专题09 概率与统计初步、复数、计数原理-河北省对口升学（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题09 概率与统计初步、复数、计数原理 1.理解排列与组合的概念，掌握排列数与组合数公式及其性质； 2.理解并掌握二项式定理及其性质； 3.了解随机现象和概率的统计定义； 4.掌握统计初步的有关概念及抽样方法； 5.理解并掌握古典概率及n次独立重复试验的概念及概率计算. 考点01 概率 1.（2025·河北对口升学·真题T24）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个， 总的基本事件数为， 由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为， 故概率为. 故答案为：. 2.（2024·河北对口升学·真题T30） “这么近，那么美，周末到河北对口升学”，某家庭计划从保定市的古莲花池、直隶总督署、狼牙山和石家庄市的西柏坡纪念馆、赵州桥、正定古城、苍岩山七个地点中任意选取两个游览，则选取的两个地点在同一城市的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】该题可先求出七个地点任意两个的所有选法，再求出选取的两个地点在同一城市的选法，最后根据古典概率公式计算概率. 【详解】由题意得，在7个景点中任选2个，组合数为种. 其中选取的两个地点在同一城市的选法有种， 故选取的两个地点在同一城市的概率为. 故答案为：. 3.（2024·河北对口升学·真题T37）某职业学校的3名学生可以到A，B，C，D四个实训基地实习，若每名学生只能选择一个基地实习，且选择其中任何一个基地是等可能的，求： （1）3名学生选择同一基地实习的概率； （2）选择A基地实习的学生人数的概率分布． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）所有可能有种，3名学生选择同一基地实习有种，根据概率公式即可求解. （2）可能取值为，分别求出相应的概率，即可列出分布列. 【小问1详解】 3名学生从A，B，C，D四个实训基地中进行选择，每名学生有4种选法， 根据分步计数原理可知，共有种选法， 3名学生选择同一基地实习的情况共有种， 所以3名学生选择同一基地实习的概率为. 【小问2详解】 选择A基地实习的学生人数可能取值为， 所以， ， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4.（2023·河北对口升学·真题T37）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球. （1）求取到不同颜色球的概率； （2）有放回的取3次，求至少两次取到不同颜色球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用组合和古典概型的公式求概率. （2）至少两次取到不同颜色球，即取到两次或三次，利用独立重复试验的概率公式分别求出，再相加即可. 【小问1详解】 一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球， 设取到不同颜色球为事件，则 【小问2详解】 一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球， 有放回的取3次，为任取两球的独立重复试验，每次取到不同颜色球的概率为， 则至少两次取到不同颜色球的概率为 5.（2022·河北对口升学·真题T12）设事件A与B为互斥事件，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率计算公式解答. 【详解】事件A与B为互斥事件，若随机试验中只有和两个可能，即和为对立事件则 若随机试验中有多个互斥事件，则 综上可得 故选:D. 6.（2022·河北对口升学·真题T37）从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布. 【答案】 0 1 2 P 【解析】 【分析】先根据题意得出可能的取值并求出对应的概率，即可画出概率分布列. 【详解】 所以的概率分布列为： 0 1 2 P 7.（2021·河北对口升学·真题T30）现有长度分别为的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用组合数计算出从五条线段中任取三条线段的总的基本事件个数，再找出可以构成三角形的基本事件，最后运用古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知从的五条线段中任取三条线段， 共有个基本事件， 其中能构成三角形的有，共个基本事件. 所以可以构成一个三角形概率为. 故答案为：. 8.（2021·河北对口升学·真题T37）为备战年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】分别求出为时的概率，列出分布列即可. 【详解】已知每次完美完成这套动作的概率为， 则不完美完成这套动作的概率为， 且每次完成完美完成这套动作的事件是相互独立的， 已知完美完成这套动作的次数， 则可以取， ， ， ， ， . 所以分布列为 考点02 统计初步 9.（2025·河北对口升学·真题T16）已知随机变量的分布列如下： ξ 3 5 7 P a b a 则ξ的期望为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合分布列的性质及期望公式即可得解. 【详解】由分布列可知，， 期望， 故选：. 10.（2025·河北对口升学·真题T29）某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作为样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量； （3）该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率． 