5 2.3.1 两条直线平行与垂直的判定-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定，通过问题导思衔接平面几何角关系与倾斜角知识，搭建从几何直观到代数表达的学习支架，系统呈现斜率存在与否的判定条件及应用。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合分类讨论培养数学思维，通过实例（如四边形形状判定）提升直观想象与数学运算素养。采用“知识点+例题+规律方法+对点练”结构，助力学生掌握判定逻辑，也为教师提供结构化教学方案。

　 第2章　 2.3　两条直线的位置关系 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 学习目标 1. 理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2. 会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3. 运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题，提升直观想象、数学运算等核心素养. 任务一　两条直线平行的判定 1 任务二　两条直线垂直的判定 2 任务三　已知直线的位置关系求参数 3 任务四　平行与垂直的综合应用 4 内容索引 随堂评价 5 课时测评 6 任务一　两条直线平行的判定 返回 问题1.在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补. 问题2.平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等. 问题导思 新知构建 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 a1＝a2≠90° a1＝a2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔________ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示     k1＝k2 典例1 判断下列各对直线是否平行，并说明理由. (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； 解：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－. 则k1＝－，b1＝；k2＝－，b2＝－. 因为k1＝k2，且b1≠b2， 所以l1∥l2. (2)l1：x＝2，l2：x＝4. 解：因为l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，所以l1∥l2. 规律方法 判断两条不重合的直线是否平行的方法 对点练1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(－1，－)，B(0，0)，则直线l1，l2的位置关系是 A.平行或重合 B.平行 C.垂直 D.重合 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝，所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合. √ 对点练2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，则过点(－1，3)，且与l平行的直线l'的方程为_________________. l的方程可化为y＝－x＋3，所以l的斜率为－. 因为l'与l平行，所以l'的斜率为－. 又因为l'过点(－1，3)， 所以由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. 返回 3x＋4y－9＝0 任务二　两条直线垂直的判定 返回 问题3.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 问题导思 新知构建 图示     对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存 在)⇔_____________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒________ k1·k2＝－1 l1⊥l2 典例2 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由. (1)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； 解：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝x＋， l2：y＝－2x＋2. 则k1＝，k2＝－2. 因为k1·k2＝－1，故l1⊥l2. (2)l1：y＝－3，l2：x＝1. 解：由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2. 规律方法 判断两条直线是否垂直的方法 　　在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 对点练3.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为 A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0 √ 过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A. 对点练4.(多选)已知直线l：x－2y－2＝0，则 A.直线x－2y＋1＝0与直线l平行 B.直线2x＋y－2＝0与直线l平行 C.直线x＋2y－1＝0与直线l垂直 D.直线2x＋y－2＝0与直线l垂直 √ √ 返回 对于A，因为x－2y＋1＝0与直线l斜率相同，但截距不同，所以x－2y＋1＝0与直线l平行，A正确； 对于B，因为1×1－×2＝5≠0，所以2x＋y－2＝0与直线l不平行，B错误； 对于C，因为1×1＋×2＝－3≠0，所以x＋2y－1＝0与直线l不垂直，C错误； 对于D，因为1×2＋×1＝0，所以2x＋y－2＝0与直线l垂直，D正确. 故选AD. 任务三　已知直线的位置关系求参数 返回 典例3 (1)已知直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：x＋y＋a＝0平行，则a的值是 A.－4 B.1 C.－4或1 D.4或－1 √ 因为直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：x＋y＋a＝0平行， 则有a(a＋2)＋a－4＝0，解得a＝1或a＝－4， 当a＝1时，直线l1：x－y＋2＝0与直线l2：3x－3y＋1＝0平行； 当a＝－4时，直线l1：x＋4y＋2＝0与直线l2：－2x－8y－4＝0，即x＋4y＋2＝0重合， 所以a的值是1. 故选B. (2)设直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay－3＝0.若l1⊥l2，则a的值为 A.0或1 B.0或－1 C.1 D.－1 √ 因为l1⊥l2，则a＋a＝a＝0，解得a＝0或1. 故选A. 规律方法 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 　　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 对点练5.若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为 A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1， 即＝－1， 解得a＝1或a＝3. √ 对点练6.“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 当a＝－2时，直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0分别为： x－y＋3＝0和5x－5y－9＝0，显然，两直线平行； 当直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行时，有a(a－3)＝10 成立， 解得a＝－2或a＝5， 返回 √ 当a＝－2时，两直线为x－y＋3＝0 和5x－5y－9＝0，显然，两直线不重合是平行关系； 当a＝5时，两直线为5x＋2y＋15＝0 和5x＋2y－2＝0，显然，两直线不重合是平行关系； 由此可判断“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的充分不必要条件， 故选A. 返回 任务四　平行与垂直的综合应用 返回 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD. 由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行. 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 典例4 规律方法 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 对点练7.已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 解：设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， 所以kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. ①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， 因为kBC＝0， 所以CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， 所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3). ②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， 因为kAD＝，kCD＝， 所以 解得x＝，y＝， 所以D点坐标为. 综上，D点坐标为(3，3)或. 返回 随堂评价 返回 1.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是 A. B.－ C.2 D.－2 √ 由题意知，PQ的斜率存在， 由kPQ＝kMN，即＝，解得m＝－. 经检验知，m＝－符合题意. 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为 A. B.－ C.a D.不存在 √ 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－； 当a＝0时，l2的斜率不存在. √ 3.已知直线x＋3y＋1＝0与直线4x＋my＋1＝0平行，则m的值为 A.3 B.－4 C.3或－4 D.3或4 √ 由题设，m(m＋1)－12＝m2＋m－12＝(m＋4)(m－3)＝0，可得m＝－4或m＝3， 当m＝－4时，3x－3y－1＝0、4x－4y＋1＝0平行，符合题意； 当m＝3时，4x＋3y＋1＝0、4x＋3y＋1＝0重合，不合题意；所以m＝－4. 故选B. 4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝____. 设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC， 则有kAD·kBC＝－1， 所以有·＝－1，解得m＝. 5.已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值为______. 因为k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，所以 又l1∥l2，所以k1＝k2， 所以k1＋k2＋k3＝1或. 1或 返回 课时测评 返回 1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是 A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 需考虑两条直线重合的情况，B，D都可能是两条直线重合，所以AC正确.故选AC. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知l1：3kx－ky＋1＝0，l2：x＋3ky＝0，若l1⊥l2，则实数k＝ A.0或1 B.－ C.1 D.0或－ √ 因为l1⊥l2，所以3k×1＋×3k＝0，k＝0或k＝1， 又当k＝0时，l1不存在故舍去，所以k＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为 A.15x－10y－6＝0 B.15x－10y＋6＝0 C.6x－4y－3＝0 D.6x－4y＋3＝0 √ 若直线l过原点，则直线l在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意， 设直线l的方程为＋＝1，其中a≠0且a≠－1， 则直线l的斜率为k＝－＝－＝，解得a＝－， 所以直线l的方程为－＝1，即15x－10y－6＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知直线l1：x＋y＋a－2＝0与l2：ax＋2y＋8＝0平行，则a的值为 A.1 B.－2 C.－ D.1或－2 因为直线l1：x＋y＋a－2＝0与l2：ax＋2y＋8＝0平行， 所以解得a＝1. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(多选)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有 A.kAB＝－ B.kBC＝－ C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 √ kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝， 因为kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC， 所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形. 故AC正确，BD错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为_____. 因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB. 所以kEF＝kAB＝＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为____. 由P，Q为不同两点，得a＋b≠3.由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y).若l1⊥l2，则x＝_____，y＝_____. 因为l1⊥l2，l1的斜率为2，所以l2的斜率为－， 所以 －1 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(10分)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2). (1)若l1∥l2，求a的值； 解：直线l2的斜率k2＝＝－. 若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝，所以＝－，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若l1⊥l2，求a的值. 解：若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，k1＝， 由k1·k2＝－1得到＝－1， 解得a＝3或a＝－4，经检验当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(13分)如图，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3). (1)求OC所在直线的斜率； 解：点O(0，0)，C(1，3)，所以OC所在直线的斜率 kOC＝＝3. (2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率. 解：在▱OABC中，AB∥OC，因为CD⊥AB，所以 CD⊥OC，所以kOC·kCD＝－1， kCD＝＝－. 故直线CD的斜率为－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(多选)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列结论正确的是 A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QR D.PR⊥QS √ √ √ √ 由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，kQR＝＝＝.所以ABCD均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为 A. B. C. D. √ 设D(x，y). 因为AD⊥BC，所以·＝－1， 所以x＋5y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为AB∥CD，所以＝， 所以x－2y－4＝0. 联立故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为______________. 设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在， 所以 即 解得即A(－19，－62). (－19，－62) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(15分)已知△ABC的三顶点是A，B， C，直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，且 E、F分别是AC、BC的中点.求： (1)AB边上的高所在直线的方程. 解：在△ABC中，A，B，C， 则直线AB的斜率为k＝＝， 于是得AB边上的高所在直线斜率为－2，其方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0， 所以AB边上的高所在直线的方程是2x＋y－8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)直线l的方程. 解：因直线l平行于AB，则直线l的斜率为，又边AC的中点E(0，)在直线l上， 于是得直线l的方程为y＝x＋，即x－2y＋5＝0， 所以直线l的方程为x－2y＋5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(17分)如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m.其中一条小路定为AC，另一条小路过点D， (1)如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？ 解：如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3).设点M的坐标为(x，0).因为AC⊥DM， 所以kAC·kDM＝－1. 所以＝－1.即x＝. 即当BM＝ m时，两条小路AC与DM相互垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在问题(1)的条件下，若再在花园里设计一条过M且 与AC平行的小路，怎样设计？ 解：设过M与AC平行的小路(直线)交AB于N，且设N点 坐标为(0，y)，则kAC＝kNM. 由(1)知M，所以＝，解得y＝，即当BM＝ m，BN＝ m时，小路MN与小路AC互相平行. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 2.3　两条直线的位置关系 返回 $