12 1.3.3 第2课时　等比数列前n项和的性质及其应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和的性质及其应用核心知识点，在等比数列定义、通项公式及前n项和公式基础上，系统梳理片段和性质、S偶与S奇关系、和比公式、S(n+m)性质等内容，构建从公式到性质再到实际应用与综合运算的学习支架。 该资料亮点在于融合逻辑推理与数学建模，通过“两鼠穿墙”“生态投入与旅游收入”等实例，引导学生用数学眼光观察情境，用数学思维推导性质，用数学语言建立模型。课中例题解析与方法总结助力教师高效授课，课后测评与对点练帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

第2课时　等比数列前n项和的性质及其应用 学习目标 1.理解并能应用等比数列前n项和的性质解题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，提升数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　等比数列前n项和公式的性质 1.片段和的性质：数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，－Sn，－仍构成等比数列，公比是qn. 2.S偶与S奇的关系性质：若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 当n为偶数时，＝q；当n为奇数时，＝q. 3.和比公式：当q＝1时，＝；当q≠1时，＝. 学生用书⬇第30页 4.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). [微提醒]　等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4的值为(　　 ) A.28 B.32 C.21 D.28或－21 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 (3)记Sn为等比数列的前n项和.若8S6＝7S3，则的公比为　　　　. 答案：(1)A　(2)D　(3)－ 解析：(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28，或S4＝－21.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故选A. (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2.故选D. (3)法一：若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意.所以q≠1.因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 法二：由法一知q≠1，因为8S6＝7S3，所以＝，所以由性质＝，得＝＝，所以8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1.若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 2.灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 对点练1.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120 B.85 C.－85 D.－120 (2) 已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)法一：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C. 法二：设等比数列的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有＝S2，解得S2＝－1，或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＝S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C. (2)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1·qn－1＝qn－1，又数列{an}的项数为奇数，且其奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故Sn＝21＋10＝⇒2n－1＝31⇒n＝5.故选A. 任务二　等比数列前n项和的实际应用 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业.根据规划，本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0. 解：(1)由本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少，可知年投入为等比数列，且首项为1 000，公比为1－＝，则第n年的投入为1 000(1－)n－1万元， 故n年内的总投入为an＝＝5 000－5 000()n. 由本年度当地旅游业收入估计为500万元，今后旅游业收入每年会比上年增加，知旅游业年收入也为等比数列，且首项为500，公比为1＋＝，则第n年的收入为500(1＋)n－1万元， 故n年内的旅游业总收入为bn＝＝2 000()n－2 000. (2)由题意可知bn－an＞0， 即2 000()n－2 000－5 000＋5 000()n＞0， 化简得2()n＋5()n－7＞0. 设()n＝x，代入上式并整理得5x2－7x＋2＞0， 解得x＜，或x＞1(舍去)，即()n＜， 不等式两边同时取常用对数得nlg ＜lg ， 所以n＞＝＝＝≈4.1， 由此得n≥5，n∈N*. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. 应用等比数列前n项和公式解决实际应用问题的步骤 第一步：构建数列模型； 第二步：由题意确定数列为等比数列，并由题干提取的条件得基本量； 第三步：利用等比数列的前n项和公式进行计算. 注意：(1)数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份.(2)正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和. 对点练2.(1)明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的顶层有(　　) A.3盏灯 B.192盏灯 C.195盏灯 D.200盏灯 (2)一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80％. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？　　　　(填“能”或“不能”) 答案：(1)A　(2)不能 解析：(1)设每层灯的盏数为等比数列{an}，首项a1为顶层灯的盏数，公比q＝2，所以S7＝＝a1(27－1)＝381，解得a1＝3，即顶层有3盏灯.故选A. (2)用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×＜125.故这个热气球上升的高度不能超过125 m. 学生用书⬇第31页 任务三　等差、等比数列的综合运算 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值. 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0). 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.① 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，② 联立①②得a1＝1，d＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n. 所以Sn＝1＋2＋…＋n＝. (2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4. 所以n的值为4. 等差、等比数列有关综合问题的关注点 1.化归思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题. 2.等差(比)数列公式和性质的灵活应用. 3.当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 对点练3.已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项. (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和. 解：(1)根据已知条件得 整理得 (2)因为q≠1，所以 解得 所以Sn＝＝－. (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn＝n－·＝n＋［1－(－)n］. 1.(2025·福建龙岩检测)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，S5＝10，S10＝50，则a16＋a17＋…＋a20＝(　　) A.22 B.210 C.640 D.2 560 答案：C 解析：S20－S15＝a16＋a17＋…＋a20，由等比数列的片段和性质知，S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列，设公比为q，则q＝＝4，即S20－S15＝S5q3＝10×43＝640.故选C. 2.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为(　　) A.8 B.－2 C.4 D.2 答案：D 解析：由＝q，可知q＝＝2.故选D. 3.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于　　　　. 答案：6 解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(－2)棵，令－2≥100，则≥102，又26＝64，27＝128，且{}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 4.(双空题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝　　　　　　　，如果a1＝1，则S4＝　　　　. 答案：2　15 解析：由4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，又因为a1＝1，则S4＝＝15. 课时测评12　等比数列前n项和的性质及其应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知等比数列{an}的公比q≠－1，设{an}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则(　　) A.A＋B＝C B.3B－3A＝C C.B2＝AC D.B(B－A)＝A(C－A) 答案：D 解析：由等比数列的性质得，A，B－A，C－B成等比数列，故(B－A)2＝A(C－B)，整理得B2－AB＝AC－A2，即B(B－A)＝A(C－A).故选D. 2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案：B 解析：设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝，中间两项的和为an＋＝＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.故选B. 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 答案：C 解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋≥200，所以≥200，所以2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需要8秒细菌将病毒全部杀死.故选C. 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　　 ) A.－4 B.－ C. D.4 答案：B 解析：法一：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝2S8，由等比数列的性质得，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，且公比不为－1，即2S8，－S8，S12－S8成等比数列，所以＝＝－，则2S12－2S8＝S8，所以2S12＝3S8，所以S12＝S8，所以＝＝－.故选B. 法二：由S4＝2S8，令S8＝k(k≠0)，则S4＝2k，因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即2k，－k，k成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝2k－k＋k＝k，所以＝＝－.故选B. 5.(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则下列结论正确的是(　　 ) A.a6＝ B.＝8 C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝ 答案：BD 解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，所以an＝×()n－1＝()n，则a6＝＝，＝＝8，a5＋a6＝()5＋()6＝，a1＋a2＋…＋a6＝＋()2＋…＋()6＝＝.故选BD. 6.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则下列结论正确的是(　　) A.an＝()n－5 B.an＝2n＋1 C.Sn＝32－ D.Sn＝2n＋4－16 答案：AC 解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5，设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16·()n－1＝()n－5，Sn＝＝32－，故选AC. 7.若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为　　　　. 答案：80 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝60＋20＝80. 8.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝　　　　. 答案： 解析：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以＝q10＝.又{an}为正项等比数列，所以q＝. 9.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝　　　　　　尺. 答案：2n－＋1 解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. 10.(13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， q3＝＝＝8，故q＝2， 所以S3＝＝7，代入q＝2可得a1＝1， 所以an＝. (2)由(1)知bn＝＋n－1， 所以Tn＝(1＋2＋…＋)＋[1＋2＋…＋(n－1)] ＝＋ ＝2n＋－1. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知各项均为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则(　　) A.S8＝729 B.S8＝820 C.q＝3 D.q＝9 答案：BC 解析：因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…也成等比数列，因为S2＝1，S6＝91，所以(S4－1)2＝1×(91－S4)，即－S4－90＝(S4－10)(S4＋9)＝0，因为an＞0，所以Sn＞0，所以S4＝10，因为S4－S2＝10－1＝9，所以S8－S6＝1×93＝729，所以S8＝729＋91＝820，故A错误，B正确；因为q2＝＝9，且an＞0，所以q＝3，故C正确，D错误.故选BC. 12.(多选)(2025·福建漳州高二期中)如图所示，图①是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形，得到图②.重复以上步骤，得到图3……记图①中正方形的个数为a1，图②中正方形的个数为a2，图③中正方形的个数为a3……图○n中正方形的个数为an，则下列说法正确的有(　　) A.a5＝63 B.图⑤中的最小正方形的边长为 C.a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 036 D.若an＝255，即图○n中所有正方形的面积之和为8 答案：BCD 解析：将大小相同的正方形看作同一“层”，易知自下而上每一“层”正方形的个数是以1为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式可知an＝2n－1.对于A，a5＝25－1＝31，故A错误；对于B，自下而上每一“层”的正方形的边长是以1为首项，为公比的等比数列，所以第n“层”正方形的边长bn＝()n－1，所以b5＝()5－1＝，故B正确；对于C，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋210－1＝21＋22＋23＋…＋210－10＝－10＝2 036，故C正确；对于D，由an＝2n－1＝255，解得n＝8，因为第n“层”正方形的面积和为2n－1［()n－1］2＝1，所以在图⑧中所有正方形的面积之和为8，故D正确.故选BCD. 13.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为　　　　. 答案：32 解析：由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列.又S6－3S3＝4，所以S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，当且仅当S3＝2时，等号成立，所以S9－S6的最小值为32. 14.(15分)(2025·浙江金华十校联考)在一次招聘会上，A，B两家分司分别给出它们的工资标准如下： 公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元； 公司B：第一年月工资为3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5％. 设某人年初同时通过A，B两家公司的招聘程序. (1)若此人分别在公司A、公司B连续工作n(n∈N*)年，则第n年的月工资分别为多少？ (2)若此人打算连续在其中一家公司工作10年，仅将工资收入总量作为考量因素，则他应选择哪家公司？(1.0510≈1.6) 解：(1)若此人选择在公司A连续工作n(n∈N*)年， 则他第n年的月工资是3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元). 若此人选择在公司B连续工作n(n∈N*)年，则他第n年的月工资是3 720×(1＋0.05)n－1元. (2)若此人选择在其中一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的工资收入总量分别为： 公司A：12×[3 000＋(3 000＋1×300)＋…＋(3 000＋9×300)]＝12×3 000×10＋12×300×＝522 000(元)； 公司B：12×3 720×(1＋1.051＋1.052＋…＋1.059)＝12×3 720×≈535 680(元). 因为535 680＞522 000，所以应选择公司B. 15.(5分)(新情境)螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图①所示.如图②所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，以此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图②阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝　　　　　　　. 答案：4－4× 解析：由题意，设由外到内依次各正方形的边长分别为a1，a2，a3，…，an，则a1＝4，a2＝＝a1，a3＝＝a2＝a1，…，an＝＝⇒＝，于是数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，则an＝4×.由题意可得，S△AHE＝，即b1＝，b2＝，…，bn＝， 于是bn＝＝×，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，Sn＝×＝4×＝4－4×. 16.(17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 所以 解得b1＝a1＝，所以原命题得证. (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10， 所以满足条件的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 学生用书⬇第32页 学科网（北京）股份有限公司 $