【答案】（1）0.008 （2）100 （3）0.415872 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求解； （2）根据频数，频率与样本容量的关系求解； （3）根据独立重复试验的概率公式求解． 【小问1详解】 的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为， ∵频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1， ∴，解得． 【小问2详解】 设样本容量为， ∵内产品频数为20，频率为0.2， ∴，解得． 【小问3详解】 ∵质量指标值不低于60的频率为， ∴从这批产品中随机选取1件，质量指标值不低于60的概率为， ∴从这批产品中随机选取3件，恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率为 ． 考点03 复数 11.（2025·河北对口升学·真题T03）已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可； 详解】复数，， 所以， 故选：D 考点04 计数原理 12.（2025·河北对口升学·真题T18）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法来计算满足条件的排法种数． 【详解】确定《九章算术》与《孙子算经》的排列顺序，有种方法； 从剩下3部著作中选2部放在《九章算术》与《孙子算经》之间进行排列，有种方法； 将《九章算术》、中间2部著作、《孙子算经》看作一个整体与剩下1部著作进行排列，有种方法， 则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为种． 故选：C． 13.（2024·河北对口升学·真题T10）在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先列出二项式的通项公式，再使的指数等于4，的指数等于2求出的值，代回通项公式即可. 【详解】已知的通项公式为， 令，即， 得， 所以含项的系数为， 故选：D. 14.（2024·河北对口升学·真题T15）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶数数字的位置分类讨论，结合计数原理计算求解. 【详解】由题意，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”，则有以下情形： （1）第一位和第五位数字相同且为偶数，第二位和第四位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为； （2）第二位和第四位数字相同且为偶数，第一位和第五位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为， 故满足条件的“回文数”的个数为， 故选：C． 15.（2023·河北对口升学·真题T13）在二项式的展开式中，第8项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理，求解指定项的系数即可. 【详解】二项式的展开式中，第8项为， 第8项的系数为， 故选：D. 16.（2023·河北对口升学·真题T15）现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先分情况讨论，然后运用排列和分类计数原理计算出方案的种数. 【详解】当甲分到两本书时，则甲分到数学书的方案有种. 当甲分到一本书时，乙丙二人中需有一人分到两本书， 则甲分到数学书的方案有种. 所以甲分到数学书的方案共有种. 故选：C. 17.（2023·河北对口升学·真题T30）已知，则_______.. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出的值，然后根据排列数的计算公式求出即可. 【详解】因为，所以或， 解得或（舍去），则. 故答案为：. 18.（2022·河北对口升学·真题T13）展开式中含项与含项的系数之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，此二项式展开通项为，即可得所求结果. 【详解】解：由题可知此二项式展开通项为， 的系数为当时，即为， 的系数为当时，即为， 且知，故可得结果为， 故选：D. 19.（2022·河北对口升学·真题T26）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 【答案】72 【解析】 【分析】先将除去山楂树和梨树之外的三棵树进行排列，再用插空法排列山楂树和梨树，用分步计数原理求解. 【详解】第一步，先将桃树、苹果树、杏树进行全排列，共有种排列方法； 三棵树共有4个空， 第二步，将山楂树和梨树用插空法排列，共有种排列方法； 利用分步计数原理，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有种. 故答案为：72. 20.（2021·河北对口升学·真题T14） 二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第5项或第6项 D. 第6项或第7项 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式和二项式系数的性质即可解得. 【详解】由题，二项式展开式为， 又知， 则展开式共有项， 故当时，即第项二项式系数最大， 故选：B 21.（2021·河北对口升学·真题T15）国家派5支医疗队到4个地区支援抗疫工作，每个地区至少分配1值医疗队，则不同的分配方案有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分组的方法将5支医疗队分成4组，再利用排列的方式求出将分好的4组分配到4个地区的方法，最后利用分步计数原理即可求解. 【详解】先将5支医疗队分成4组，其中有一组有2个人，其余四组各有1人， 所以分组方式共有种， 再将这派45支医疗队到4个地区，全排列共有种， 根据分步计数原理5支医疗队到4个地区共有种方案. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $