课时测评10 等比数列的性质及其实际应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评10　等比数列的性质及其实际应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于(　　) A.4 B.2 C.5 D. 答案：A 解析：因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)， 数列{an}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故＝22＝4. 2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　) A.6 B.2 C.2或6 D.－2 答案：B 解析：由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2＜0，a18＜0，故a10＜0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，故选B. 3.在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　) A. B. C.－ D.或－ 答案：C 解析：因为a4＝a2·q2，所以q2＝＝＝. 又因为a1＜0，a2＞0，所以q＜0.所以q＝－. 4.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　) A.4 B.2 C.－2 D.－4 答案：B 解析：由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝＝32＝25，得a6＝2， 则＝＝a6＝2. 5.已知正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：在正项等比数列{an}中，a2·a8＝a4·a6，因为a2·a8＝6，a4＋a6＝5， 所以又an＋1＜an，所以a4＝3，a6＝2，所以＝＝，故选D. 6.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A.{}是等比数列 B.{anan＋1}是等比数列 C.是等比数列 D.{lg｜an｜}是等比数列 答案：ABC 解析：由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n＞1). A中，＝()2＝q2为常数，故A正确； B中，＝＝q2，故B正确； C中，＝＝为常数，故C正确； D中，不一定为常数，故D错误. 7.设数列{an}中a1＝2，若等比数列{bn}满足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，则a2 020＝　　　　. 答案：2 解析：根据题意，数列{bn}满足an＋1＝anbn，即＝bn， 则有＝()·()·()…·＝b2 019·b2 018·b2 017…·b1， 而数列{bn}为等比数列，则b2 019·b2 018·b2 017…·b1＝(b1 010)2 019＝1， 则＝1，又由a1＝2，得a2 020＝2. 8.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝　　　　. 答案：512 解析：由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512. 由(舍去). 所以q＝ ＝－2. 所以a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512. 9.(10分)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值. 解：因为{an}为等比数列， 所以a1·a9＝a3·a7＝64. 又因为a3＋a7＝20， 所以a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， 此时a11＝a3q8＝4×42＝64. ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×()2＝1. 10.(10分)已知数列{an}为等比数列. (1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解：(1)因为a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， 所以＋2a3a5＋＝36，即(a3＋a5)2＝36， 又因为an＞0，所以a3＋a5＝6. (2)设等比数列{an}的公比为q， 因为a2－a5＝42，所以q≠1. 由已知，得 所以 若G是a5，a7的等比中项， 则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×()10＝9， 所以a5，a7的等比中项为±3. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案：D 解析：法一：依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D. 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝＝27.所以a5＝.故选D. 12.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　) A.±2 B.±4 C.2 D.4 答案：C 解析：因为T13＝4T9，所以a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4. 又因为a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，所以(a8·a15)2＝4，所以a8a15＝±2. 又因为{an}为递减数列，所以q＞0，所以a8a15＝2. 13.在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝　　　　. 答案：或 解析：因为{an}是等比数列，所以a7·a11＝a4·a14＝6， 又a4＋a14＝5，所以 因为＝q10，所以q10＝或q10＝. 而＝q10，所以＝. 14.(13分)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1＜a8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，使它们成为等比数列{bn}的前三项，求{bn}的通项公式. 解：(1)由已知，得17＝a3＋a6＝a1＋a8， 又a1a8＝－38，a1＜a8，所以a1＝－2，a8＝19， 所以数列{an}的公差d＝3，所以an＝3n－5. (2)由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4.依题意可得数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4或b1＝4，b2＝－2，b3＝1. ①当等比数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1； ②当等比数列{bn}的前三项为b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝. 15.(5分)(多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　) A.k不可能为0 B.“等差比数列”中的项不可能为0 C.等差数列一定是“等差比数列” D.等比数列一定是“等差比数列” 答案：BCD 解析：因为当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，所以k≠0，故选项A正确； 因为当an＝n－1时，＝＝1为常数， 所以数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误； 又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD. 16.(17分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若任意n∈N＋，都有bn≤bk成立，求正整数k的值. 解：(1)设{an}的公差为d，则d＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*). 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列. c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋). 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋). (2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N＋). 当n＜3时，bn＋1－bn＞0，bn＜bn＋1， 即b1＜b2＜b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n＞3时，bn＋1－bn＜0，bn＞bn＋1，即b4＞b5＞b6＞…， 所以k＝3或k＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $