专题07 平面解析几何-河北省对口升学（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题07 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质，并能解决生活中的一些实际问题. 考点01 直线 1．（2025·河北对口升学·真题T02）直线与轴的交点坐标为 （ ） A. B. C. D. 2.（2024·河北对口升学·真题T26）已知直线与直线平行，且原点到直线，距离相等，则直线的方程为________． 3.（2023·河北对口升学·真题T11）已知两直线与直线平行，则两直线距离为（ ） A. B. C. D. 考点02 直线与圆 4.（2025·河北对口升学·真题T17）过圆内一点 ，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5（2024·河北对口升学·真题T12）已知动点，分别在圆与直线上，当，之间的距离最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6.（2024·河北对口升学·真题T22）若双曲线的一个焦点坐标为，则________． 7.（2023·河北对口升学·真题T26）已知圆被直线所截，则所截得弦的弦长为_______. 8.（2022·河北对口升学·真题T11）过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9..（2021·河北对口升学·真题T26）设点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________. 考点03 圆锥曲线 10.（2025·河北对口升学·真题T15）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 11.（2024·河北对口升学·真题T12） 已知椭圆的中点为原点，对称轴为坐标轴，左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于M，N两点，若的周长为28，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 12.（2023·河北对口升学·真题T12） 已知双曲线一顶点为，中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线过点则此双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 13.（2022·河北对口升学·真题T14）已知动点P与，的距离之和为4，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 14.（2022·河北对口升学·真题T23）过抛物线的焦点且与直线平行的直线方程为_________________. 15（2022·河北对口升学·真题T29）已知抛物线上一点M到准线的距离等于3，则点M与点的距离为_______________. 16.（2021·河北对口升学·真题T11）已知点为抛物线上一点，为该抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 17.（2022·河北对口升学·真题T12）已知双曲线的两顶点间的距离是4，渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 18.（2021·河北对口升学·真题T27）已知某椭圆的短轴长与焦距相等，则该椭圆的离心率等于__________. 考点04 综合应用题 19.（2025·河北对口升学·真题T30）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在双曲线上，点是双曲线的一个焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求点到双曲线的渐近线的距离； （3）过点作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点，求直线的斜率． 20.（2024·河北对口升学·真题T35）已知抛物线，斜率为2的直线l交抛物线于不同于原点O的A，B两点，若，求直线l的方程． 21.（2023·河北对口升学·真题T27）已知直线过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为_______. 22.（2023·河北对口升学·真题T35）已知抛物线直线l经过抛物线的焦点F和点，且交抛物线于A、B两点. （1）求; （2）求三角形OAB的面积. 23.（2022·河北对口升学·真题T35）已知椭圆的一个顶点为，离心率.以椭圆的焦点为顶点作等轴双曲线，该双曲线上一点P与椭圆两个焦点，连线的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：. 24.（2021·河北对口升学·真题T35）已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点. （1）求直线的方程和双曲线的标准方程； （2）求线段的长度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质，并能解决生活中的一些实际问题. 考点01 直线 1．（2025·河北对口升学·真题T02）直线与轴的交点坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入直线方程中即可得解. 【详解】直线， 令，则，解得， 所以与轴交点坐标为， 故选：. 2.（2024·河北对口升学·真题T26）已知直线与直线平行，且原点到直线，距离相等，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用直线平行条件和距离公式即可求解. 【详解】由题意，设直线的方程为， 又原点到直线，的距离相等， 则，解得，又，所以， 所以直线的方程为 故答案为：. 3.（2023·河北对口升学·真题T11）已知两直线与直线平行，则两直线距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两条直线平行求解参数，再求解直线间的距离求解即可. 【详解】由题意得，解得， 所以两直线方程为与， 即与， 所以两直线间的距离为． 故选：D. 考点02 直线与圆 4.（2025·河北对口升学·真题T17）过圆内一点 ，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据过圆内一点的所有直线中，与该点和圆心连线垂直的直线被圆截得的弦长最短即可得解. 【详解】令圆，则圆心， 设所求直线为，则， ，所以， 则直线，化为一般式方程为， 故选：. 5（2024·河北对口升学·真题T12）已知动点，分别在圆与直线上，当，之间的距离最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断圆与直线的位置关系，然后由题意可得直线与直线垂直且过圆心，求出直线的方程，与直线的方程联立，即可求出点的坐标. 【详解】∵圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离. ∵动点，分别在圆与直线上， ∴当，之间的距离最小时，直线与直线垂直且过圆心， ∵直线的斜率为，∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 联立方程，解得， ∴点的坐标为. 故选：A. 6.（2024·河北对口升学·真题T22）若双曲线的一个焦点坐标为，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】将方程转换成双曲线的标准方程，根据焦点坐标列出关于的方程，求解即可． 【详解】因为双曲线的焦点在y轴， 所以双曲线的标准方程为（），即， 因为其中一个焦点为，即， 所以由，得，解得． 故答案为：1． 7.（2023·河北对口升学·真题T26）已知圆被直线所截，则所截得弦的弦长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据弦长公式求弦长即可. 【详解】已知中，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故答案为：. 8.（2022·河北对口升学·真题T11）过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像找到切点坐标，再根据两点的坐标求距离. 【详解】已知圆心，半径， 如图所示 ∵圆心在轴上，半径为， 过圆心做轴且与圆交于点, ∴ 又∵点横坐标为， ∴轴，即轴， ∴ 故为圆的切线，切点为， ∵点横坐标为3，代入圆的标准方程可得的坐标为 又∵ 故，又因为两条切线相等， 故选:C. 9..（2021·河北对口升学·真题T26）设点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系和圆上点到与圆相离的直线的距离的最小值为圆心到直线的距离与半径的差即可求解. 【详解】圆圆心，半径为2， 而圆心到直线的距离为， 所以直线和圆相离，则圆上点到直线的距离的最小值为. 故答案为：2 考点03 圆锥曲线 10.（2025·河北对口升学·真题T15）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的性质，结合已知条件求出椭圆方程中的的值即可． 【详解】∵椭圆的焦距为，∴，即， ∵离心率为，∴，可得， ∴， ∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴椭圆的标准方程为． 故选：B． 11.（2024·河北对口升学·真题T12） 已知椭圆的中点为原点，对称轴为坐标轴，左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于M，N两点，若的周长为28，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及条件可求得，由焦点求出，进而利用椭圆的离心率公式求出结果. 【详解】∵过的直线与椭圆交于M，N两点， ∴，，， ∴的周长为， ∴， ∴椭圆离心率为， 故选：B. 12.（2023·河北对口升学·真题T12） 已知双曲线一顶点为，中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线过点则此双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的渐近线方程为，因为渐近线过点，则，再根据已知条件即可求解. 【详解】设双曲线的渐近线方程为， 因为渐近线过点， 则， 又因为双曲线一顶点为，中心在原点，对称轴为坐标轴， 所以，焦点在x轴上， 所以双曲线方程为. 故选：D. 13.（2022·河北对口升学·真题T14）已知动点P与，的距离之和为4，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义即可得结果. 【详解】解：由题可知，平面内一动点到两个定点的距离为一常数，且满足， 故可知此动点的轨迹为一椭圆，且由于知椭圆焦点在轴上， 即知， 即知其标准方程为. 故选：A. 14.（2022·河北对口升学·真题T23）过抛物线的焦点且与直线平行的直线方程为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】求抛物线的焦点，并代入所设方程可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为， 设与直线平行的直线方程为， 由代入可得， 故所求方程为. 故答案为： 15（2022·河北对口升学·真题T29）已知抛物线上一点M到准线的距离等于3，则点M与点的距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义及点与点之间的距离公式即可得解. 【详解】因为抛物线方程为. 所以准线为. 因为点到准线的距离为. 设点的坐标为. 所以. 解得. 又因为点在抛物线. 所以. 解得或. 所以点或. 所以点与点的距离为或. 综上所述:点与点的距离为. 故答案为:. 16.（2021·河北对口升学·真题T11）已知点为抛物线上一点，为该抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦半径公式求值即可. 【详解】已知抛物线，焦点在轴正半轴上，开口向上， 其中， 且点为抛物线上一点， 所以. 故选：C. 17.（2022·河北对口升学·真题T12）已知双曲线的两顶点间的距离是4，渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据顶点间距离可得，再由渐近线方程可求出的值，将代入双曲线标准方程中即可. 【详解】已知双曲线的两顶点间的距离是4， 所以， 由渐近线方程，可得或， 即. 所以双曲线的标准方程为或. 即或. 故选：D. 18.（2021·河北对口升学·真题T27）已知某椭圆的短轴长与焦距相等，则该椭圆的离心率等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆中的关系和离心率公式进行求解. 【详解】由题可知， ， . 故答案为：. 考点04 综合应用题 19.（2025·河北对口升学·真题T30）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在双曲线上，点是双曲线的一个焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求点到双曲线的渐近线的距离； （3）过点作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用已知的点和焦点信息确定双曲线方程中的参数即可； （2）先求出双曲线渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算点到渐近线的距离； （3）先求出过点且与渐近线平行的直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程求出点的坐标，最后根据两点间的斜率公式计算直线的斜率． 【小问1详解】 因为点是双曲线的一个焦点，所以半焦距，焦点在轴上． 设双曲线的标准方程为， 由点在双曲线上可知， 所以， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 因为双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即． 所以点到渐近线的距离为． 【小问3详解】 双曲线的渐近线方程为， 过点且与渐近线平行的直线方程为． 若取直线， 联立直线与双曲线方程，解得，得， 又，可得； 若取直线， 联立直线与双曲线方程，解得，得， 又，可得， 综上，直线的斜率为． 20.（2024·河北对口升学·真题T35）已知抛物线，斜率为2的直线l交抛物线于不同于原点O的A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意设出直线方程，联立方程组结合韦达定理求出与的值，利用即可得解. 【详解】直线l斜率2，设直线方程为， 联立方程组得， 设，，则，， 所以，， 所以， 若，则， 化简得， 解得或， 由题意可知时，不成立， 所以，直线方程为化为一般式方程为. 21.（2023·河北对口升学·真题T27）已知直线过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线方程得到直线与坐标轴的交点坐标，结合椭圆方程的长轴长大于短轴长的性质得到长半轴和短半轴的值，应用的关系计算出半焦距的值，从而得到椭圆的离心率. 【详解】直线与坐标轴的交点为和， 结合椭圆的性质可得,， 所以， 所以椭圆的离心率为, 故答案：. 22.（2023·河北对口升学·真题T35）已知抛物线直线l经过抛物线的焦点F和点，且交抛物线于A、B两点. （1）求; （2）求三角形OAB的面积. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的标准方程求出焦点，再求得直线方程，联立方程组结合两点间的距离公式即可求解. （2）根据点到直线的距离公式结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，抛物线的焦点. 则直线的斜率为. 由斜截式方程可得， 直线方程为. 联立方程， 则. 设点， 则. 所以 . 【小问2详解】 由（1）得，， 直线的方程为. 则点O到直线的距离为三角形的高， 即. 所以三角形的面积为. 23.（2022·河北对口升学·真题T35）已知椭圆的一个顶点为，离心率.以椭圆的焦点为顶点作等轴双曲线，该双曲线上一点P与椭圆两个焦点，连线的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出a,b,c,即可求出椭圆方程. （2）结合双曲线和椭圆方程求出，，进而可证. 【小问1详解】 因为椭圆的一个顶点为，所以， 又因为离心率，已知， 得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 证明：因为双曲线是以椭圆的焦点为顶点的等轴双曲线， 所以在双曲线中， ， 等轴双曲线方程为， 已知椭圆焦点为， 设双曲线上一点P坐标为， 则， 所以， 将点P代入双曲线方程得， 综上所述，. 24.（2021·河北对口升学·真题T35）已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点. （1）求直线的方程和双曲线的标准方程； （2）求线段的长度. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求得，从而求得双曲线方程；根据题意得到双曲线的左焦点坐标，再利用直线的倾斜角求出斜率，最后用点斜式求出直线的方程即可； （2）先联立直线和双曲线方程，结合韦达定理求出，再利用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由可知， 所以双曲线方程为， 由双曲线的左焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 设， 联立， 所以，即， 由韦达定理可知， 所以， 而. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $