专题05 双曲线4大高频考点（期末真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

专题05 双曲线 4大高频考点概览 考点01 双曲线的概念及性质 考点02双曲线的离心率问题 考点03双曲线的中点弦问题 考点04双曲线中的综合问题 地 城 考点01 双曲线的概念及性质 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为双曲线的标准方程，再结合渐近线公式，即可求出结果 【详解】双曲线的标准方程是.则.渐近线方程是. 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 3．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果. 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆的左焦点为， 所以双曲线的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线为. 故选：D 4．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出点的坐标，利用向量的坐标运算以及双曲线方程，建立方程组，可得答案. 【详解】由，则， 所以，设， 则， 由，，即， ，，，， ，点到轴的距离. 故选：D. 5．(23-24高二上·重庆·期末)若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若方程表示的曲线是双曲线，即或，等价于，从而得到m的取值范围。 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 所以，即或. 故选：D 二、多选题 6．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】易知当时，曲线为圆，即A正确，假设曲线为等轴双曲线，但方程无解，可得假设不成立，即B错误；再根据双曲线标准方程定义可判断C正确，又利用椭圆标准方程可得D正确. 【详解】对于A，易知当时，即时，曲线方程为， 也即，表示圆，即A正确； 对于B，若曲线可能为等轴双曲线可知，显然此方程无解， 因此曲线不可能为等轴双曲线，即B错误； 对于C，若，可知，方程可化为， 此时为焦点在轴上的双曲线，即C正确； 对于D，若，可得，且， 所以为焦点在轴上的椭圆，即D正确. 故选：ACD 7．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知曲线．则下列说法中正确的是（   ） A．若，则是单位圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆 C．若，则是平行于轴的两条直线 D．若，则是双曲线且渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】对于A：当时，，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的单位圆，故A正确； 对于B：当时，，，曲线：，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C：当，，曲线：或，表示平行于轴的两条直线，故C错误； 对于D：当时，，曲线：，表示焦点在轴上的双曲线，且其渐进性方程为：，故D正确. 故选：ABD 8．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知曲线．（   ） A．若，则E是一条直线 B．若，则E是圆，其半径为 C．若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D．若E的离心率是，则 【答案】ABC 【分析】选项A，B，C直接代入结合直线，圆和双曲线分析可判断，选项D根据离心率小于可知是椭圆，化为椭圆标准方程后结合的范围由可求解. 【详解】若时，E即，表示直线y轴，A正确； 若表示圆，其半径为，故B正确； 若表示双曲线，且焦点在y轴上，故C正确； 由题意，E是椭圆，则且 当时，，故，所以，解得， 当时，，故，所以，解得，故D错误． 故选：ABC． 9．(24-25高二上·重庆部分区·期末)已知双曲线，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的焦距为5 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线为 【答案】CD 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为， 所以A、B错误；C正确； 又由焦点在轴上，可知双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：CD. 10．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为P，下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．到C的渐近线的距离为2 D．的面积为4 【答案】ACD 【分析】根据圆的半径和圆心即可求解A，根据渐近线方程的求解即可判断B，根据点到直线的距离公式即可求解C，根据双曲线定义，结合垂直关系即可求解D. 【详解】由可得， 对于A，由于圆心为坐标原点，直径为，所以圆的方程为，A正确， 对于B，渐近线方程为，故B错误， 对于C, 到一条渐近线为的距离，所以C正确； 对于D，由题意可得，，又， ， 故的面积为，故D正确； 故选：ACD 11．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由相同渐近线的双曲线的特征即可得解. 【详解】由题可设双曲线的方程为，当时，对应的方程为， 而BD中的方程均不能化成“”这样的形式. 故选：AC. 三、填空题 12．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案. 【详解】设等轴双曲线方程为，一个焦点是，则，则. 故双曲线的标准方程是. 故答案为：. 13．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求出关系即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，，所以两条渐近线的方程为. 故答案为： 14．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 . 【答案】2 【分析】求出双曲线的左焦点的坐标及渐近线的方程，再借助点到直线距离求出答案. 【详解】由双曲线得，， ∴双曲线的渐近线方程为，即 ∴左焦点到双曲线的渐近线的距离为， 故答案为：2. 15．(23-24高二上·重庆七校·期末)若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双曲线焦点在x轴上有，求解即可得出参数m范围. 【详解】因方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有，解得， 故答案为：. 地 城 考点02 双曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知双曲线的通径为线段，到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，求出点的坐标，利用点到直线的距离公式以及题意可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 联立可得，即点， 双曲线的渐近线方程为，即， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意可得，即，可得， 故，故该双曲线的离心率为， 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图：，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的半径为，由条件结合双曲线的定义证明，结合双曲线定义及余弦定理列方程确定关系，由此可得结论. 