5.3　二元一次方程组的应用 第3课时　利用画图法找等量关系 教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦利用画图法找等量关系，通过小长方形墙砖拼图情境导入，引导学生观察图形长与宽的关系，衔接长方形性质，为行程问题线段图分析搭建从具体到抽象的学习支架，落实二元一次方程组解决实际问题的步骤。 特色在于以几何直观驱动问题解决，火车过隧道例题通过线段图清晰呈现“隧道长+火车长”与“隧道长-火车长”的等量关系，培养学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理行程规律，用数学语言建立方程组模型，助力学生提升问题转化能力，为教师提供生活化情境与分层例题，便于高效教学。

第3课时　利用画图法找等量关系 课题 第3课时　利用画图法找等量关系 授课人 教 学 目 标 1.用二元一次方程组解决行程问题,归纳用方程组解决实际问题的一般步骤. 2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,学会借助图表分析问题,感受化归思想. 3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会模型思想,发展应用意识. 4.在学习过程中体验把复杂问题化为简单问题的策略,体验成功感,同时培养学生克服困难的意志和勇气,树立自信心,并鼓励学生合作交流,培养学生的团队精神. 教学 重点 　　用二元一次方程组解决行程问题,体会列方程组解决实际问题的步骤. 教学 难点 　　将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图5-3-3(单位:cm),8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少? 图5-3-3 建议:让学生观察图形,找到长和宽之间的关系,有问题时师生共同交流,以便在课堂中讨论解决. 揭示本节课的学习内容:利用画图法找等量关系. 　　创设问题情境,激发学生的学习兴趣,引导学生观察图形长和宽的关系. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 利用画图法找等量关系 【情境问题】 (1)在【课堂引入】中的问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能列方程组解决这个问题吗? 师生活动:先让学生观察图形的特点,利用长方形的对边相等的特点,找到长方形的长与宽的关系,然后再对两个问题进行分析,并在小组内进行交流. 解:(1)涉及的量有小长方形的长和宽,大长方形的长和宽等. 等量关系:小长方形的长+小长方形的宽=40; 1个小长方形的长=3个小长方形的宽. (2)设每块小长方形墙砖的长为x cm,宽为y cm, 根据题意,得 解得 所以,每块小长方形墙砖的长为30 cm,宽为10 cm. 【应用】 例　(教材例题)火车以40 m/s的速度经过一个隧道,从车头进入隧道到车尾驶出隧道,共用时30 s,其中火车全身都在隧道里的时间是20 s,求隧道和火车的长度. 分析: 本题涉及哪些量? 学生思考得出:涉及的量有火车的速度,从车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间,火车全身都在隧道里的时间. 追问:你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗?这种情况下,火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系?类似地,对于“火车全身都在隧道里”的情形,相信你也可以得到相应的关系! 　　1.引导学生分析题目中包含的所有等量关系,并用等式的形式表示出来,便于学生顺利列出方程组,更好地体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效模型. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 处理方式:让学生在小组内进行尝试画线段图,教师巡视指导,然后展示线段图,并让学生完成解答过程. 说明:展示图形时,要让学生明确从车头进入隧道到车尾驶出隧道行驶的路程是隧道长+火车长;而火车全身都在隧道里行驶的路程是隧道长-火车长. 解:“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图5-3-4①②表示. 图5-3-4 设隧道的长度为x m,火车的长度为y m,根据题意,得 解这个方程组,得 所以,隧道和火车的长度分别是1000 m和200 m. 变式 甲从南向北走,乙从西向东走,甲从南距交叉点240米的地方开始行走,乙从交叉点开始行走,3分钟后甲、乙距交叉点的距离一样,24分钟后又一样,求甲、乙的速度分别为多少. 解:设甲的速度为x米/分,乙的速度为y米/分. 由题意得 解得 所以,甲的速度为45米/分,乙的速度为35米/分. 　　2.通过线段图的分析,让学生找出题目中的等量关系,感受利用线段图分析数量关系的方法在解答实际问题中的作用. 【拓展提升】 A,B两地相距20 km,甲从A地向B地前进,同时乙从B地向A地前进,2 h后二人在途中相遇.相遇后,甲返回A地,乙仍向A地前进,当甲回到A地时,乙离A地还有2 km,求甲、乙二人的速度分别是多少. 　　提升学生分析问题和解决问题的能力,因材施教. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图5-3-5,在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形,根据图中给出的数据,可得出阴影部分面积为 (　　) 图5-3-5 A.48　　　　　B.52　　　　　C.58　　　　　D.64 2.小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地,已知A,B两地之间的距离为10 km,小明骑山地车的速度是13 km/h,小强骑自行车的速度是8 km/h,若小强先出发15 min,则小明追上小强时,两人距离B地 (　　) A.4.8 km B.5.2 km C.3.6 km D.6 km 活动 三: 课堂 总结 反思 3.某船顺流航行48 km用了4 h,逆流航行32 km用了4 h,求水流速度和船在静水中的速度. 4.小颖家离学校4800米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.她跑步去学校共用了30分钟.已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时,下坡时的平均速度是12千米/时.求小颖去学校上、下坡各多少千米. 　　检测学生本节课的学习效果,以基础题目为主,重在熟练方法. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 　　本节课,教师由情境问题利用长方形中对边相等的性质找到线段之间的关系,然后通过例题利用线段图分析数量之间的关系,整个过程中学生通过独立思考和合作学习,在和谐的氛围中学习并掌握了利用线段图分析数量关系的方法. ②[讲授效果反思] 　　本节课重点是利用二元一次方程组解决行程问题,引导学生正确分析题意,掌握解决方法.解二元一次方程组虽不是本节课的重点,但是本节课所列的方程组都比较复杂,对部分同学来说解所列的方程组还是一个难点,以后要多强化训练. ③[师生互动反思] 在自主探究例题时,给予学生独立思考的空间是必要的,有助于学生思维的发展.而各组围在黑板前去讨论、探究,从而列方程,解方程,使每个学生都能积极参与到活动中.以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感,每个学生都想积极争做最好.同时也利于教师去观察学生分析问题的能力,了解他们解决问题的方向. ④[习题反思] 好题题号　 　  错题题号　 　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $