模块综合检测卷-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

模块综合检测卷 (用时：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，则|b|＝(　　 ) A．2 B．2 C． D．2 解析：选D．向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，则＝＝，解得x＝2，y＝4，故b＝(2，2，4)，所以|b|＝＝2. 2．直线l过点(－3，0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为(　　 ) A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3) C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3) 解析：选B．因为直线y＝2x－3的斜率为2， 所以直线l的斜率为－. 又直线l过点(－3，0)， 故所求直线的方程为y＝－(x＋3). 3．若方程x2＋y2－2y＋m2－m＋1＝0表示圆，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(－2，1) B． C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(0，1) 解析：选D．由方程x2＋y2－2y＋m2－m＋1＝0表示圆，得x2＋(y－1)2＝m－m2，解m－m2>0得0<m<1.所以实数m的取值范围为(0，1). 4．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为(　　 ) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2 解析：选D．因为椭圆＋＝1的右焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的准线方程为x＝－2. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则双曲线C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．因为焦距2c＝10，解得c＝5，所以右焦点为(5，0)，则a2＋b2＝25，又双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，所以右焦点到它的一条渐近线的距离d＝＝＝b，所以b＝4，a＝＝＝3，所以离心率e＝＝. 6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．建立空间直角坐标系如图所示， 则C(0，2，0)，Q(1，0，2)，G(0，0，2)，A(1，1，0)，＝(－1，2，－2)，＝(－1，0，0)，＝(－1，1，0)，设平面QGC的法向量为n＝(x，y，z)，则即则平面QGC的一个法向量为n＝(0，1，1)， 则点A到平面QGC的距离d＝＝. 7．如图，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　 ) A． B． C． D．3 解析：选C．∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|＝|AF2|，∴|BF1|－|BF2|＝|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a， 又|AF2|－|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a. ∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°， ∴由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos 120°， 即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a·＝28a2，得c＝a， 由此可得双曲线C的离心率e＝＝. 8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则当△PA1C的面积最小时，DP等于(　　 ) A．1 B．2 C． D．4 解析：选A．根据题意，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设DP＝x(0≤x≤5)， 故可得P(0，2，x)，A1(0，0，5)，C(1，2，0)， 由空间中两点之间的距离公式可得|A1P|＝＝，|PC|＝，|A1C|＝， 在△PA1C中，由余弦定理可得 cos ∠A1PC＝＝， 则sin ∠A1PC＝＝， 故S△A1PC＝sin∠A1PC·|A1P|·|PC| ＝ ××× ＝＝， 当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小． 故满足题意时，DP＝1. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知α∈(0，π)，关于曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1，下列说法正确的是(　　 ) A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可能是双曲线 解析：选BD．曲线方程整理为＋＝1， A选项，当α＝时，sin ＝cos ＝，方程化简为x2＋y2＝，即为圆的方程，故A错误； B选项，当α∈(0，)时，>>0，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，故B正确； C选项，当α∈(，)时，>>0，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，故C错误； D选项，当α∈(，π)时，<0，>0，曲线C表示双曲线，故D正确． 10．下列命题中，表述正确的是(　　 ) A．直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3) B．圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋＝0的距离等于1 C．若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(，) D．已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点(，) 解析：选BD．对于选项A由(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)可得，m(x＋3)＋3x＋4y－3＝0，由可得所以直线恒过定点(－3，3)，故选项A不正确； 对于选项B，圆心(0，0)到直线l：x－y＋＝0的距离等于1，圆的半径r＝2， 平行于l：x－y＋＝0且距离为1的两直线分别过圆心和与圆相切， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B正确； 对于选项C，由题知直线y＝k(x－2)＋4过定点P(2，4)，曲线y＝1＋表示以(0，1)为圆心，2为半径的圆在直线y＝1及上方的半圆， 如图，直线PB为过点P(2，4)，且与半圆相切的切线，切点为B，所以要使直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋有两个不同的交点，则kPB<k≤kPA，所以当直线y＝k(x－2)＋4与半圆相切时，有＝2，解得k＝，即kPB＝，因为kPA＝，所以实数k的取值范围是(，]，故C选项错误； 对于选项D，设点P坐标为(m，n)，所以＋＝1，即m＋2n＝4，因为PA，PB分别为过点P所作的圆的两条切线，切点分别为A，B，所以CA⊥PA，CB⊥PB， 所以点A，B在以CP为直径的圆上，以CP为直径的圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝()2， 整理可得x2＋y2－mx－ny＝0，与已知圆C：x2＋y2＝1相减可得mx＋ny＝1， 消去m可得(4－2n)x＋ny＝1， 即n(y－2x)＋4x－1＝0， 由可得所以直线AB经过定点(，)，故选项D正确． 11．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，则(　　 ) A．CD⊥AN B．BD⊥PC C．PB⊥平面ANMD D．BD与平面ANMD所成的角为30° 解析：选CD．以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC＝1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M，N(1，0，1)，从而＝(－2，1，0)，＝(1，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(2，1，－2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0). ∵·＝－2×1≠0，故A错误； ∵·＝－2×2＋2×1＝－2≠0，故B错误； 设平面ANMD的法向量为n＝(x，y，z)， 则得 令x＝1，得n＝(1，0，－1)， ∴＝2n，∴PB⊥平面ANMD，故C正确； ∵cos 〈，n〉＝＝－， ∴BD与平面ANMD所成的角为30°，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．直线l到其平行直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是____________________． 解析：根据题意，设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)， 则＝， 解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0. 答案：x－2y＋2＝0 13．如图所示，在三棱锥S­ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB，SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为________． 解析：以S为原点，SA，SB，SC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设SA＝SC＝2SB＝2，则S(0，0，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，M(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，－1，1)， 设异面直线SM与BN所成角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 答案： 14．(2025·江苏淮安期末模拟)杭州第19届亚运会的主会场—杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”(如图1所示).会场造型取意于杭州丝绸纹理与编织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示．一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示．若椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，下顶点为A(0，－)，O为坐标原点，P为圆C上任意一点，满足|PO|＝2|PA|，则点C的坐标为________；若Q为椭圆上一动点，当QC取最大值时，点Q恰好有两个，则a的取值范围为________． 解析：设P(x，y)，由|PO|＝2|PA|得＝2，化简得x2＋(y＋)2＝， ∴C(0，－). 椭圆E的方程是＋＝1，设Q(a cos θ，sin θ)， |QC|＝ ＝， 令t＝sin θ， 则|QC|＝， 依题意，Q点在x轴上方，且关于y轴对称，因此|QC|取最大值时，对应的t∈(0，1)， 当t＝＝时，|QC|取得最大值，且0<<1， 又a>，因此可解得a>，即a的取值范围为(，＋∞). 答案：(0，－)　(，＋∞) 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).证明： (1)对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标； (2)该方程表示的直线与点P的距离d小于4. 证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． 方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0， 由解得 故直线经过定点M(2，－2). (2)过P作直线的垂线段PQ(图略)， 由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0， ∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4， ∴|PQ|<4，故所证成立． 16．(15分)已知圆D经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2). (1)求圆D的标准方程； (2)若直线l：3x－4y＋2＝0与圆D交于M，N两点，求线段MN的长度． 解：(1)设圆D的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意可得 解得所以圆D的标准方程为(x－1)2＋y2＝4. (2)由(1)可知圆心D(1，0)，半径r＝2， 所以圆心D(1，0)到直线l：3x－4y＋2＝0的距离d＝＝1， 所以|MN|＝2＝2. 17．(15分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点． (1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值； (2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长． 解：(1)取PC的中点E，连接NE(图略)，则＝－＝－(－)＝－(－)＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝. (2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD， 所以·＝0，·＝0，·＝0， 则||2＝|－－＋|2＝(－)2＋(－)2＋()2＝＋＋＝， 所以||＝，故MN的长为. 18．(17分)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝2CD＝4，E为BC的中点．平面ABCD外一点P满足：PA＝2，PB＝2，且PE⊥BD． (1)证明：PA⊥平面ABCD； (2)存在线段PB上一点M，使得二面角M­DE­A的余弦值为，求三棱锥M­BDE的体积． 解：(1)证明：如图，连接AE，AE与BD的交点记为点O， 因为AB＝BC，BE＝BC＝2＝CD，∠ABE＝∠BCD＝90°， 所以△ABE≌△BCD，所以∠BAE＝∠CBD， 因为∠ABD＋∠CBD＝90°，所以∠ABD＋∠BAE＝90°，所以∠AOB＝90°， 即BD⊥AE， 又因为BD⊥PE，且PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE，所以BD⊥平面PAE， 又PA⊂平面PAE，所以BD⊥PA， 因为PA2＋AB2＝20＝PB2， 所以PA⊥AB， 又因为BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD． (2)如图，以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A(4，0，0)，C(0，4，0)，P(4，0，2)，E(0，2，0)，D(2，4，0)， 所以＝(4，0，2)， 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(4λ，0，2λ)，即M(4λ，0，2λ)， 则＝(4λ，－2，2λ)，＝(2，2，0)， 设平面DEM的法向量n1＝(x，y，z)， 由 取x＝λ，则n1＝(λ，－λ，－2λ－1)， 易知，平面ADE的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 因为二面角M­DE­A的余弦值为， 所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝， 整理得21λ2－4λ－1＝0，解得λ＝－(舍去)或λ＝， 所以＝，此时点M为线段BP靠近点B的三等分点， 所以点M到平面BDE的距离h＝PA＝， 又S△BDE＝·DC·BE＝2， 所以三棱锥M­BDE的体积为·S△BDE·h＝. 19．(17分)已知椭圆C：＝1(A>B>0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且△PF1F2的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点Q(1，0)的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，求证：点R总在直线BM上． 解：(1)由题意知|F1F2|＝2c＝2. ∵椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°， ∴S△PF1F2＝|F1F2|·|PF1|＝×2×|PF1|＝， ∴|PF1|＝，|PF2|＝＝， ∴2A＝|PF1|＋|PF2|＝4，A＝2， 又c＝，∴B＝＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意知A(－2，0)，B(2，0). ①当直线l与x轴垂直时，M，n(1，－)， 则AN的方程是y＝－(x＋2)，BM的方程是y＝－(x－2)， 直线AN与直线x＝4的交点为R(4，－)， ∴点R在直线BM上． ②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)， 由 得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0， Δ＝(－8k2)2－4·(1＋4k2)·(4k2－4)>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ＝(6，y0)，＝(x2＋2，y2)，A，N，R共线， ∴y0＝. 又＝(2，y0)，＝(x1－2，y1)， 需证明B，M，R共线， 即证2y1－y0(x1－2)＝0，只需证明2k(x1－1)－·(x1－2)＝0， 若k＝0，显然成立，若k≠0，即证明(x1－1)(x2＋2)－3(x2－1)(x1－2)＝－2x1x2＋5(x1＋x2)－8＝＋－8＝0成立，这个式子显然成立， ∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上． 学科网（北京）股份有限公司 $