重难点专题01反比例函数6大解题模型（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题01反比例函数的解题模型 重难点一 反比例函数y=的比例系数与面积关系：单K模型 反比例函数的比例系数k的几何意义：等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴围成的矩形的面积.在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形面积时，常用比例系数 的几何意义求解. (1)如图①，四边形ACOB是矩形， A(a,b)是双曲线y=上一点，则 矩形ACOB的面积=ab= (2) 如图②，A(a,b)是双曲线y=上一点，AB⊥x轴，垂足是B,则△AOB的面积=ab= 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D．4 3．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段的中点C，连接并延长交x轴于点D．则的面积为 ． 5．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 重难点二 反比例函数y=的比例系数与面积关系：双K模型 (1)如图，四边形ABCD是矩形，B是双曲线y=上一点，A是双曲线y=上一点，AB∥x轴，BA的延长线交y轴于点E,则矩形ABCD的面积= (2)如图，△AOB的顶点A在双曲线y=上，顶点B在双曲线y=上，AB∥y轴，AB的延长线交x轴于点C, 则△AOB的面积= 6．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 8．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 9．如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与的图像上，则的面积为 ． 10．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 重难点三 反比例函数图象与三角形中点模型 如图，若点A,B是双曲线y=上的两点，且AD⊥x轴，垂足是D,BE⊥x 轴，垂足是E,且点B是AC的中点，则 (1OD=DE=EC; (2)= 11．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．9 B．8 C．6 D．12 12．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 13．已知：如图，点B、C是反比例函数图象上的两点，过点C作轴于点D．过点B作轴于点A，连接，交于点E，连接、．当A为中点且时，的面积为 ． 14．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 15．如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 重难点四 反比例函数图象与矩形中点模型 如图①，若双曲线y=过矩形相邻两边的“中点”，则四边形OEBF的面积=,△BEF的面积= 16．如图，点，在反比例函数（k是常数，）的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 18．如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 19．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 20．如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 重难点五 反比例函数与一次函数相结合的面积问题 题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。 解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积 - 小图形面积”计算目标面积 方程思想：方程思想是根据条件构造方程（组），并通过解方程（组）来解决问题.本章中反比例函数的解析式的确定及关于反比例函数的实际问题中无不渗透着方程思想，它集中体现在待定系数法的运用上 21．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 23．如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 重难点六 反比例函数与几何压轴问题 1.解题思路（1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件 （2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。 （3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决问题（如求面积、解析式）。 2.常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与坐标轴关联的直角图形”， 25．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． (1)m与n的关系是_________； (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 26．（25-26九年级上·河北唐山·期中）把一个含有角的三角板放在平面直角坐标系中，使两条直角边分别落在两坐标轴上，直角顶点与坐标原点O重合，如图1所示．反比例函数图象经过直角三角板斜边的中点M，已知，． (1)直接写出A点的坐标，并求反比例函数解析式； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，使点A落在反比例函数图象上，过点A作轴于点D，如图2． ①求四边形的面积； ②直接写出点B坐标． 27．（25-26九年级上·四川·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 28．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）在矩形中，，分别以，所在直线为轴、轴，建立如图①所示的平面直角坐标系．是边上一个动点（不与点B，C重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点运动到边的中点时，点的坐标为________； (2)连接，求的值； (3)如图②，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，求的长度． 29．（25-26九年级上·四川成都·期中）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】 （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示） 一、单选题 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．4 3．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则 ． 8．（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 9．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为1，D为的中点，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 11．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，的面积等于3．若反比例函数的图象经过、两点．则 ； ． 三、解答题 12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 13．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 14．（2025·河南郑州·二模）如图，直线过原点，交双曲线于，两点，轴，垂足为点，且的面积为4． (1)求的值； (2)若，将直线向上平移2个单位长度得到直线． ①求的值，并直接写出当时，对应的自变量的取值范围；②若点，过作轴的平行线交直线于点，交双曲线于点，当三点中，其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时，请直接写出的值． 15．（2024·四川泸州·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，过A点作x轴的垂线，的面积为6． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 16．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． (1)的值为______． (2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01反比例函数的解题模型 重难点一 反比例函数y=的比例系数与面积关系：单K模型 反比例函数的比例系数k的几何意义：等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴围成的矩形的面积.在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形面积时，常用比例系数 的几何意义求解. (1)如图①，四边形ACOB是矩形， A(a,b)是双曲线y=上一点，则 矩形ACOB的面积=ab= (2) 如图②，A(a,b)是双曲线y=上一点，AB⊥x轴，垂足是B,则△AOB的面积=ab= 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，设点，则点，，由求出，即可得出结论，求出的值是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， 设点，则点，， 轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级下·重庆·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（    ）    A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点作轴于点，先根据一次函数的解析式求出，再根据反比例函数可得的面积为1，利用三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标，代入计算即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，    对于一次函数， 当时，，即， ∵点位于反比例函数的图象上，且轴于点， ∴的面积为， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∴， 将代入一次函数得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故选：D． 3．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2021·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段的中点C，连接并延长交x轴于点D．则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据已知条件证得四边形是矩形，，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 5．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 重难点二 反比例函数y=的比例系数与面积关系：双K模型 (1)如图，四边形ABCD是矩形，B是双曲线y=上一点，A是双曲线y=上一点，AB∥x轴，BA的延长线交y轴于点E,则矩形ABCD的面积= (2)如图，△AOB的顶点A在双曲线y=上，顶点B在双曲线y=上，AB∥y轴，AB的延长线交x轴于点C, 则△AOB的面积= 6．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 7．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点B是反比例函数的图象上一点， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与的图像上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握平行四边形的性质、反比例函数系数是解题的关键．作轴于，轴于，连接，根据题意得出轴，可知，即可得出，根据反比例函数系数的几何意义即可得出的面积为． 【详解】解：作轴于，轴于，连接， 则四边形是矩形， ∵的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上， ∴轴， ∴， ∴， 由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为， ∵，， ∴的面积为， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·江苏盐城·月考）如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 重难点三 反比例函数图象与三角形中点模型 如图，若点A,B是双曲线y=上的两点，且AD⊥x轴，垂足是D,BE⊥x 轴，垂足是E,且点B是AC的中点，则 (1OD=DE=EC; (2)= 11．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．9 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，作轴于，连接，则，证明，得出，，由三角形面积得出，从而得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，连接， ， 则， ∵E为的中点， ∴， ∵过点B作轴，垂足为D，作轴于， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 12．（2025·四川绵阳·一模）如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意结合反比例函数图像上点的坐标性质，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，      ∵反比例函数 在第一象限的图像上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选B． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，点B、C是反比例函数图象上的两点，过点C作轴于点D．过点B作轴于点A，连接，交于点E，连接、．当A为中点且时，的面积为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，即可得到， 求出，根据三角形中线求出三角形面积即可． 【详解】解：轴于点．轴于点， ∴， ∴， 为中点， ， ∴， ∴E为中点， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，根据三角形中线求三角形面积，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，作轴于，连接，则，证明，得出，，由三角形面积得出，从而得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，连接， ， 则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【答案】(1)4，8 (2)不变，8 【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得； （2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点， ∵平行y轴，平行y轴， ∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形是矩形，四边形是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， ， ∴， 故答案为：4；8； （2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， 同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形， 则，，，， ∴， ∴， 由（1）可知：． 重难点四 反比例函数图象与矩形中点模型 如图①，若双曲线y=过矩形相邻两边的“中点”，则四边形OEBF的面积=,△BEF的面积= 16．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点，在反比例函数（k是常数，）的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义（双曲线上点与坐标轴围矩形面积为 ），熟练掌握反比例函数坐标特征及图形面积的坐标表示是解题关键．通过设点坐标，结合表示出、坐标，再利用四边形面积与矩形、三角形面积的关系列方程，求解（，为反比例函数上点的坐标 ）． 【详解】解：设，在上， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 把代入，得， ∵， ∴ ， 延长交轴于， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：D． 17．（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，与一次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据反比例函数的意义，与一次函数的交点问题，矩形的性质等依次判断即可 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：， ∴， ∴，选项错误，符合题意； 故选：D 18．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义可解决问题，四边形的面积可用矩形面积减去和的面积之和，再结合的几何意义即可；借助参量将与表示出来，再比较；由点是中点，可得出与之间的关系，进而可判断点是否为的中点． 【详解】解：点和点都在上，且四边形是矩形， ，， 与的面积相等， 故正确； 点在上，且四边形是矩形， ， 又由知：， 所以， 四边形的面积不一定等于矩形面积的一半， 故错误； 令点的坐标是， 四边形是矩形， 则点的坐标是，点的坐标是， ，， 与不一定相等， 故错误； 由可知， 若点是中点， 则，即， ， 则， 即， 故点是的中点． 故正确． 故答案为：． 19．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 20．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 重难点五 反比例函数与一次函数相结合的面积问题 题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。 解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积 - 小图形面积”计算目标面积 方程思想：方程思想是根据条件构造方程（组），并通过解方程（组）来解决问题.本章中反比例函数的解析式的确定及关于反比例函数的实际问题中无不渗透着方程思想，它集中体现在待定系数法的运用上 21．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，反比例函数和一次函数的交点． 利用反比例函数图像关于原点对称的性质；时在每一象限内，y随x的增大而减小的性质；k的几何意义即可判断正误． 【详解】①反比例函数的图象与正比例函数的图象若有交点，一定是两个，且关于原点对称，①正确； ②根据A，B关于原点对称，易知即为A点横纵坐标的乘积，为定值1，②正确； ③，对于，在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果，那么，当P，Q不在同一象限内时，如果，那么，故③错误； ④在中，和y轴并不垂直，所以面积不会等于，故④错误； 因此正确的是①②， 故选B． 22．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【分析】（1）根据两个函数都过点，利用待定系数法，即可确定、，从而得到函数表达式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形面积的割补法，将的面积转化为与的面积差，结合三角形面积公式计算出结果． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， ， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ， 点是反比例函数图象上一点， ， 设直线的表达式为， 可得， 解得， 直线的表达式为， 延长DB交y轴于点E， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点坐标求法、三角形面积的割补法计算是解题的关键． 23．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数、反比例函数交点问题，待定系数法求解析式， （1）把代入得出，进而求出点坐标，代入一次函数解析式可求解； （2）设直线与轴的交点为，先求出点坐标，由面积的和差关系可求，即可求解． （3）根据图象确定一次函数在反比例函数上方对应的自变量范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴ 把代入得， ∴， 将，代入得 解得： ∴ （2）如图，设直线与轴的交点为， 设点， 直线与轴的交点为， 点， ，， ， ， 或． （3）∵，， 根据函数图象可得时x的取值范围为或． 24．（2025·四川内江·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值； （3）记直线与轴交点为点，先求出，根据即可求解； （4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标． 【详解】（1）解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得： ， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：如图，由图象得：时的取值范围是：或； （3）解：记直线与轴交点为点， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴； （4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况： 当时，如图， ， ， 或； 当时，如图，    设， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ； 当时，如图，过作轴于，    设，则，， ， ， ， ； 综上，的坐标为或或或． 重难点六 反比例函数与几何压轴问题 1.解题思路（1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件 （2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。 （3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决问题（如求面积、解析式）。 2.常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与坐标轴关联的直角图形”， 25．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． (1)m与n的关系是_________； (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)；反比例函数表达 (3)存在， 【分析】（1）将点，代入，可得，从而得到m与n的关系； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，得到，然后结合点的坐标，可以得到，结合（1）可得，从而推出点，最后求得答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可得，此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求得直线的表达式，然后求得其与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点，两点， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：    点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：存在，，理由如下： 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： ∴， ∴，此时的值最小，最小值为， 由（2）可知，， ∴， 设直线的表达式为代入点，， ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形全等的判定与性质，轴对称图形的特征，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26．（25-26九年级上·河北唐山·期中）把一个含有角的三角板放在平面直角坐标系中，使两条直角边分别落在两坐标轴上，直角顶点与坐标原点O重合，如图1所示．反比例函数图象经过直角三角板斜边的中点M，已知，． (1)直接写出A点的坐标，并求反比例函数解析式； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，使点A落在反比例函数图象上，过点A作轴于点D，如图2． ①求四边形的面积； ②直接写出点B坐标． 【答案】(1)，反比例函数解析式 (2)①；②， 【分析】（1） 根据中点坐标公式和已知点M的坐标，可求出点A的坐标；将点M坐标代入反比例函数一般式即可求得解析式； （2）①根据旋转后点A在反比例函数图象上，设旋转后点A坐标为，根据长度不变建立方程求出点A坐标，再通过面积割补法求四边形面积；②利用含角的直角三角形的边角关系和旋转性质，通过分类讨论求得点B的坐标． 【详解】（1）解：∵M是斜边的中点，，且A在x轴上， 设，，根据中点坐标公式得： ，， 解得：， ∴A点坐标为，， 设反比例函数解析式为 ， ∵图象经过点， ∴， 解得 ， ∴反比例函数解析式为 ； （2）解：①∵旋转后点A落在反比例函数图象上， 设旋转后点A坐标为， 由旋转性质知， ∴， 即 令， 则， ， 解得或， ∴或（舍去，因A在第一象限）， ∴或， 四边形的面积 ， ， 当或时， ， ∴四边形的面积 ， ②情况一：当时， 则， ∴， ∴， 过B作轴于E， ， ∴ ， ∵B在第二象限 ∴ 情况二：当时， 则， ∴， ∴， 过B作轴于E， ， ∴， ， ∵B在第二象限 ∴ 综上，点B的坐标为或 【点睛】本题考查反比例函数解析式的求解，图形旋转的性质，中点坐标公式的应用，函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 27．（25-26九年级上·四川·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①点在某一函数图象上运动，；②或． 【分析】（1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； （2）解：①点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 28．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）在矩形中，，分别以，所在直线为轴、轴，建立如图①所示的平面直角坐标系．是边上一个动点（不与点B，C重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点运动到边的中点时，点的坐标为________； (2)连接，求的值； (3)如图②，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先确定出点，坐标，进而求出点坐标，再用点是中点，求出点坐标，利用待定系数法求出，最后将点的纵坐标为代入反比例函数解析式中即可求出点坐标； （2）设出点，，代入反比例函数中得出和，进而可得和的值，进而即可求解； （3）过点作于，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上，且纵坐标为， 点的横坐标为， ， 故答案为：； （2）解：点的横坐标为4，点在反比例函数上， ， ， 点的纵坐标为， ， ， ； （3）解：由（2）知，． 如图，过点作于点， 则， ， 由折叠知，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 29．（25-26九年级上·四川成都·期中）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】 （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）过点P作轴于点H，则，根据题意可证明，进一步求出，再利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）①过点C作轴于点W，则，，先求出点A、B坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，继而得到它们与x轴的交点坐标，从而得到，进一步证明，即可得出结论； ②过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则，利用角的转换得到，继而可得，从而，所以，再设，则，利用勾股定理建立方程，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：（1）过点P作轴于点H， 直线与直线为“等腰三角线”， ， ， ， 点P、Q的坐标分别为、， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为； （2）①如图2，过点C作轴于点W，则，， 联立方程组， 解得，， 、， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得， 解得， ， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得， 解得， ， 当时，解得， ， ，， ， ， ， ， 直线与直线为“等腰三角线”； ②如图3，过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则， ， ， 由①可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，反比例函数与一次函数的图象的交点问题，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，解直角三角形等知识，综合运用反比例函数与几何图形的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质，设直线l与y轴交于点C，连接，根据平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C，连接， ∵直线l与x轴平行， ∴，轴， ∴， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点和点， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义；连接，，根据轴，则，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 与同底等高， ， 轴， 轴， 、分别在反比例函数和的图象上， ，， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，，又，则，故有，因为的面积为，所以，整理得，从而求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 故选：． 5．（2025·全国·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键． 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，代入的坐标得出，将代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 依题意， 又∵， ∴ ∵和 ∴ 解得： ∵和在上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：C 6．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由代入求出k值，故①符合题意；和、分别交于M和N两点，利用k的几何意义可得，故②符合题意；根据的最小值逐渐趋向于的长度，故③不符合题意；向右平移的过程中与是矩形的对角线与边的夹角，即判断④解答即可． 【详解】解：①∵A，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②和、分别交于M和N两点， ∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误； ④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题 7．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．延长分别交轴，轴于点，易得四边形的面积，即可得解答案． 【详解】解：延长分别交轴，轴于点，如下图， ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，即为直角三角形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B、点C在反比例函数（，）上， ∴，， ∴四边形的面积， ∴． 故答案为：2． 8．（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，先求出反比例函数的解析式为，可得，然后结合行四边形的面积是24，可得，再求出直线的解析式为，设点C的坐标为，点B的纵坐标为，，可得点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 9．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为1，D为的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何含义是解题关键．过点作轴于点，根据反比例函数的几何含义，得到，进而得到，证明，得到，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， A、B是双曲线上的两点，轴，轴， ， ， ， ， D为的中点， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．过点作于点，根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，则可得到，由等腰三角形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称，即， ∵，，， ， ， ∴， ∴ ∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，的面积等于3．若反比例函数的图象经过、两点．则 ； ． 【答案】 9 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出、的坐标是解题的关键． 根据三角形面积公式求得，易证得，得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理即可得出的值；设，则，根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得，进一步求得k的值． 【详解】解：作轴于，延长，交于，设与轴的交点为， 四边形是平行四边形， ， ， 轴， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的纵坐标为， 设，则， 反比例函数的图象经过、两点， ， 解得， ． 故答案为：；9． 三、解答题 12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将两点横坐标代入函数，求出，再根据比较大小； （2）先四边形是矩形，再说明，，然后四边形的面积为，求出的值． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图象上， ∴． 13．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，掌握值的几何意义，是解题的关键： （1）解直角三角形，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可； （2）根据中点坐标公式，求出点坐标，进而求出，值的几何意义，得到，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴， ∴， ∴； （2）∵延长OA到点，使得， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴， ∴的面积． 14．（2025·河南郑州·二模）如图，直线过原点，交双曲线于，两点，轴，垂足为点，且的面积为4． (1)求的值； (2)若，将直线向上平移2个单位长度得到直线． ①求的值，并直接写出当时，对应的自变量的取值范围；②若点，过作轴的平行线交直线于点，交双曲线于点，当三点中，其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)①，或；②或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，函数图象的平移，函数和不等式的结合，函数图象和中点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． （1）利用反比例函数和正比例函数的性质可知，图象交点关于原点对称，得出，然后利用反比例函数的性质即可求解； （2）①先通过求出正比例函数的解析式，然后联立解析式求出交点坐标，根据函数图象的性质即可得出自变量的取值范围； ②由点得，，，分别以点和点为中点时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据反比例函数和正比例函数的性质可知，图象交点关于原点对称， ， ， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴假设，代入得， ， 解得， ， 联立 解得或 通过图象交点可得当时，自变量的取值范围为或； ②由点得，，， 当点为中点时，， 解得或； 当点为中点时，， 解得或； 综上可得，或或或． 15．（2024·四川泸州·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，过A点作x轴的垂线，的面积为6． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)时，或时， (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作作关于轴的对称点，连接，交轴与点， 此时最大． （1）由的面积为6，可求出k的值，确定反比例函数的关系式，再利用反比例函数求出的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分． （3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意得： ∴， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限 ∴， ∴ 当时，； ∴ 当时，，解得 ∴， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2），即， 结合函数图像可知，当时，或时，． （3）作关于轴的对称点，连接交轴与点，连接， 则 当且仅当，，，三点共线时，有最大值． 设， 代入，， 有，解得， ∴， 取，得， ∴； 故当取得最大值时：． ． 16．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． (1)的值为______． (2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可； （2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可； ②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，则, 将代入中，得； （2）解：①根据翻折性质，得， ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4， ∵点E、F在函数的图象上， ∴当时，，当，， ∴，， 过F作轴于H，则， ∴； ②存在．设， ∴， ， ， ∵为直角三角形， ∴分三种情况： 若，则， ∴，解得， ∴； 若，则， ∴，即， ∵， ∴该方程无解，即P不存在； 若，则， ∴，解得， ∴， 综上，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $