3 4.2　第1课时　排列与排列数-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦排列的概念、排列数公式及应用核心知识点，前承计数原理，后启组合知识，通过定义辨析、公式推导、实例应用构建学习支架，涵盖概念判断、公式计算、实际问题解决等内容。 资料特色在于以实例辨析深化数学抽象，如通过小组植树种菜等问题判断排列与否，结合公式推导与证明提升逻辑推理和数学运算能力，如排列数等式证明题，分层练习助力数学建模。课中便于教师系统授课，课后测评帮助学生巩固应用，查漏补缺。

4.2　排列 第1课时　排列与排列数 学习目标 1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　排列的概念 1.定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列相同的条件 两个排列相同，当且仅当这个排列的元素及其排列顺序完全相同. 下列问题是排列问题的为　　　　. ①选2个小组分别去植树和种菜； ②选2个小组分别去种菜； ③某班40名同学在假期互发短信； ④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除； ⑤10个车站，站与站间的车票. 答案：①③④⑤ 解析：①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题； ②不存在顺序问题，不是排列问题； ③存在顺序问题，是排列问题； ④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； ⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题. 学生用书⬇第114页 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 对点练1.判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选10人组成一个学习小组； (3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员. 解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)不存在顺序问题，不属于排列问题. (3)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(3)是排列问题，(1)(2)不是排列问题. 任务二　排列数及排列数公式 排列数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 全排列 从n个不同的元素取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列.此时， ＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝n！.规定0！＝1 乘积式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，且m≤n) 阶乘式 ＝(m，n∈N＋，且m≤n) (1)计算； (2)求证：＋2＋3＋…＋n＝(n＋1)！－1. 解：(1)法一： ＝ ＝ ＝. 法二：＝＝＝. (2)证明：法一：因为＝2－＝－， 2＝3－＝－， 3＝4－＝－， … n＝(n＋1)－＝－， 所以左边＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－ ＝(n＋1)！－1 ＝右边， 所以原式成立. 法二：因为(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝n＋＝n＋n＝n＋(n－1)＋＝n＋(n－1)＋(n－2)＋＝…＝n＋(n－1)＋…＋2＋＋， 所以(n＋1)！－＝＋2＋3＋…＋n， 所以原式成立. 排列数公式的选择 1.排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. 2.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 对点练2.解不等式：3＞4. 解：由3＞4，得＞， 所以＞， 化简得x2－19x＋78＞0，解得x＜6或x＞13. 又1≤x≤8且1≤x－1≤9，x∈N＋， 所以2≤x＜6，x∈N＋，所以x＝2，3，4，5， 即不等式的解集为{2，3，4，5}. 学生用书⬇第115页 任务三　排列数公式的简单应用 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种). 解简单排列应用题的思路 1.认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序. 2.如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件. 3.运用排列数公式求解. 对点练3.(1)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ (2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？ 解：(1)这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数. (2)解决这类问题可以分为两步： 第1步：把4名体育生分配到4个不同的班有种方法，第2步：把4名美术生分配到4个不同的班，有种方法，由分步乘法计数原理得共有N＝＝576(种)分配方案. 1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B.甲乙丙、乙丙甲 C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D.甲乙、甲丙、乙丙 答案：C 解析：从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙. 2.若＝10，则n＝(　　) A.6　　　 　 B.7　　　 　 C.8　　　 　 D.9 答案：C 解析：因为＝10，所以n≥3，n∈N＋， 所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)， 即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8.故选C. 3.从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有　　　　个. 答案：12 解析：画出树形图如图所示： 因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc. 4.求证：＝＝(n＋1). 证明：＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， ＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2， (n＋1)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， 综上，＝＝(n＋1). 课时测评40　排列与排列数 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是(　　) A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 答案：BCD 解析：选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关. 2.89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 答案：C 解析：89×90×91×92×…×100＝＝＝. 3.已知－＝10，则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 解析：由－＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 4.2022北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为(　　) A.12 B.24 C.36 D.60 答案：D 解析：由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种). 5.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A.6 B.4 C.8 D.10 答案：B 解析：列树形图如下： 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 6.＝　　　　. 答案：36 解析：＝＝36. 7.满足不等式＞12的最小正整数n的值为　　　　. 答案：10 解析：＝＝＞12 得：(n－5)(n－6)＞12. 解得： n＞9或n＜2(应舍去). 8.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成　　　　个以b为首的不同的排列，它们分别是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案：12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析：画出树形图如下： 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 9.(10分)(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)； (2)计算； (3)求证－＝m. 解：(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝. (2) ＝ ＝＝1. (3)证明：法一：因为－＝－ ＝·＝· ＝m·＝m， 所以－＝m. 法二：表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有个. 含有a1的可这样进行排列： 先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有种排法. 故＝m＋， 所以m＝－. 10.(10分)判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？ (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知自然数x满足3＝2＋6，则x＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：因为自然数x满足3＝2＋6， 所以3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，由x是正自然数，整理得：3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，所以x＝4. 12.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么，这样的三位数共有(　　) A.240个 B.249个 C.285个 D.330个 答案：C 解析：因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字， 所以当十位数字是0时有9×9＝81种结果， 当十位数字是1时有8×8＝64种结果， 当十位数字是2时有7×7＝49种结果， 当十位数字是3时有6×6＝36种结果， 当十位数字是4时有5×5＝25种结果， 当十位数字是5时有4×4＝16种结果， 当十位数字是6时有3×3＝9种结果， 当十位数字是7时有2×2＝4种结果， 当十位数字是8时有1种结果， 所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果. 13.已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为　　　个. 答案：24 解析：确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步乘法计数原理知N＝3×4×2＝24(个). 14.(13分)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数. (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数. (2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数. 解：(1)组成三位数分三个步骤： 第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法. 由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数. 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. (2)直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312. 15.(5分)(多选)下列各式中与排列数相等的是(　　) A.　　　　 B.n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D.· 答案：AD 解析：因为＝， 而·＝n·＝， 所以＝·.故选AD. 16.(17分)某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药只能同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. 学生用书⬇第116页 学科网（北京）股份有限公司 $