第五章 圆 练习题2025－2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

第五章圆的练习题 一、单选题 1．下列语句正确的有（    ） ①圆心角相等，所对的弧也相等； ②圆心角相等，所对的弦也相等； ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧； ④等弧所对的圆心角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 4．如图，是半圆的直径，是半圆上一点，将半圆沿折叠交于点，已知的度数为，则为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，四边形为平行四边形，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 8．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 11．如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 12．如图，内接于，于，交于，为的中点，交于，的直径为．下列结论：；的值为定值；；，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 13．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 14．如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ． 15．如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 16．如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是 ． 17．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 18．学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 三、解答题 19．如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 20．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的直径． 22．如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 23．已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 24．如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的半径． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查圆的基本性质，需在同圆或等圆中讨论圆心角、弧、弦的关系．语句①、②未指定同圆或等圆，故不一定成立；语句③忽略优弧和劣弧的区别，故错误；语句④符合等弧的定义和性质，故正确． 【详解】解：∵ 圆心角相等需在同圆或等圆中才保证所对弧相等，①未指定条件，∴ ①错误； ∵ 圆心角相等需在同圆或等圆中才保证所对弦相等，②未指定条件，∴ ②错误； ∵ 长度相等的弦所对弧可能有优弧和劣弧之分，不一定相等，∴ ③错误； ∵ 等弧定义是在同圆或等圆中能重合的弧，故所对圆心角相等，∴ ④正确． 综上，只有④正确， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为． 故选：C． 3．D 【分析】作于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得得到，设圆的半径为r，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得出是直角三角形，由勾股定理可得出，解方程求得即可求得BD的长． 【详解】解：作于E， ， ， 垂直平分， 过圆心， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设圆的半径为r，则， ， ， 在中，， ， 整理得，即， （负值舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判断，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．B 【分析】本题考查了折叠的性质，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先充分理解题意，再找折叠前点的对应点，故，，则，得，结合的度数为，得，再运用圆周角定理，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，记点是点折叠前的对应点，即与关于对称，连接，如图所示：      ∵是半圆的直径，是半圆上一点，将半圆沿折叠交于点，与关于对称， ∴，， 即， ∴， ∵的度数为，， ∴， ∴． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 利用“圆内接四边形的对角与圆心角的关系”，结合平行四边形中，通过圆周角定理，最终求出的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故选：B． 7．D 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 9．A 【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 10．D 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 11．C 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，先利用为的斜边上的中线得到，则，再根据对顶角相等得，根据圆周角相等得，于是有，则可对进行判断；作于，连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得，，由于，则，然后根据等角的余角相等得到，于是可根据“”证明，得到，再根据垂径定理由得到，所以，则可对进行判断；在中，利用勾股定理得，加上，，则，于是可对进行判断；利用和三角形面积公式可对进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点，即为的斜边上的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； 作于，连接，如图， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 在中，∵，，， ∴， ∵为圆的半径，为定值， ∴的值为定值，故正确； ∵， ∴，故正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 13．2 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴液体的最大深度， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，连接，可得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，，进而根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，从而得到，再结合切线的性质得到，从而得到，解直角三角形即可求出；连接，然后结合平行线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等，证明是解题的关键． 17．5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 18． 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可求解． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积： ． 故答案为：． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）利用圆周角定理可得，即得，又由垂直得，再根据等腰三角形的性质和余角性质可得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质可得，即得，得到是等边三角形， 进而可得，再根据弧长公式计算即可求解； （）设圆锥底面圆的半径为，可得，求出的值，再根据圆锥的表面积侧面积底面积计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点恰好是的中点，， ∴， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴优弧长为； （3）解：设圆锥底面圆的半径为， ∵优弧长为， ∴， ∴， ∴该圆锥的表面积为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，余角性质，相似三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，圆锥的表面积，掌握以上知识点是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 22．(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 23．(1)证明详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线、勾股定理以及圆的性质： （1）连接，利用，求出，得到平行于，可知． （2）过点作于点，根据，求得，再根据勾股定理计算出，最后将阴影部分的面积转化为，将每个面积求出来相减即可． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， 平行于， ， ， 是的切线． （2）解：过点作于点， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， ． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理. （1）根据垂径定理得到，则 ，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解； （2）根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵为的直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点E是弦的中点， ∴ 设半径为， 在中，由勾股定理得， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $