课时测评37 圆锥曲线的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评37　圆锥曲线的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为(　　) A.r＋R　　　 B.r＋R C.r＋R D.r＋R 答案：A 解析：椭圆的离心率e＝∈(0，1)(c为半焦距，a为长半轴)， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图所示 则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝， c＝， n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R. 2.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A.　　　　 B.　　　 C.　　　　 D. 答案：A 解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c， 由题意可得＝， 整理得a＝59c，即＝. 所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 3.如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2 m时，测得拱桥内水面宽为12 m，当水面升高1 m后，拱桥内水面宽度是(　　) A.6 m B.6 m C.3 m D.3 m 答案：A 解析：以抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线x轴建立直角坐标系，如图所示， 可设抛物线方程为x2＝my， 因为过点(6，－2)， 所以62＝－2m，m＝－18，x2＝－18y， 令y＝－1，则｜x｜＝3，所以2｜x｜＝6 m. 4.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O'，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆(如图所示)，在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为＋＝1，篮球与地面的接触点为H，则｜OH｜的长为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径， 由图得∠O'AB＋∠O'BA＝(∠A'AB＋∠B'BA)＝×180°＝90°， 所以∠AO'B＝90°，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长， 过球心向地面做垂线，垂足是H， 在构成的直角三角形O'HO中，OO'2＝OH2＋O'H2， 所以OH＝＝＝. 5.有一凸透镜其剖面图(如图所示)是由椭圆＋＝1和双曲线－＝1(a＞m＞0)的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M，N，A，B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为(　　) A.2(a－m) B.(a－m) C.2(b－n) D.2(a＋m) 答案：A 解析：由题得，设周长为l， ⇒l＝｜AB｜＋｜BN｜＋ ｜AN｜＝｜AB｜＋2a－ ｜BM｜＋｜AM｜－2m， 因为｜AB｜＋｜AM｜≥｜BM｜⇒l≥2a－2m， 当且仅当M，A，B共线时，△ANB的周长最小. 6.一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝，tan∠PFE＝－2，试建立适当的平面直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程为　　　　　　 　. 答案：－＝1 解析：以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设以E，F为焦点且过点P的双曲线方程为－＝1， 焦点为E(－c，0)，F(c，0). 由tan∠PEF＝，tan∠EFP＝－2， 设∠PFx＝α，则tan α＝tan(π－∠EFP)＝2， 得直线PE和直线PF的方程分别为y＝(x＋c)① 和y＝2(x－c).② 将①②联立，解得x＝c，y＝c， 即P点坐标为. 在△EFP中，｜EF｜＝2c，EF上的高为点P的纵坐标， 由题设条件S△EFP＝c2＝12， 所以c＝3，即P点坐标为(5，4). 由两点间的距离公式｜PE｜＝＝4， ｜PF｜＝＝2，｜PE｜－｜PF｜＝2a， 所以a＝， 又b2＝c2－a2＝4， 故所求双曲线的方程为－＝1. 7.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫作切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为　 　　　. 答案： 解析：椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角， 可得＝cos 60°，即a＝2b， 所以e＝＝＝. 8.万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　　　 　　cm. 答案：20 解析：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以＝， 即＝. 所以 ＝，解得a小＝10. 所以小椭圆的长轴长为20 cm. 9.(10分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， 所以曲线C的方程＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由｜PB｜＝3，得＝3， 所以 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 10.(13分)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) 解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，灯泡应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C，使｜OC｜＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径， 即｜AB｜＝197 mm，则点A的坐标为. 将点A的坐标代入方程y2＝2px(p＞0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0). 因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值.如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝｜BF｜＝｜BG｜＝2， 易知b＝1，所以则e＝＝，则离心率的取值范围是. 12.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示.假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　) A.d1＋d2＋R B.d2－d1＋2R C.d2＋d1－2R D.d1＋d2 答案：D 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为｜PF1｜＋｜PF2｜－2R＝2a－2R＝d1＋d2. 13.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C'：－＝1(m＞0，n＞0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N＋)次反射后回到左焦点所经过的路径长为　　　　. 答案：2k(a－m) 解析：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图， ｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜， ｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m， 所以光线经过2k(k∈N＋)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m). 14.(15分)某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50(m)，在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，故｜MA｜－｜MB｜＜｜AB｜.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25. 而c2＝＝4 375，b2＝3 750， 故所求分界线的方程为－＝1(x≥25). 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工. 15.(17分)如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求“挞圆”的方程； (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值. 解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0). (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1， 可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $