课时测评24 直线与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评24　直线与圆的位置关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形(　　) A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 答案：B 解析：由题意，知＝1，则｜c｜＝，即c2＝a2＋b2，故三条边长分别为｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形是直角三角形. 2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A.4 B.2 C.2 D.4 答案：B 解析：因为x2＋y2－2x－4y＝0，所以(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝， 所以直线m被圆M截得的弦长等于2＝2. 3.与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　) A.4x－3y＝6 B.4x－3y＝－6 C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6 答案：B 解析：设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切， 则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2， 所以m＝6或m＝－14， 所以直线方程为4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，故选B. 4.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离是(　　) A.18 B.6 C.5 D.4 答案：C 解析：由题意得，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆的半径r＝3，圆心(2，2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝＝2，故圆上的点到直线的最大距离是3＋2＝5. 5.已知圆C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0关于直线l：x＋y－1＝0对称，圆C交x轴于A，B两点，则｜AB｜＝(　　) A.4 B.2 C.2 D. 答案：A 解析：圆C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0的圆心(，－1)， 圆C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0关于直线l：x＋y－1＝0对称， 可得：－1－1＝0，解得a＝4，所以圆的方程为：x2＋y2－4x＋2y－4＝0，圆心(2，－1)，半径为3. 圆C交x轴于A，B两点，令y＝0，可得x2－4x－4＝0，解得x1＝2＋2，x2＝2－2， ｜AB｜＝｜x1－x2｜＝4. 6.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　　. 答案：x＋2y－5＝0 解析：设切线斜率为k，则由已知得：k·kOP＝－1. 所以k＝－，所以切线方程为x＋2y－5＝0. 7.过点P(2，1)作圆x2＋(y－2)2＝1的切线，则切线长为　　　　. 答案：2 解析：点P(2，1)到圆心(0，2)的距离为 ＝， 所以切线长为＝2. 8.直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是　　　　. 答案：π 解析：易知直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0平行，若两条直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线x－y＋1＝0，即2x－2y＋2＝0与直线2x－2y－1＝0间的距离d＝＝，则圆的半径r＝，则圆C的面积S＝πr2＝π. 9.(10分)已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求圆C的方程. 解：因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上， 故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2. 又因为直线y＝x截圆得弦长为2， 则有＋()2＝9b2， 解得b＝±1，故所求圆C的方程为 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 10.(13分)已知过点A(－1，0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N. (1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； (2)当｜PQ｜＝2时，求直线l的方程. 解：(1)证明：因为l与m垂直，且km＝－，所以kl＝3，故直线l的方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0. 因为圆心坐标为(0，3)，满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C. (2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意. 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， 因为｜PQ｜＝2， 所以｜CM｜＝＝1， 则由｜CM｜＝＝1，得k＝， 所以直线l：4x－3y＋4＝0. 故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　) A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x＝0 D.x＋y＝4 答案：ABD 解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论： ①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1； ②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去). 12.过圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为A，B，则｜AB｜＝(　　) A.2 B. C. D.3 答案：C 解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝5的圆心为(0，0)，半径r＝， 若P(2，)，则｜PO｜＝＝3， 圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为A，B， 则｜PA｜＝｜PB｜＝＝2， 设OP交AB于D，在△AOP中，由等面积法可知OA·AP＝AD·OP， 故AD＝＝， 所以AB＝2AD＝. 13.过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为　　　　，同时△PAB的面积为　　　　. 答案：1　 解析：依题意作出图象，如图. 因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A，所以PA⊥OA，所以PA＝＝ ，要使得PA最小，则OP要最小.由题可得，OP的最小值就是点O到直线l：y＝x－2的距离 d＝＝. 此时，PAmin＝＝＝1， 故∠OPA＝. 由切线的对称性可得∠BPA＝，PB＝1， 所以S△PAB＝×1×1＝. 14.(15分)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0). (1)若l1与圆C相切，求l1的方程； (2)若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于点P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标； (3)若l1与圆C相交于点P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程. 解：(1)①若直线l1的斜率不存在，则直线x＝1，圆的圆心坐标(3，4)，半径为2，符合题意. ②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即：＝2， 解得k＝.所求直线方程是：x＝1，或3x－4y－3＝0. (2)直线l1的方程为x－y－1＝0，因为PQ⊥CM， 所以线段CM所在的直线方程为y－4＝－(x－3)， 即x＋y－7＝0. 联立所以M点的坐标是(4，3). (3)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线l1的方程为kx－y－k＝0，则圆心到直线l1的距离d＝.又S△CPQ＝d×2＝d＝＝， 所以当d＝时，S取得最大值2，所以d＝＝，解得k＝1或k＝7. 所以直线l1的方程为y＝x－1或y＝7x－7. 15.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A(0，3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y＝2x－4上. (1)若圆心C也在直线y＝－x＋5上，求圆C的方程； (2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (3)若圆C上存在点M，使｜MA｜＝｜MO｜，求圆心C的横坐标a的取值范围. 解：(1)由得圆心C(3，2). 因为圆C的半径为1， 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. (2)由题意知切线的斜率一定存在， 设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3， 即kx－y＋3＝0. 由＝1得k＝0或k＝－， 所以所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3. 即y＝3或3x＋4y－12＝0. (3)设M(x，y)， 由｜MA｜＝｜MO｜ 得＝. 整理得y＝， 故点M在直线m：y＝上， 所以点M既在圆C上又在直线m上， 即圆C和直线m有公共点， 所以≤1， 所以≤a≤. 综上所述，a的取值范围为. 学生用书⬇第68页 学科网（北京）股份有限公司 $