疑难杂症4 晶胞中原子的空间利用率（高考化学）—讲义及解析

该高中化学讲义聚焦高考物质结构模块核心考点“晶胞中原子空间利用率”，整合简单立方、体心立方、面心立方及六方最密堆积四类晶体结构，按“公式推导-结构特征-实例计算”逻辑梳理知识，通过考点精讲（堆积方式与配位数）、方法指导（晶胞参数与原子半径关系推导）、真题训练（12道分层练习题）三环节，帮助学生突破空间利用率计算难点，体现复习系统性与针对性。 讲义创新采用“结构模型具象化+数学推导步骤化”教学策略，如六方最密堆积讲解中，引导学生从底面菱形棱长、高与原子半径关系建立空间模型，培养科学思维与模型认知能力。练习题涵盖金属、共价晶体等高考常见情境，结合密度数据综合计算，强化证据推理能力，助力学生高效掌握高频考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高考·物质结构与性质中的疑难问题 疑难杂症4　 晶胞中原子的空间利用率 一、相关计算公式 晶胞中原子空间利用率=×100%。 金属晶胞中原子空间利用率的计算 空间利用率＝×100%，球体积为金属原子的总体积。 二、四类金属晶体中原子利用率 金 属 晶 体 简单立 方堆积 典型代表Po，配位数为 6 ，空间利用率52% 面心立方 最密堆积　 又称为A1型或铜型，典型代表Cu、Ag、Au，配位数为12，空间利用率74% 体心立 方堆积 又称为A2型或钾型，典型代表Na、K、Fe，配位数为8，空间利用率68% 六方最 密堆积 又称为A3型或镁型，典型代表Mg、Zn、Ti，配位数为 12 ，空间利用率74% （1） 简单立方堆积相关求解 如图所示，设原子半径为r，则立方体的棱长为________，V球＝________，V晶胞＝________，空间利用率＝________。 【解析】如图所示，原子的半径为r，立方体的棱长为2r，则V球＝πr3，V晶胞＝(2r)3＝8r3，空间利用率＝×100%＝×100%≈52%。 （2）体心立方堆积相关求解 如图所示，设原子半径为r，则体对角线c为________，面对角线b为________(用a表示)，a＝________(用r表示)，空间利用率为________。 【解析】如图所示，原子的半径为r，体对角线c为4r，面对角线b为 a，由(4r)2＝a2＋b2得a＝r。1个晶胞中有2个原子，故空间利用率＝×100%＝×100%＝×100%≈68%。 （3）六方最密堆积相关求解 如图所示，设原子半径为r，则棱长为________(用r表示，下同)，底面面积S＝________，h＝________，V晶胞＝________，空间利用率＝________。 【解析】如图所示，原子的半径为r，底面为菱形(棱长为2r，其中一个角为60°)，则底面面积＝2r×r＝2r2，h＝r，V晶胞＝S×2h＝2r2×2×r＝8r3,1个晶胞中有2个原子，则空间利用率＝×100%＝×100%≈74%。 （4）面心立方最密堆积相关求解 如图所示，设原子半径为r，则面对角线为________(用r表示)，a＝________(用r表示)，V晶胞＝________(用r表示)，空间利用率＝________。 【解析】如图所示，原子的半径为r，面对角线为4r，4r=a，a＝2r，V晶胞＝a3＝(2r)3＝16r3,1个晶胞中有4个原子，则空间利用率＝×100%＝×100%≈74%。 1、利用新制的Cu(OH)2检验醛基时，生成红色的Cu2O，其晶胞结构如下图所示。 若Cu2O晶体的密度为dg·cm－3，Cu和O的原子半径分别为rCupm和rOpm，阿伏加德罗常数值为NA，列式表示Cu2O晶胞中原子的空间利用率为________________。 2、砷化镓也是半导体材料，其结构与硫化锌类似，其晶胞结构如下图所示：若砷和镓的原子半径分别为acm和bcm，砷化镓的摩尔质量为Mg·mol－1，密度为ρg·cm－3，晶胞中原子体积占空间体积百分率(即原子体积的空间占有率)为________(用含a、b、M、ρ、NA的代数式表示，NA表示阿伏加德罗常数的值)。 3、CdSe的一种晶体为闪锌矿型结构，晶胞结构如图所示。该晶胞中CdSe键的键长为__________。已知Cd和Se的原子半径分别为rCd nm和rSe nm，则该晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为__________。 4、钛(Ti)被誉为“21世纪金属”，Ti晶体的堆积方式是六方最密堆积如图1所示，晶胞可用图2表示。设金属Ti的原子半径为a cm，空间利用率为______。 5、在金属材料中添加AlCr2颗粒，可以增强材料的耐腐蚀性、硬度和机械性能。AlCr2具有体心四方结构，如图所示，处于顶角位置的是_______原子。设Cr和Al原子半径分别为rCr和rAl，则金属原子空间占有率为_______%(列出计算表达式)。 6、GaAs的熔点为1 238℃，密度为ρg·cm-3，其晶胞结构如图所示。Ga和As的摩尔质量分别为M Ga g·mol-1和M As g·mol-1，原子半径分别为r Gapm和r Aspm，阿伏加德罗常数值为NA，则GaAs晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为 。 7、下列有关金属晶体判断正确的是 A．简单立方、配位数6、空间利用率68% B．钾型、配位数6、空间利用率68% C．镁型、配位数8、空间利用率74% D．铜型、配位数12、空间利用率74% 8、有四种不同堆积方式的金属晶体的晶胞如图所示，有关说法正确的是(假设金属的摩尔质量为M g•mol－1，金属原子半径为r cm，用NA表示阿伏加德罗常数的值) A．金属Mg采用②堆积方式 B．①和③中原子的配位数分别为：8、12 C．对于采用②堆积方式的金属，实验测得W g该金属的体积为V cm3，则阿伏加德罗常数NA的表达式为 D．④中空间利用率的表达式为：×100% 9、有四种不同堆积方式的金属晶体的晶胞如图所示，下列有关说法正确的是 A．①为简单立方堆积，②为镁型，③为钾型，④为铜型 B．每个晶胞含有的原子数分别为：①1个，②2个，③2个，④4个 C．晶胞中原子的配位数分别为：①6，②8，③8，④12 D．空间利用率的大小关系为：①＜②＜③＜④ 10、金刚石与石墨都是碳的同素异形体。若碳原子半径为r，金刚石晶胞的边长为a，根据硬球接触模型，金刚石晶胞中碳原子的空间占有率为___________（用含π的代数式表示）。 11、金属Na晶体中的原子堆积方式称为体心立方堆积，晶胞参数为a nm，空间利用率为________（列出计算式）。 12、已知立方氮化硼密度为d g／cm3，B原子半径为x pm，N原子半径为y pm，阿伏加德罗常数的值为NA，则该晶胞中原子的空间利用率为__________（列出化简后的计算式）。 答案及解析 1、【答案】　×100% 【解析】空间利用率是晶胞中球的体积与晶胞体积的比值，晶胞中有2个O和4个Cu,球的体积为(4×πr＋2×πr)×10－30cm3，晶胞的体积可以采用晶胞的密度进行计算，即晶胞的体积为cm3，因此空间利用率为×100%。 2、【答案】　×100% 【解析】 设阿伏加德罗常数为NAmol－1，晶胞中Ga原子数目＝8×＋6×＝4，As原子数目＝4，晶胞相当于有4个“GaAs”，晶胞质量＝4×g，晶胞中Ga、As原子总体积＝4×π(a3＋b3)cm3，晶胞的体积为cm3，晶胞中原子体积占空间体积百分率(即原子体积的空间占有率)为×100%。 3、【答案】：　a ×100% 【解析】：CdSe键的键长为晶胞体对角线长的，故键长为a，晶胞中原子占的总体积为×4，晶胞体积为a3，故晶胞中原子利用率＝×100%。 4、【答案】(3)或74%　 【解析】(3)由Ti晶体的晶胞结构示意图可知，该晶胞为平行六面体，其底是菱形，金属Ti的原子半径为a cm，则底边长为2a cm，底面的面积为2a×2a×sin 60＝2a2。B点与底面连线的3个点构成正四面体，正四面体的高为×2a，所以晶胞的高为×2a×2＝a，晶胞的体积为底面的面积与高的积，即2a2×a＝8a3，根据均摊法可以求出该晶胞中有2个Ti原子，2个Ti原子的体积为2×， 所以，原子的空间利用率为×100%＝(或74%)。 5、【解析】(4)已知AlCr2具有体心四方结构，如图所示，黑球个数为，白球个数为，结合化学式AlCr2可知，白球为Cr，黑球为Al，即处于顶角位置的是Al原子。设Cr和Al原子半径分别为和，则金属原子的体积为，故金属原子空间占有率=%，故答案为：Al；。 6、【答案】×10-30×100% 【解析】根据晶胞结构可知晶胞中Ga和As的个数均是4个，所以晶胞的体积是 cm3。二者的原子半径分别为rGapm和rAspm，阿伏加德罗常数值为NA，则GaAs晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为×100%=×10-30×100%。 7、【答案】D 8、【答案】D 【解析】A．Mg属于六方最密堆积，所以金属Mg采用③堆积方式，故A错误； B．，其配位数是6，，配位数为12，故B错误； C．中原子个数为8×＋1＝2，晶胞质量m＝2M，密度ρ＝＝，故C错误； D．面心立方堆积空间利用率为×100%＝×100%，故D正确。故选：D。 9、【答案】B 【解析】A．②为体心立方堆积，属于钾、钠和铁型；③是六方最密堆积，属于镁、锌、钛型，A错误。 B．利用均摊法计算原子个数，①中原子个数为8×1/8＝1个，②中原子个数为8×1/8＋1＝2个，③中原子个数为8×1/8＋1＝2个，④中原子个数为8×1/8＋6×1/2＝4个，B正确。 C．③为六方最密堆积，此结构为六方锥晶包的1/3，配位数为12，C错误。 D．③、④的空间利用率最高，都是74%，①中简单立方堆积空间利用率最小为52%，②中体心立方堆积空间利用率为68%，所以空间利用率大小顺序为①<②<③＝④，D错误，正确答案为B。 10、【答案】π×100% 。 【解析】金刚石晶胞如图，该晶胞中C原子个数4+8×+6×=8，金刚石体对角线上的四个原子紧密相连，晶胞棱长a=r，晶胞体积=a3，所有原子体积=πr3×8，空间占有率=×100%=×100%= π×100% . 11、【答案】 【解析】金属Na晶体中的原子堆积方式称为体心立方堆积，其堆积方式如图所示：，则一个晶胞中钠原子数量=8×+1=2，晶胞参数为a nm，则晶胞的体积为V（晶胞）= a3nm3，根据晶胞图示，晶胞体对角线的长度=4r（Na），则r（Na）=nm，则晶胞中钠原子的总体积=2×，则晶胞空间利用率=。 12、【答案】 【解析】立方氮化硼晶胞中每个N原子连接4个B原子，晶胞中N原子数为4，B原子数==4，因此氮化硼化学式BN，所以晶胞中每个B原子也连接4个N原子，即硼原子的配位数为4；晶胞的质量m=，晶胞的体积V==，B、N原子总体积 V1=4×［］=cm3，晶胞中原子的空间利用率==。 1 学科网（北京）股份有限公司 $