G=M月(kR月)，解得M地=，因月球半径未知，则不能求出地球的质量，故A错误;嫦娥七号绕月球表面做匀速圆周运动的周期为T1，有G=mR月，解得M=，因月球半径未知，则不能求出月球的质量，故B错误;开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误;地球的质量与月球的质量之比等于=，故D正确。 07 01 02 03 04 05 06 08 09 目录 12 10 11 限时作业 $