5 4.3　第1课时　组合与组合数-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本高中数学讲义聚焦“组合与组合数”核心知识点，通过实例辨析组合与排列的区别（无序性与有序性），构建从概念理解到组合数公式推导、性质应用再到简单组合问题解决的学习支架，系统梳理知识脉络。 资料以任务驱动设计，通过射击命中、足球比赛等实例辨析组合与排列，培养数学抽象素养，结合组合数公式推导与性质证明发展数学思维，实际应用问题（如运动员选派）提升数学建模能力。课中助力教师分层教学，课后测评与对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4.3　组合 第1课时　组合与组合数 学习目标 1.通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数公式和组合数的性质，培养数学抽象的核心素养. 3.能运用组合数的性质进行计算，会用组合及组合数公式解决一些简单的组合问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　组合的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，　　　　是组合问题，　　　　是排列问题. 答案：(1)(3)(5)　(2)(4)(6) 解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题. (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题. (5)命中的4枪均为2枪连中，没有顺序，是组合问题. (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题. 排列、组合辨析切入点 1.组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可. 2.只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合. 3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 对点练1.判断下列问题是组合问题还是排列问题？ (1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学. (4)3人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 解：(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题. (2)一种火车票与起点、终点顺序有关， 例“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，故它是排列问题. (3)从7本不同的书中取出5本给某同学，在每种取法中取出的5本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题. (4)因为一种分工方法就是从5种不同工作中取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题. (5)因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪三个人都不需考虑顺序，故它是组合问题. 故(1)(3)(5)是组合问题，(2)(4)是排列问题. 学生用书⬇第120页 任务二　组合数与组合数公式 组合数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示 组合数 公式 乘积 形式 ＝＝ 阶乘 形式 ＝ 性质 ＝ ＝＋ 备注 n，m∈N＋，并且m≤n；规定＝1 求证：(1)m！＋＋＋…＋＝m！； (2)·＋·＋·＋…＋·＝. 证明：　(1)左边＝m！[1＋＋＋…＋] ＝m！(1＋＋＋…＋) ＝m！(＋＋…＋) ＝… ＝m！ ＝右边， 所以等式成立. (2)从m＋n个元素中取出p个元素，共有种取法. 若将m＋n个元素分成两组，第一组有m个元素，第二组有n个元素，则从m＋n个元素中取出的p个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成p＋1类：从第一组取p个，第二组不取，有·种取法；从第一组取p－1个，从第二组取1个，有·种取法；…；第一组不取，从第二组取p个，有·种取法.因此取法总数是·＋·＋·＋…＋·. 所以·＋·＋·＋…＋·＝. 1.涉及具体数字的可以直接用公式＝＝计算； 2.涉及字母的可以用阶乘式＝计算； 3.计算时应注意利用组合数的两个性质： (1)＝；(2)＝＋. 对点练2.解不等式：＞. 解：由＞，得 所以 又n∈N＋，所以n＝6，7，8，9， 所以该不等式的解集为{6，7，8，9}. 任务三　组合与组合数公式的简单应用 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员. 解：(1)第一步：选3名男运动员，有种选法；第二步：选2名女运动员，有种选法，故共有·＝120(种)选法. (2)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理知共有·＋·＋·＋·＝246种选法. (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法；不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，故不选女队长时共有－种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有＋－＝191(种). 1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. 2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏. 对点练3.有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有　　　　种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有　　　　种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有　　　　　　种不同的选法. 答案：(1)45　(2)21　(3)90 解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数， 即＝＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种方法； 第2类，选出的2名是女教师有种方法. 根据分类加法计数原理，共有＋＝＋＝＋＝15＋6＝21(种)不同的选法. (3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法×＝×＝×＝90(种). 学生用书⬇第121页 1.以下四个命题，属于组合问题的是(　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 答案：C 解析：只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 2.＋的值为(　　) A.72　　　　 B.36　　　　 C.30　　　　 D.42 答案：B 解析：＋＝＋ ＝＋＝15＋21＝36. 3.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有　　　　种. 答案：96 解析：甲选2门有种选法，乙选3门有种选法，丙选3门有种选法.所以共有··＝96(种)选法. 4.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是＝＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是＝＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是＝＝＝35. 课时测评42　组合与组合数 (时间：60分钟　满分：105分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.下列问题中，组合问题的个数是(　　) ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A.1　　 　　 B.2　　 　　 C.3　　 　　 D.4 答案：B 解析：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题. 2.若＝28，则n的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案：B 解析：因为＝28，所以n(n－1)＝28，又n∈N＋，所以n＝8. 3.若＝12，则n＝(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 答案：D 解析：因为＝12＝12， 所以n(n－1)(n－2)＝12×，即n－2＝6， 所以n＝8，故选D. 4.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 答案：C 解析：只需再从其他7名队员中选3人，即种选法. 5.(多选)下列等式正确的有(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：ABC 解析：A是组合数公式；B是组合数性质；由＝×＝得C正确；D错误. 6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有　　　　种不同选法. 答案：84 解析：只需从9名学生中选出3名即可，从而有＝＝＝84(种)选法. 7.若∶∶＝3∶4∶5，则n＝　　　　，m＝　　　　. 答案：62　27 解析：由题意知 由组合数公式得 解得 8.已知，，成等差数列，则＝　　　　. 答案：91 解析：因为，，成等差数列， 所以2＝＋， 所以2× ＝＋ 整理得n2－21n＋98＝0， 解得n＝14，n＝7(舍去)， 则＝＝91. 9.(13分)求解下列问题： (1)计算：＋； (2)化简：＋＋＋…＋. 解：(1)＋＝＋＝＋200＝5 150. (2)原式＝(＋)＋＋＋…＋ ＝(＋)＋＋…＋ … ＝＋ ＝. 10.(15分)(1)计算：－； (2)证明：＝. 解：(1)－＝－＝－＝19 780. (2)证明：　＝· ＝＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)下列问题是组合问题的有(　　) A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B.平面上有2 022个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个 D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 答案：ABC 解析：组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC. 12.不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意知，本题中基本事件总数n＝＝28， 取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：m＝＝12. 则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为P＝＝＝.故选B. 13.不等式－n＜5的解集为　　　　. 答案：{2，3，4} 解析：由－n＜5，得－n＜5， 所以n2－3n－10＜0. 解得－2＜n＜5.由题设条件知2≤n＜5，且n∈N＋， 所以n＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}. 14.(5分)(多选)下列等式中，正确的是(　　 ) A.＋m＝ B.r＝n C.＝＋＋ D.＝ 答案：ABD 解析：选项A，左边＝＋m·＝＋m·＝＝＝右边，正确； 选项B，右边＝n·＝·＝r·＝左边，正确； 选项C，右边＝＋＝≠左边，错误； 选项D，右边＝·＝ ＝＝左边，正确. 故选ABD. 15.(17分)某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行. (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负. 问：全部赛程共需比赛多少场？ 解：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2＝2×＝30(场). (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场). (3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场). 学科网（北京）股份有限公司 $