专题06 抛物线3大高频考点（期末真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06抛物线 ☆3大高频考点概览 考点01抛物线的概念及定义的应用 考点02抛物线的性质及应用 考点03抛物线的综合运用 目目 考点01 抛物线的概念及定义的应用 一、单选题 1.(24-25高二上·重庆长寿区·期末)若抛物线x2=4y上的点A到焦点F的距离为5，则点A的纵坐标为() A.1 B.4 C.5 25 D. 4 2.(24-25高二上重庆巴蜀中学教育集团期末)已知点P(-1,2)到抛物线：x2=2py(p>0)的准线的距离为5， 则该抛物线的焦点坐标为() A.(0,3) B.(0,-3) C.(4,0) D.(-40) 3.(24-25高二上·重庆北碚区·调研)抛物线4x2=-3y的准线方程为() A.x=3 16 B.y=3 16 C.x=I 3 D.y 3 4.(2425高二上重庆九龙坡区)若抛物线y:-2px（p>0)的焦点与椭圆女+上=1的一个焦点重合， 4 则该抛物线的准线方程为() A.x=2 B.x=-2 C.x=-1 D.x=I 5.(24-25高二上·重庆·期末)若抛物线C:y=mx2(m>0)过点(2,1)，则该抛物线的准线方程为() A.y=-1 B.y=-1 C.x=-1 16 D.x=1 16 二、填空题 6.(24-25高二上·重庆期末)若抛物线y2=4x与直线y=x相交于原点O和点P,抛物线的焦点为F,则 sin∠OPF的值为 7.(24-25高二上·重庆第一中学校期末)己知F是抛物线C:y2=6x的焦点，点P是C上一点，PF=8,则 PF的中点M到y轴的距离为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 抛物线的性质及应用 一、单选题 1.(24-25高二上重庆第八中学校·期末)已知直线1与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相交于M,N两 3 点，且∠MFN= 3π MN 线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d, 则 的最小值为() d A.2+V2 B.25 C.3 D.2√2 2.(24-25高二上重庆部分区期末)如图，已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，且 OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(3，-)，则P的值为() B.5 3 D. 4 C 5 5 二、多选题 3.(24-25高二上·重庆主城七校期末)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴交于点M,过点F的 直线I交抛物线C于A,B两点，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B,线段AB的中点为N,则下 列结论正确的是() A.线段AB长度的最小值为8 B.若Ax,),B(x2,y2),则yy2为定值-8 C.AN⊥AF D.若∠4MF=30°，则直线1倾斜角的正弦值为 3 4.(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校期末)直线：y=kx+1(k∈R)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点 F,若点O为坐标原点，1与C交于A、B两点，则() A.p=4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.△0AB重心纵坐标的最小值为 C.以线段AB为直径的圆被x轴截得的弦长最小值为2√3 D.若直线交准线于点D,且D-D,则4-9 5.(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团期末)己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上 运动，坐标原点为O.若引AF最小值为2，则下列说法正确的是() A.p=4 B.当点F为A0B的重心时，tan∠AFB=-3N6 23 C.当点F为AOB的垂心时，以AB为直径的圆与x=2有公共点 D.当A、B两点关于直线x+2y-6=0对称时，AOB与△AFB面积相等 6.(24-25高二上重庆九龙坡区)已知过抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上的动点，直线AF 与抛物线C的另一个交点为B,过点A作抛物线C的准线1的垂线，垂足为Q,N为圆M:x2+(y-4)=1上 的动点，则下列结论正确的是() A.AF+BF的最小值为4 B.AN+AQ的最小值为√17 c.24F+ 的设木值为号 D.存在两个A点，使得AM=AQ 三、填空题 7.(2425高二上·重庆西南大学附属中学校期末)抛物线y2=2px焦点为F,A,B为抛物线上两点，抛物线 在A,B处的切线交于点C,且AF=3,BF=2,则CF= 目目 考点03 抛物线的综合运用 一、解答题 1.(24-25高二上·重庆北碚区调研)已知0为坐标原点，抛物线C:y2=4x.过点(4,0)的直线1交C于A,B两 点，且OD⊥AB交AB于点D (1)当1的斜率为1时，求点D的坐标： (2)求0A.0B. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2.(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校期末)已知一动圆C与直线1：x+三=0相切且过定点F (1)求圆心C的轨迹方程： (2)A、B是C的轨迹上异于原点O的两点： (1)若OA.OB=-9,求AOB面积最小值； ()直线04、OB的倾斜角分别为8，与9，当日，+0，=名元时，试问：直线B是否过定点若是，求出定 3 点坐标；若不是，说明理由 令(2425高三上重庆部分区期末已知椭圆C:子+片1与抛物线D:y=4x共焦点F，且椭圆C的离心 率e= 2 (1)求椭圆C的方程： (2)过F的直线1与C交于AB两点， (i)在x轴上求一定点M,使得kMa+kwB=0恒成立； (ii)满足(i)中的定点M是否满足AMBF=AFBM恒成立？请说明理由， 4.(24-25高二上重庆第八中学校期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x,y,)是C上一点， |PF=2x。,且△OFP的面积为4. (1)求p的值； (2)设点P在第一象限，过点(-2，O)的直线交C于M,N两点，直线PM,PN分别与y轴相交于两点AB,求 线段AB的中点坐标. 5,Q425南上重肤第一学校已知双曲线E:。,口>0,6>0的左右焦点分别方 E(-2,0),F(2,0),过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H,若△HFF的面积为2. (1)求双曲线E的方程； (2)过F的一条直线交双曲线E的右支于A,B两点，若△ABF是直角三角形，判断哪一个角不可能是直角， 并求直线AB的方程 6.23-24高二下重庆巴蜀中学校期末)已知抛物线C:y=2pxp>0)与双曲线号-。-1在第一象限内的 33 交点M到原点的距离为√5 (1)求拋物线C的标准方程： (2)设直线1与抛物线C交于A、B两点，且直线MA、MB的倾斜角互补，求直线1的斜率. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(23-24高二上·重庆第八中学校期末)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,2),过点(0,1)作直线1与抛物线C 交于不同的两点A,B,过点A作x轴的垂线分别与直线OP,OB交于点M,N,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程： (2)证明：M为线段AW的中点. 8.(23-24高二上重庆部分区期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(2,4). (1)求抛物线C的标准方程及准线方程； (2)过焦点F的直线1与抛物线C相交于A,B两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求AB的 长 条件①：直线1的斜率为2： 条件②：线段AB的中点为Q3,2) 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分， 9.已知抛物线Γ：y2=4x的准线1交x轴于M,过P(-1,1)作斜率为k的直线交T于C,D,过Q(-1,-1)作 斜率为k的直线交下于E,G, (1)若抛物线的焦点F∈，判断直线1与以EG为直径的圆的位置关系，并证明； (2)若C,E,M三点共线， ①证明：k2-k为定值； ②求直线（与夹角O的余弦值的最小值. 专题06 抛物线 3大高频考点概览 考点01 抛物线的概念及定义的应用 考点02抛物线的性质及应用 考点03抛物线的综合运用 地 城 考点01 抛物线的概念及定义的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)若拋物线上的点到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（   ） A．1 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】代入焦半径公式，即可求解. 【详解】设点，所以，则. 故选：B 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标. 【详解】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为， 故选：A． 3．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把抛物线的方程化成标准方程，由抛物线标准方程直接求出准线方程. 【详解】因为. 所以抛物线是开口向下的抛物线，且. 所以抛物线的准线为：. 故选：B 4．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点求得抛物线的准线方程. 【详解】椭圆的焦点为， 抛物线（）开口向左，焦点为， 所以准线方程为. 故选：D. 5．(24-25高二上·重庆·期末)若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【详解】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A 二、填空题 6．(24-25高二上·重庆·期末)若抛物线与直线相交于原点O和点P，抛物线的焦点为F，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意求得抛物线的焦点坐标及，在中利用正弦定理即可求解. 【详解】联立方程组，解得或，故. 又F为抛物线的焦点，，，.    在中，由正弦定理可得：，. 故答案为：. 7．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)已知是抛物线的焦点，点是上一点，，则的中点到轴的距离为 . 【答案】4 【分析】根据焦半径公式可求出点的坐标，再得到的中点坐标，从而解出. 【详解】设，，,准线方程为, 所以，解得， 所以的中点横坐标为，即的中点到轴的距离为4. 故答案为：4. 地 城 考点02 抛物线的性质及应用 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 2．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用两点斜率公式、直线垂直的性质与直线的点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示列式即可得解. 【详解】设， 由于，故,故， 直线， 联立，消去，得， 故， 由于，则，因此， 故， 因此，解得 故选：A 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作准线的垂线，垂足为，，线段的中点为，则下列结论正确的是（    ） A．线段长度的最小值为 B．若，，则为定值 C． D．若，则直线倾斜角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】先求抛物线的焦点坐标，准线方程，设直线的方程为，联立方程组可得，，由此判断B，结合焦点弦公式求线段长度的最小值，判断A，证明判断C，结合条件求的坐标，结合两点斜率公式求直线倾斜角的正切值，再求其正弦值，判断D. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点的坐标为， 若直线的斜率为，直线的方程为， 此时直线与抛物线的交点为，与条件矛盾， 故直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消可得，， 方程的判别式， 由已知为方程的两个实根， 所以，，B错误； 所以， 当且仅当时等号成立， 所以当时，线段长度取最小值，最小值为；A正确； 由已知，， 所以点的坐标为，即， 所以，， 所以， 又，， 所以， 所以，C正确； 若，则直线的斜率为，点在第一象限， 所以，又， 所以， 所以，所以或（舍去）， 设直线倾斜角为，则， 所以， 所以直线倾斜角的正弦值为，D正确； 故选：ACD. 4．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)直线过抛物线的焦点，若点为坐标原点，与交于A、B两点，则（   ） A． B．重心纵坐标的最小值为 C．以线段为直径的圆被轴截得的弦长最小值为 D．若直线交准线于点D，且，则 【答案】BCD 【分析】根据直线经过定点即可求解焦点得判断A，联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据重心坐标公式即可求解B，根据圆的方程，即可，得，即可根据弦长公式求解C,根据向量的坐标关系，结合韦达定理，即可根据弦长公式求解D. 【详解】对于A，由于直线恒过定点,即抛物线焦点为，因此，故，A错误， 对于B,由可得设，联立得， 故，所以重心的纵坐标为，当且仅当等号成立，故B正确， 对于C,设中点为，则， 所以线段为直径的圆的方程为，即， 设该圆与轴的交点为，令，则，故，所以，当且仅当时等号成立，故C正确， 对于D，设，由可得， ，， 则，或（舍去），则，故D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上运动，坐标原点为O．若最小值为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．当点F为的重心时， C．当点F为的垂心时，以AB为直径的圆与有公共点 D．当A、B两点关于直线对称时，与面积相等 【答案】ACD 【分析】选项A，由焦半径，得到判定；选项B，由重心坐标公式得到，，结合正切计算即可；选项C，根据垂心性质得到点A，B关于x轴对称，设，借助数量积为0,求出，再验证位置关系即可；选项D，运用点差法，结合点关于直线对称即可解题. 【详解】选项A中，由，所以，则，故选项A对； 选项B中，为重心时，由重心坐标公式有，所以，所以， ，所以，故选项B错； 选项C中，为垂心时，，则点A，B关于x轴对称，设，则，所以，又，所以，则， 则以AB为直径的圆圆心为，半径为，则以AB为直径的圆与相交，故选项C对； 选项D中，设AB中点，则，相减得到，即， 因为A、B两点关于对称，所以，故，代回，故，AB中点坐标为，直线AB的方程为，即，过点，为中点． 所以与面积相等，选项D正确； 故选：ACD． 6．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知过抛物线：的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为圆：上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在两个点，使得 【答案】ACD 【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，，，结合二次函数，利用焦半径求解判断A；转化为，根据点与圆的位置关系及三点共线最短求解可判断B；根据及，进而由基本不等式求的最小值判断C；根据可得，求出线段的中垂线，利用判别式法判断该直线与抛物线的位置关系，即可判断D. 【详解】依题意可设，直线的方程为， 与抛物线方程联立可得， 因为，所以，， 所以，则， 当时，有最小值4，故A正确； 根据可得，    可确定的最小值为，故B错误； 由题意得，由于，故， ， 因为， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 若，根据可得，则点A在线段的中垂线上， 因为，所以的中点为，， 所以线段的中垂线为，即，联立， 得，其判别式， 所以线段的中垂线与抛物线有两个交点，故存在两个点，使得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题 7．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)抛物线焦点为，为抛物线上两点，抛物线在处的切线交于点，且，，则 . 【答案】 【分析】设出切线方程，联立与抛物线方程，根据判别式为0可得，进而得切线方程为，联立两切线方程得，即可结合焦半径公式以及两点距离公式化简求解. 【详解】设， 设处的切线方程为，与抛物线方程联立可得， 则，化简可得，故， 因此方程为，即， 同理可得， 则，解得， 由于， 所以 ,故 故答案为： 【点睛】关键点点睛：切点为的切线方程与抛物线方程联立，根据判别式为0得切线方程为. 地 城 考点03 抛物线的综合运用 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知为坐标原点，抛物线．过点的直线交于两点，且交于点． (1)当的斜率为1时，求点的坐标； (2)求． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据点斜式得到直线的方程，根据得到直线的方程，然后联立直线方程求交点即可； （2）设直线方程，联立直线和抛物线方程，然后利用韦达定理求数量积. 【详解】（1） 由题意得，的方程为． 又因为，所以的斜率为． 所以直线的方程为． 联立解得 点的坐标为． （2）设的方程为． 由得， 所以． 又． 所以． 2．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知一动圆与直线相切且过定点. (1)求圆心的轨迹方程； (2)、是的轨迹上异于原点的两点； （i）若，求面积最小值； （ii）直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）是，定点为. 【分析】（1）根据题设有，整理化简即可得轨迹方程； （2）（i）设，，联立抛物线，应用韦达定理及求参数，进而有直线恒过点，根据求最小值； （ii）法一：根据已知可得、，写出直线的方程，结合及差角正切公式得，代入直线整理求定点即可；法二：设直线的方程为：，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据两角和的正切公式再代入韦达定理式即可得到，则得其所过定点. 【详解】（1）设，由题意有，则； （2）（i）设，，联立抛物线有， 则，且，，则， 由，可得，即， 所以直线恒过点，则 ，当且仅当时取等号， 所以面积最小值为； （ii）法一：由题设且，联立，可得，同理， 所以，则, 由， 所以， 当时，， 所以直线过定点. 法二：由题，斜率必存在，设直线的方程为：， 联立，消有：， ，， ， 代入韦达定理式得， 直线的方程为：， 过定点． 【点睛】关键点点睛：第二问，二小问，根据已知写出直线关于已知参数的方程，结合求定点. 3．(24-25高二上·重庆部分区·期末)已知椭圆与抛物线共焦点，且椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与交于两点， （i）在轴上求一定点，使得恒成立； （ii）满足（i）中的定点是否满足恒成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）满足，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率及焦点求出椭圆方程； （2）（i）设直线方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系及斜率公式化简即可得解； （ii）根据定点的坐标，代入化简，可得出等式恒成立. 【详解】（1）由可知焦点，即， 又，所以，可得， 所以椭圆的方程为 （2）如图， （i）设直线的方程为， 联立得， ， ，，， ， ，， ，即时，存在定点，使恒成立. （ii）若 则，，， ，， 恒成立， 满足（i）中的定点满足恒成立. 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，且的面积为4． (1)求p的值； (2)设点P在第一象限，过点的直线交C于两点，直线分别与y轴相交于两点，求线段的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义表示，可得，，利用三角形面积可求的值. （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示两根和与积，表示直线方程，计算点纵坐标，求和可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，得， ∴，故， ∴的面积，解得． （2） 由（1）得，，. 设过点的直线方程为，， 由，得， 由，得或，且， ∵点，∴设直线的方程为， 令，得， ∴，同理， ∴， 故线段的中点坐标为 5．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为2. (1)求双曲线的方程； (2)过的一条直线交双曲线的右支于两点，若是直角三角形，判断哪一个角不可能是直角，并求直线的方程. 【答案】(1) (2)不可能是直角；当时，；当时，； 【分析】（1）由题意得到双曲线方程中的和渐近线方程及双曲线一条渐近线的垂线方程，联立方程组求得交点坐标，由坐标表示出的面积，从而建立方程解得双曲线方程中的，然后得到双曲线方程； （2）讨论直线是否存在，然后当斜率存在时设出直线方程，联立方程组，设交点坐标，利用向量垂直建立方程，解得对应，并验证是否属于对应区间，即可知道不可能是直角.再分别利用双曲线的定义和直角三角形三边关系，分别求出当，时，对应直线的直线方程. 【详解】（1）由题意可知，渐近线方程为， 则双曲线一条渐近线的垂线方程为：， 联立方程组得，解得，即， ∴， ∴，即， 又因为，∴， ∴双曲线. （2）当直线斜率不存在时，，则， 此时，显然此时是不是直角三角形， 当直线斜率存在时，设，， 联立方程组得：，整理得， 判别式， 设，则， 则，，， ， 即， 则，解得， 故不可能是直角. 当为直角时， 设，则，∵， 即，即，， 即，，， 故直线的方程： 由双曲线的对称性，同理可求当为直角时， 直线的方程： 【点睛】方法点睛，本题考查的是直线与双曲线的交点问题，综合性较强.验证平面内三点所成角是否为直角的问题可以借助向量垂直来完成.当我们知道角是直角，就可以借助直角三角形的三边关系求边长和夹角的正切值了. 6．(23-24高二下·重庆巴蜀中学校·期末)已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. (1)求拋物线的标准方程； (2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率. 【详解】（1） 设， 则，解得，即， 将代入抛物线，解得， 拋物线的标准方程为：. （2）由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为， 则直线的方程为， 则直线的方程为， 设点， 联立，得， 由韦达定理，， 即，同理， 故， 所以， 故， 综上所述，直线的斜率为. 7．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点． (1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)证明：为线段的中点． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线 (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线过点代入求出抛物线方程，再求焦点和准线即可； （2）设，由题意得到，再计算验证即可. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点为，准线为 （2）设， 因为过点作直线与抛物线交于不同的两点，直线斜率存在， 所以，即， 所以，则， 因为，所以，又由，得 则过点作轴的垂线为，直线，， 所以，， 所以， 所以， 又因为三点都在上，所以为线段的中点得证 8．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，准线方程为 (2)选择①、②， 【分析】（1）点M代入抛物线得p值，求得方程和准线. （2）选①：设直线与抛物线联立，利用焦点弦长公式求解；选②:由中点坐标公式求出，再利用焦点弦长公式求解. 【详解】（1）将代入抛物线,可得，所以，故抛物线的标准方程，准线方程为； （2）由（1）可得， 若选条件①：直线的斜率为，则直线的方程为，设，，，， 联立，整理可得：， 显然成立，且， 由抛物线的性质可得； 若选条件②：线段的中点为，设，，，， 则，，即， 因为直线过焦点的弦长， 所以弦长． 9．已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于． (1)若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明； (2)若三点共线， ①证明：为定值； ②求直线与夹角的余弦值的最小值． 【答案】(1)相切，证明见解析 (2)①； ② 【分析】（1）将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段的中点和长度，即可得以为直径的圆的方程，通过判断圆心与直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系； （2）①设，通过三点共线即斜率相等可得，再将其代入计算即可；②设直线的倾斜角分别为，，通过的关系代入消，通过直线和抛物线相交，利用判别式求出的范围，进而可得最值. 【详解】（1）直线与以为直径的圆相切，证明如下： 因为抛物线的焦点，则直线即为直线，又 故，整理得 联立，消去得， 则，， 所以， 且， 故以为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的圆心到直线的距离为， 故直线与以为直径的圆相切； （2）①设，又， 因为三点共线，所以， 即，整理得， 所以, 即为定值； ②设直线的倾斜角分别为， 则 由已知可得， 联立，消去得， 所以，解得，且， 当时，，此时最大，最小， 此时由，解得. 即直线与夹角的余弦值的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题关键是在解答第（2）①中设出点的坐标，将条件和目标式都坐标化，从而可以真正的通过计算得出结论. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $