专题08 立体几何-河北省对口升学（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题08 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算. 考点01 相关概念、判定与性质 1.（2025·河北对口升学·真题T11）如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河北对口升学·真题T14）在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ） A. B. C. D. 3.（2024·河北对口升学·真题T11）已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4.（2024·河北对口升学·真题T27）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 5.（2024·河北对口升学·真题T29）在正方体中，二面角的余弦值为________． 6.（2023·河北对口升学·真题T14）已知直线，直线，且，以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.（2023·河北对口升学·真题T28）已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______.. 8.（2023·河北对口升学·真题T29）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 9.（2022·河北对口升学·真题T15）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 10.（2022·河北对口升学·真题T25）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 11.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 12.（2021·河北对口升学·真题T13）在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（ ） A. B. C. D. 13.（2021·河北对口升学·真题T28）若直线且，则平面与平面的位置关系是___________. 14.（2021·河北对口升学·真题T29）已知正方形的边长为1，对角线与的交点为，以为棱折成的二面角，则点到的距离为___________. 考点02 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 15.（2025·河北对口升学·真题T25）某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为______． 考点03 综合题 16.（2025·河北对口升学·真题T28）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. （1）求证：平面； （2）若点分别为的中点，点在棱上，且，求证：平面. 17.（2024·河北对口升学·真题T36）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 18.（2023·河北对口升学·真题T36）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 19.（2022·河北对口升学·真题T36）在棱长为2的正方体中，已知E，F分别是BC，的中点. （1）求证：； （2）求点F到直线的距离. 20.（2021·河北对口升学·真题T36）如图所示，四边形为菱形，边长为6，，为中点，平面. （1）求证平面平面； （2）求点到平面距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算. 考点01 相关概念、判定与性质 1.（2025·河北对口升学·真题T11）如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出该几何体的直观图即可判断. 【详解】由题意，作出该几何体的直观图如下图， 则ABD不符，C符合， 故选：C. 2.（2025·河北对口升学·真题T14）在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解. 【详解】 选项中，如图所示，连接， 因为，所以四点共面，所以与共面，故正确； 选项中，与为异面直线， 故选：. 3.（2024·河北对口升学·真题T11）已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误， 故选：B. 4.（2024·河北对口升学·真题T27）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，作，由线面垂直的判定与性质定理可得，在中，用等面积法求解即可. 【详解】如图，连接，作，垂足为， 在边长为的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， 将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角， 所以， 如图，则为折叠成的二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，则， 又平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 由等面积法可得，，即， 解得，即点C到BD的距离为. 故答案为：. 5.（2024·河北对口升学·真题T29）在正方体中，二面角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取BD的中点O，连接，可得为二面角的平面角，利用余弦定理，即可求解． 【详解】 如图所示，取的中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 为二面角的平面角. 设正方体的棱长为 1 ，则， . 同理 故答案为： 6.（2023·河北对口升学·真题T14）已知直线，直线，且，以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、垂直的知识判断. 【详解】选项A中，要证明，需要一个平面上两条相交直线与另一个平面平行，错误； 选项B中，要证明，一个平面上的一条直线垂直于另一个平面上的两条相交直线，条件不足，错误； 选项C中，若，仅能证明，或，条件不足，错误； 选项D中，直线，直线，且，，则，证明成立，正确. 故选：D. 7.（2023·河北对口升学·真题T28）已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______.. 【答案】5 【解析】 【分析】运用二面角平面角及求法，直线与平面垂直的性质解题即可. 详解】作，并连接PH. 因为，平面，平面，. 所以平面， 因为平面，所以. 因为，平面，平面，， 则平面， 因为平面，所以. 故二面角为， 因为两两相互垂直，所以，则， 根据等面积法，可得，即，则. 二面角的正切值为. 故答案为：5. 8.（2023·河北对口升学·真题T29）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由平行直线找到异面直线所成的角，再由边的关系求解即可. 【详解】取AB中点记H，连接CH，DH，EH， 因为G，H分别为CD，AB中点， 因为为矩形，所以，， 所以为平行四边形，所以， 所以为直线CE与AG所成角， 因为ABCD是矩形，为正方形，， 所以，， 因为矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角， 所以可知面ABCD，面ABCD， 所以， 所以为直角，即， 因为在三角形EHC中有，， 所以三角形EHC为直角三角形， 所以在直角三角形EHC中有，， 所以， 所以直线CE与AG所成角为. 故答案为：. 9.（2022·河北对口升学·真题T15）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据点、线、面特殊关系的性质定理解答. 【详解】A、不共线的三点确定一个平面，故A错误； B、根据线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，则B说法正确； C、若一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则两平面平行，故C说法错误； D、若两条直线a，b没有公共点，两直线可能是异面直线，也可能是平行线，故D说法错误. 故选:B. 10.（2022·河北对口升学·真题T25）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 11.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件推导出即为二面角的平面角，进而求解. 【详解】 设平面PAB与a交于O,连接 由题意可知，，， 所以，，，， 又因为， 所以面， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 如图所示，， 所以， 则二面角的大小为. 故答案为; 12.（2021·河北对口升学·真题T13）在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方体的特征，找出所求二面角的平面角即可得解. 【详解】如图，在正方体中， 平面，平面， 所以，又， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 因为为正方形，所以， 即平面与平面所成的二面角的度数是. 故选：C. 13.（2021·河北对口升学·真题T28）若直线且，则平面与平面的位置关系是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为直线且， 根据面面垂直的判定定理：过已知平面的垂线的平面与已知平面垂直， 所以. 故答案为： 14.（2021·河北对口升学·真题T29）已知正方形的边长为1，对角线与的交点为，以为棱折成的二面角，则点到的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二面角的定义找出二面角的平面角，再结合点到直线的距离和正弦的定义即可求解. 【详解】如图， 因为平面平面，且平面平面， 由四边形是正方形可知， 所以为二面角的平面角，即， 设点到的距离为，则. 故答案为： 考点02 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 15.（2025·河北对口升学·真题T25）某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图性质建立圆锥底面半径、母线长与高之间的关系，再结合体积与侧面积的比值求解． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴半圆的弧长等于圆锥底面的周长，即，可得， ∴， 圆锥的体积为， 圆锥的侧面积为， ∵圆锥体积的值与侧面积的值之比为， ∴，化简可得，解得， ∴圆锥的高． 故答案为：4． 考点03 综合题 16.（2025·河北对口升学·真题T28）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. （1）求证：平面； （2）若点分别为的中点，点在棱上，且，求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，由直线与平面垂直的判定定理证得结论； （2）设与交于点，由条件可证得，所以，由直线与平面平行的判定定理证得结论． 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面 所以平面． 【小问2详解】 设与交于点，连接，设与交于点， 因为点分别为的中点，即为的中位线， 所以为的中点，从而， 因为，所以， 则，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 17.（2024·河北对口升学·真题T36）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找到直线BD与平面PBC所成角，再根据余弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【小问1详解】 因为四边形ABCD是正方形，所以. 又因为，平面PCD. 所以平面PCD. 又因为平面，所以平面平面PCD 【小问2详解】 如图所示，取的中点E，连接. 因为是等边三角形，E是的中点， 所以. 由（1）知平面PCD，平面PCD，所以. 因为，，平面， 所以平面. 从而是直线BD与平面PBC所成角. 因为四边形ABCD是正方形，是等边三角形，是直角三角形 所以，，. 则. 进而. 18.（2023·河北对口升学·真题T36）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质证出线线平行即，再由中点得到为的中位线即可证明为中点. （2）由圆的直径所对圆周角为直角证出，再根据面面垂直性质证明平面，即可证明平面，进而证明. 【小问1详解】 证明：因为平面，且平面， 平面平面，所以， 又因为为直径的中点，所以为的中位线， 所以为中点. 【小问2详解】 因为为圆O的直径，C为圆周上一点， 所以，所以. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又由（1）知，，所以平面. 又因为平面，所以. 19.（2022·河北对口升学·真题T36）在棱长为2的正方体中，已知E，F分别是BC，的中点. （1）求证：； （2）求点F到直线的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的对角线垂的关系，以及中位线平行来证明. （2）先找到点到直线的距离线段，再根据关系求长度. 【小问1详解】 证明：连接、 ∵为正方形，、为对角线， ∴， ∵E，F分别是BC，的中点， ∴在中为中位线， ∴， 在平面中，，， ∴①， ∵正方体， ∴平面， ∵平面， ∴②， ， ∴平面， ∵平面， ∴. 【小问2详解】 连接与交点为，则正方体中为与的中点， ∵为的中点， ∴中为中位线， ∴，且， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∴， ∴ ∵， ∴平面， ∵平面， ∴， ∴到直线的距离为， ∵， ∴， ∴， 故点F到直线的距离为. 20.（2021·河北对口升学·真题T36）如图所示，四边形为菱形，边长为6，，为中点，平面. （1）求证平面平面； （2）求点到平面距离. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直和平面，证明平面，从而证明平面平面. （2）到平面的距离是到平面距离的一半，根据等体积法计算三棱锥的体积，从而计算到平面的距离. 【小问1详解】 连接交于点. 四边形为菱形，，为中点， 为中点为中点，， 又平面，平面， 平面，， 平面，平面， 平面， 又平面，平面平面. 【小问2详解】 平面，平面， . 设到平面的距离为， 为中点，所以到平面的距离为. ， ，， 则，解得. 故到平面距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $