1 1.1　1.2　分步乘法计数原理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　基本计数原理 1.1　分类加法计数原理 1.2　分步乘法计数原理 学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理.　2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.　3.通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养；借助计数原理的实际应用，培养数学建模、逻辑推理、及数学运算素养. 任务一　分类加法计数原理 某人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择，一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘.那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 问题1.该代表从济南到北京的方案可以分为几类？每类方案中各有几种方法？ 提示：两类；乘飞机3种方法，乘高铁4种方法. 问题2.该代表从济南到北京共有多少种不同的方法？ 提示：共3＋4＝7种方法. 分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法.(也称“加法原理”) [微提醒]　(1)完成这件事的若干种方法可以分成n类.(2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交. 在平面直角坐标系内，已知曲线方程＋＝1. (1)若曲线方程表示的轨迹为圆，则这样的圆有多少个？ (2)若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则这样的椭圆有多少个？ 解：(1)因为a，b∈，所以a，b∈， 因为曲线方程表示的轨迹为圆，则a＝b，共有5种情况， 即这样的圆有5个. (2)由(1)知a，b∈ 当焦点在x轴上，此时需a＞b， 当a＝2时，b没有对应值，0个椭圆； 当a＝3时，共1个椭圆； 当a＝4时，共2个椭圆； 当a＝5时，共3个椭圆； 当a＝6时，共4个椭圆； 由分类加法计数原理，焦点在x轴上的椭圆有0＋1＋2＋3＋4＝10个； 焦点在y轴上与焦点在x轴上的椭圆个数相同，有10个； 综上所述，满足题意的椭圆共有10＋10＝20个. 学生用书⬇第125页 利用分类加法计数原理计数时的解题思路及注意点 注意：分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. 对点练1.(1)现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有(　　) A.10种 B.12种 C.20种 D.36种 (2)自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字1的自然数的个数为　　　　. 答案：(1)B　(2)19 解析：(1)依题意，不同的选法共有3＋4＋5＝12种.故选B. (2)一位数中含有数字1的有1个；两位数中十位为1的有10个；十位不为1，个位数字为1的自然数有8个，故共有1＋10＋8＝19个. 任务二　分步乘法计数原理 一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务，但需经过C地，已知从A地到C地每天有7个航班，从C地到B地每天有6趟火车. 问题3.该志愿者从A地到B地需要经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？ 提示：两个步骤；第一步有7种方法，第二步有6种方法. 问题4.该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法？ 提示：7×6＝42种方法. 分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法.(也称“乘法原理”) [微提醒]　(1)完成一件事有多个步骤，缺一不可. (2)每一步都有若干种方法. 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？ 解：得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法. 第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法. 根据分步乘法计数原理共有10×12＝120 (种)取法. 利用分步乘法计数原理解题的一般思路及注意点 1.利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 2.注意点 应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. 对点练2.(1)甲从3个短跑项目和5个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有(　　) A.8种 B.15种 C.20种 D.24种 (2)食堂有大荤菜3个、小荤菜3个、素菜4个、汤1个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有　　　种不同的搭配方式. 答案：(1)B　(2)36 解析：(1)不同的选择方案共有3×5＝15种.故选B. (2)依题意得，选择大荤菜有3种方法，小荤菜有3种方法，素菜有4种方法，汤有1种方法，根据分步乘法原理可得，一共有3×3×4×1＝36种不同的搭配方式. 学生用书⬇第126页 任务三　两个基本原理的应用 将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数. 解：(1)1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有3×3×3＝27(种)放法. (2)1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有3×3×3＝27(种)放法，一类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法，一类是1号盒中有三个球，有1种放法. 共有27＋9＋1＝37(种)放法. [变式探究] 1.(变设问)本例中，球A只能放入1号盒中，共有多少不同放法种数？ 解：球A只能放入1号盒中，有1种放法，球B，C各有4种放法，所以根据分步乘法原理，共有1×4×4＝16种放法. 2.(变设问)本例中，球A不能放入奇数号盒中，共有多少不同放法种数？ 解：法一：球A不能放入奇数号盒中，只能放入2号盒或4号盒中2种情况，当球A放入2号盒时，根据分步乘法原理，有1×4×4＝16种放法；当球A放入4号盒时，也有1×4×4＝16种放法，再根据分类加法原理，所以共有16＋16＝32种放法. 法二：球A不能放入奇数号盒中，只能放入2号盒或4号盒中2种情况，球B，C各有4种放法，根据分步乘法原理，共有2×4×4＝32种放法. 1.在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. 2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 对点练3.高二(1)班、(48)班、(62)班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试. (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果张老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 解：(1)事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从(1)班选出，有7种选法， 第二类，组长从(48)班选出，有5种选法， 第三类，组长从(62)班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有7＋5＋9＝21种选法. (2)如果张老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从(1)班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从(48)班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从(62)班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有7×5×9＝315种选法. (3)事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自(1)班和(48)班，有7×5＝35种选法， 第二类，若两人来自(1)班和(62)班，有7×9＝63种选法， 第三类，若两人来自(48)班和(62)班，有5×9＝45种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有35＋63＋45＝143种. 任务再现 1.分类加法计数原理.2.分步乘法计数原理.3.两个基本原理的应用 方法提炼 分类讨论、分类加法计数、分步乘法计数 易错警示 “分类”与“分步”不清，导致计数错误 1.某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有(　　) A.17种 B.34种 C.35种 D.70种 答案：A 解析：由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有10＋7＝17种，故A正确.故选A. 2.3名同学报名参加学校运动会的跳高、跳远比赛项目，每人限报一项，不同的报法种数是(　　) A.9 B.8 C.6 D.5 答案：B 解析：依题意每位同学均有2种报名方法，按照分步乘法计数原理可知一共有2×2×2＝8种不同的报法.故选B. 3.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有　　　　　种不同的走法. 答案：14 解析：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3＝6种；第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2＝8种，根据分类计数原理可得，共有6＋8＝14种，故从甲地到丁地共有14种不同的走法. 4.已知a，b均为集合A＝中的元素，则对应的所有可能的直线y＝x有　　　条. 答案：13 解析：第一类：当a，b取值相同时，＝1，表示1条直线；第二类：当a，b取值不同时，分两步：第一步，排分母，有4种情况，第二步，排分子，有3种情况，共计12种情况，且值都不相等，所以所有可能的直线有12＋1＝13条. 学科网（北京）股份有限公司 $