12.3.2 等腰三角形的判定 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形和等边三角形判定定理，通过复习等腰三角形定义及性质导入，以“如何判定”为问题支架，衔接前后知识，引导学生从性质逆命题展开探究。 亮点在于以探究活动贯穿始终，“做一做”“量一量”培养数学眼光，猜想后严谨证明发展推理能力，几何语言规范表达强化数学语言。例题练习层次分明，助力学生掌握判定应用，教师教学流程清晰，提升课堂效率。

第十二章 全等三角形 12.3 等腰三角形 等腰三角形的判定 数学华东师大版八年级上册 1.掌握等腰、等边三角形判定定理； 2.会利用等腰、等边三角形的判定定理解决相关问题； 3.经历探索等腰三角形和等边三角形判定定理的过程，培养学 生从猜想验证到严谨证明的科学思维，掌握从特殊到一般、类比归纳的数学方法； 4.通过探究积累数学活动经验，发展空间观念. 学习目标 1.什么是等腰三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.等腰三角形具有哪些性质呢？ ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ③等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线，互相重合(三线合一). 复习回顾 活动一：等腰三角形的判定 思考：对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢? 根据定义，看它是否有两条边相等. 想一想：你还能找到其他的判定方法吗？ 探究新知 活动一：等腰三角形的判定 我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？ 做一做：如图，已知∠α，试作△ABC，使∠A =∠B=∠α . 作法：作∠BAM=∠α，∠ABN=∠α， AM与BN交于点C. 如图 ，△ABC 即为所求作的三角形. α A B C M N 探究新知 量一量：你发现了什么？ 如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形. 活动一：等腰三角形的判定 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形. AC=BC △ABC是等腰三角形 你能证明上述猜想吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB =AC. A C B 探究新知 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB =AC. A C B 活动一：等腰三角形的判定 分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD. A C B D 1 2 证明：如图，作∠BAC的平分线AD， 在△BAD和△CAD中，∠B=∠C，∠1=∠2，AD = AD ∴△BAD≌△CAD(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) 还能添加怎样的辅助线呢？ 探究新知 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB =AC. A C B 活动一：等腰三角形的判定 分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边. A C B D 1 2 A C B D AD⊥BC △BAD≌△CAD(AAS) 探究新知 我们得到等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”. 总结 几何语言： 在△ABC中，∠B=∠C， ∴AB=AC. A C B 活动一：等腰三角形的判定 探究新知 活动二：等边三角形的判定 思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C， 求证：△ABC是等边三角形. A C B 根据定义，三边都相等的三角形是等边三角形. 你能证明上述猜想吗？ 探究新知 活动二：等边三角形的判定 A C B 证明：∵∠A=∠B，∴AB=AC， 同理，AB=BC ∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形. 探究新知 我们得到等边三角形的判定1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 总结 几何语言： 在△ABC中，∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形. A C B 活动二：等边三角形的判定 探究新知 活动二：等边三角形的判定 思考：如果是一个等腰三角形，那么满足什么条件就是等边三角形呢？ 猜想：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， 求证：△ABC是等边三角形. A C B 你能证明上述猜想吗？ 探究新知 活动二：等边三角形的判定 A C B 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C， 又由∠A=60°， ∴∠B=∠C=∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， 求证：△ABC是等边三角形. 探究新知 我们得到等边三角形的判定2： 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 总结 几何语言： 在△ABC中，AB=AC，∠A=60° ∴△ABC是等边三角形. A C B 顶角、底角都可以 活动二：等边三角形的判定 探究新知 总结 活动二：等边三角形的判定 判定方法 等腰三角形 等边三角形 定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 其他 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 探究新知 如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°． 求证：AB＝AC. 分析：利用三角形的内角和定理及等角对等边进行求解即可. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∠B=70° ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70° ∴∠C=∠B ∴ AB=AC(等角对等边) 注意 利用等角对等边的判定方法，需要找准对应的边和角. 教材 例题 A B C 40° 70° 应用新知 如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC. 证明：∵AB∥CD ∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1=∠2 (已知) ∴∠B=∠1(等量代换) ∴AB=AC(等角对等边) A B C D 1 2 教材 例题 分析：要证AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2即可. 应用新知 如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. B′ C′ A′ B A B C C′(C ) A′(A ) 证明：由于直角边AC＝A′C′，我们移动Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A'C'的两侧. ∵∠A′C′B=∠A′C′B′=90°， ∴∠B′C′B＝∠A′C′B′ +∠A′C′B=180°， 即点B′、C′、B在同一条直线上. 教材 例题 应用新知 如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. B′ C′ A′ B 证明：在△A′B′B中，∵ A′B′=AB=A′B， ∴∠B=∠B′(等边对等角) 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠B=∠B′，∠ACB=∠A′C′B′，AC=A′C′ ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. (AAS) 这样，我们就证明了前面已给出的判定直角三角形全等的HL判定定理. 教材 例题 应用新知 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形. 经典例题 A C B D E 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=∠B=∠C. ∵ DE//BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠A=∠ADE=∠AED. ∴ △ADE是等边三角形. 应用新知 教材 练习 1.如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由. 解：∵∠A=72°，∠B=36°，∴∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠A，∴△ABC是等腰三角形. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=36°， ∴∠ADC=72°，∴∠ADC=∠A，∠BCD=∠B ∴△ACD、△BCD是等腰三角形. B A C D 课堂练习 2. 如图，AB = DC，∠ABC =∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB =EC. B A E D C 证明：在△ABC和△DCB中， ∵ AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴ △ABC≌△DCB(SAS)， ∴ ∠ECB=∠EBC， ∴ EB=EC. 教材 练习 课堂练习 证明：∵CE∥DA，∴∠A=∠CEB. ∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B， ∴CE=CB . 3.如图，∠A =∠B，CE∥DA.求证：CE = CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形？ A B E C D 教材 练习 再增加∠B＝60°，可使△BCE成为等边三角形(任意一角)； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 也可以：BE=BC，BE=CE(三边都相等的三角形是等边三角形). (答案不唯一) 课堂练习 作法：①作线段BC=a. ②作线段BC的垂直平分线DE，交BC于点D. ③在DE上截取DA =h. ④连接AB、AC， 则△ABC即为所求作的等腰三角形. 4.已知底边及底边上的高线作等腰三角形，即：如图，已知线段a、h，求作△ABC使AB=AC，BC=a，边BC上的高AD=h.(不写作法，保留作图痕迹) h a 教材 练习 D B C E A 课堂练习 5.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长 为______cm. 9 6.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O 课堂练习 B C D A E 7.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数. 解：∵ △ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°，∠DBA=30°. ∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED， ∴∠BDE=(180°-∠DBA)÷2 =(180°-30°)÷2=75°. ∴∠EDA=90°-∠BDE=90°-75°=15°. 应用新知 8.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E F 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形， ∴AO=BO=CO=DO，∠AOB=∠COD=60°. ∵A，O，D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°， ∴△COA ≌△DOB(SAS)，∴∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F， ∵ ∠EFB=∠AFO，∴ ∠AEB=∠AOB=60°. 应用新知 等腰 三角形 等腰三角形的判定 等边 三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义). 有三条边相等的三角形是等边三角形(定义). 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 总结归纳 $