【详解】设圆的半径为，则， 因为， 所以，由双曲线定义可得， 所以，故，，，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由已知， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D.    3．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即， 所以. 故选：D 4．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 5．(24-25高二上·重庆·期末)已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线和椭圆离心率求法可得，计算可得结果. 【详解】易知，， 由可得，解得； 所以. 故选：C 6．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，令，则，由双曲线定义及所给条件可得，得，再结合直线的斜率为，即可求解. 【详解】取的中点，连接，令，则，如图， 因点为双曲线左右两支上的点， 由双曲线定义得，， 则， 令双曲线的半焦距为， 直角中，， 直角中，， 则有，即， 因直线的斜率为，即，即， 于是有，则，解得， 因此双曲线的离心率. 故选：C. 二、多选题 7．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆与双曲线的离心率分别为，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且，I为的内心，三点共线，且，x轴上的点A，B满足，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．平分 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义及余弦定理求解判断AB；利用椭圆、双曲线定义，结合三角形内角平分线性质定理求解判断CD. 【详解】设，而椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由双曲线的定义，得，由椭圆的定义，得， 则，又， 由余弦定理得：， 即，整理得， 对于A，，即，A正确； 对于B，，即，B错误； 对于C，又平分，则，由，得， 则，C正确； 对于D，由为的内心，得为的角平分线，则，同理， 则，于是，即， 由，得，则，又三点共线， 即为的角平分线，又平分，则有， 而，则，即， 由，得，即，由选项B知，，D正确． 故选：ACD 【点睛】结论点睛：是的角平分线，则. 三、填空题 8．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据弦长得到圆心到渐近线的距离，然后利用点到直线的 列等式，整理得到离心率. 【详解】 设圆的圆心为，则，半径， 因为，所以圆心到渐近线的距离为， 由双曲线方程可得一条渐近线方程为，整理得， 则，整理得. 故答案为：. 9．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求. 【详解】， ，则， 即，， 又， ， . 故答案为：. 地 城 考点03 双曲线中点弦问题 一、单选题 1．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线得，根据已知结合韦达定理得，可得，即得答案. 【详解】将直线代入双曲线有，则， 由题设，易知，故，则渐近线为. 故选：A 二、多选题 2．(23-24高二上·重庆·期末)已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 【答案】AD 【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可. 【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故， 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错； 记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有， 对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错； 对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确． 故选：AD. 三、填空题 3．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【分析】设，通过点差法即可求解； 【详解】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1 四、解答题 4．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，其中或 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； （2）易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 5．(22-23高二上·重庆·期末)已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由双曲线的离心率可得，设出双曲线方程，代入已知点的坐标求解，则双曲线方程可求； （2）利用“点差法”求直线的斜率，然后结合的坐标可求出的方程． 【详解】（1）由，得，即， ∴， 设双曲线的方程为或， 把代入两个方程，得或， 解得（第二个方程无解）， ∴双曲线的标准方程为； （2）设，， ∵，都在双曲线上，∴，， 两式作差可得：，即， ∵为的中点，∴，， 可得， ∴直线的方程为，即， 联立，得， ，符合题意． ∴直线的方程为．    地 城 考点04 双曲线中的综合问题 一、多选题 1．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（    ） A．线段的最小值为 B．的内切圆与直线相切于点 C．当时，双曲线的离心率为 D．当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A，根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B，由题可得进而可判断C，根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D. 【详解】设双曲线的右焦点为，， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，则， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故A错误； 设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得 ， 因为，所以，所以与重合， 即的内切圆与直线AB相切于点，故B正确； 由题可知双曲线的渐近线为，，则， 由上可知，所以，所以，故C正确； 若关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，则其渐近线方程为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明出双曲线焦点弦中通径最短的结论. 二、填空题 2．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求得点坐标，结合双曲线定义，求得，在三角形中，使用两次余弦定理，求得满足的等量关系，即可求得结果. 【详解】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于, 连接，作图如下： 对，令，故可得，故点坐标为； 易知三角形与三角形全等，则， 由双曲线定义可得：，即，即； 在中，， 在中，由余弦定理得：； 则，整理化简可得：，， 也即，则， 解的，又，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用利用双曲线的定义与垂直平分线的性质求得，从而利用与中利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 3．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为且过点的直线与双曲线的右支交于两点，设内切圆的半径为的内切圆的半径为，则圆心的横坐标为 （填或），若，则双曲线离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】对于第一空，由双曲线的定义、平方关系以及以及切线长定理即可得解；对于第二空，由解直角三角形知识，得到结合以及离心率公式即可得解. 【详解】如图所示，    设，其中. 设.过分别作的垂线，垂足分别为R､S､T， 所以由切线长定理有， 则， 又因为，所以. 又，所以，同理可得. 所以在直线上，所以， 过作，直线倾斜角为， 由题可知， 所以， ， 所以，化简为， 所以，又因为，解得. 故答案为：，. 【点睛】关键点睛：第二空的关键是得到，由此结合已知条件即可顺利得解. 三、解答题 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知双曲线，按照如下方式依次构造点：直线与双曲线E的右支交于两点（在的上方），过且斜率为的直线与过且斜率为1的直线交于点，过点作平行于的直线． (1)求的取值范围； (2)判断是否共线，并说明理由； (3)证明：为定值． 【答案】(1) (2)共线，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）联立直线与双曲线，方程有两个正根即可；（2）先求出坐标，证明斜率为定值即可；（3）根据的制约关系，把相关线段都表示为的表达式即可. 【详解】（1）联立, 消去y并整理得，       因为该方程有两个正根，所以,          解得. （2）共线，理由如下： 因为直线的方程为， 因为，即.                直线的方程为， 因为，即.                  联立， 两式相加得，则，          因为， 易知，                         则都在直线上，所以共线. （3）证明：由题意，设，则.                 直线方程为，此时， 易知，.                ．           故，即为定值． 【点睛】关键点睛：本题第二问和第三问，关键在于把握与两点坐标之间的制约关系，然后通过灵活消元，进而解决问题. 5．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为． (1)求双曲的标准方程； (2)过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为． ①证明：为定值； ②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值． 【答案】(1)； (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）根据条件计算双曲线的，利用可求双曲线方程. （2）①联立直线与双曲线方程，借助韦达定理计算的值. ②联立直线与椭圆方程，借助韦达定理表示弦长，进而计算两弦长乘积的最大值. 【详解】（1）由题意得，. 设双曲线的标准方程为，半焦距为，则， ∴， 故双曲线的标准方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线方程为，， 由得，， ∴， ∴ ， 当直线斜率不存在时，，. 综上得，为定值，定值为. ②由题意得，直线方程为，设， 由得，， ∴， ∴，同理得，， ∴ ， 设，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴的最大值为，当且仅当取最大值. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理表示直线斜率或弦长，由此计算结果. 6．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为． (1)求双曲线的方程； (2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据和的最小值为可求出，则双曲线的方程可求； （2）设出直线和的方程，结合题目所给信息，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出中点的坐标，推出直线的方程，此时问题转化为点与点到直线的距离之比即可解决. 【详解】（1）由已知当直线与轴垂直时，，即①， 又的最小值为，即②， 所以由①②得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）得， 因为，所以， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立，消去并整理得 此时， 不妨设， 则， 此时，， 所以，同理得， 设直线的斜率为， 则 所以直线的方程为， 即 所有直线恒过点， 所以点与点到直线的距离之比为 所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 7．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解； （2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即， 所以双曲线的方程为：. （2）由题意可知，作出图形如图所示    设，由题可知， 联立， 所以， 点到直线的距离， 所以 ， 令，化简得：，解得：或， 所以或. 8．(23-24高二上·重庆·期末)已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8． (1)求双曲线的方程； (2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程为，联立求出交点坐标，从而求出围成的三角形面积为，当直线方程斜率不存在时，求出围成的三角形面积为，从而得到，，得到双曲线方程； （2）设直线，直线，并得到，联立方程，求出的坐标，从而求出，，从而得到为定值. 【详解】（1）由已知可设双曲线，其渐近线为，右顶点为， 设过右顶点的直线斜率为k，则或，直线方程为， 联立，解得， 联立，解得， 故直线与在第一、四象限的交点的纵坐标之差为， 围成三角形面积为， ∴当斜率不存在时，直线方程为， 将代入中，得到交点坐标为， 围成三角形的面积为， 故围成的三角形面积的最小值为， ∴，故双曲线的方程为； （2）设点，直线，则，且， 直线，则，所以， 联立，由， 故，所以， 故点， 联立得点， 同理联立得点， 联立得点， ∵， 而 ， 的定值为． 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 9．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程及求得，写出双曲线方程； （2）联立直线：与双曲线方程得韦达定理，由，用表示，将韦达定理代入后计算为定值； （3）将表示为的函数，分析单调性求范围. 【详解】（1）依题意，，渐近线方程． 所以，又因为，解得：， 所以双曲线的方程为. （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得：，设， 则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. （3）由（2）知，点，，， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 所以三角形的面积的取值范围. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 10．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据，分别表示出，，化简即得曲线C的方程； （2）根据题意，表示出，的直线方程，与曲线联立，表示出，两点坐标，求出直线方程，进而得到直线恒过定点. 【详解】（1）因为点，动点到直线l：的距离为d， 所以，又因为， 所以， 两边同时平方得， 整理得， 所以曲线C的方程. （2） 由（1）可得，, 设，因为，则，，， 将与联立，消去整理得， 所以，即，， 所以， 所以，，故， 将与联立，消去整理得， 所以，即，， 所以， 所以，， 所以， 当时，直线方程为，所以直线PQ过定点，定点坐标， 当时，两点分别为或，所以直线PQ过定点坐标， 所以直线PQ过定点，定点坐标为 【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法，一般有直接法，转移法以及交轨法．其中转移法适用于两个动点的情形，一个是已知曲线上的动点，另一个是所求动点，先通过条件用所求动点坐标表示已知动点坐标，再代入已知动点所在曲线方程，化简可得所求动点轨迹方程. 11．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点． (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可； （2）设直线l的方程，与双曲线方程联立，以双曲线的实半轴长和表示，两点坐标，根据恒为锐角，转化为，代入坐标计算，由关于m的不等式恒成立，求得a的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，，所以， 则的离心率， 又，所以的离心率的取值范围是. （2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为. 结合， 联立消去整理得， 设，由韦达定理得， 由于两点均在的右支上，故，即. 则 . 由恒为锐角，得对，均有， 即恒成立. 由于，因此不等号左边是关于的增函数， 所以只需时，成立即可，解得， 结合，可知的取值范围是. 综上所述，的实轴长的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．(23-24高二上·重庆·期末)设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为． (1)求的方程； (2)设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据条件得到方程，变形后得到轨迹方程，注意； （2）由对称性得到，不妨设点A，E在同一象限，设，则，得到方程组，求出求出直线l的斜率，求出方程. 【详解】（1）由题意得，设动点，则动点P不与点相同，即， ∴直线的斜率为，直线的斜率， 由题意得，即， ， 即动点P的轨迹的方程为：； （2）轨迹是以原点O为中心的双曲线， 轨迹、椭圆C、直线l都关于原点O中心对称，由，则， 不妨设点A，E在同一象限，则点E为OA的中点， 设点，则直线l的斜率为，， ，，即， ，即， 直线l的方程为． 13．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知双曲线的实轴长为2，且其渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)有，-9. 【分析】(1)首先分析题意利用双曲线方程性质，进行求解. (2)首先设出方程，进行方程联立求出，解出最后证明定值即可. 【详解】（1）若实轴长为2，则，易知渐近线方程为，，解得，可得双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为 其与的交点为 联立得 所以 因为所以 即 所以 所以 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线 4大高频考点概览 考点01 双曲线的概念及性质 考点02双曲线的离心率问题 考点03双曲线的中点弦问题 考点04双曲线中的综合问题 地 城 考点01 双曲线的概念及性质 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·重庆·期末)若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 7．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知曲线．则下列说法中正确的是（   ） A．若，则是单位圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆 C．若，则是平行于轴的两条直线 D．若，则是双曲线且渐近线方程为 8．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知曲线．（   ） A．若，则E是一条直线 B．若，则E是圆，其半径为 C．若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D．若E的离心率是，则 9．(24-25高二上·重庆部分区·期末)已知双曲线，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的焦距为5 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线为 10．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为P，下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．到C的渐近线的距离为2 D．的面积为4 11．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 ． 13．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为 ． 14．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 . 15．(23-24高二上·重庆七校·期末)若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 地 城 考点02 双曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知双曲线的通径为线段，到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图：，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·重庆·期末)已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆与双曲线的离心率分别为，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且，I为的内心，三点共线，且，x轴上的点A，B满足，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．平分 D． 三、填空题 8．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 9．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 地 城 考点03 双曲线中点弦问题 一、单选题 1．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(23-24高二上·重庆·期末)已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 三、填空题 3．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 四、解答题 4．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 5．(22-23高二上·重庆·期末)已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程． 地 城 考点04 双曲线中的综合问题 一、多选题 1．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（    ） A．线段的最小值为 B．的内切圆与直线相切于点 C．当时，双曲线的离心率为 D．当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 二、填空题 2．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为 . 3．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为且过点的直线与双曲线的右支交于两点，设内切圆的半径为的内切圆的半径为，则圆心的横坐标为 （填或），若，则双曲线离心率的最小值为 . 三、解答题 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知双曲线，按照如下方式依次构造点：直线与双曲线E的右支交于两点（在的上方），过且斜率为的直线与过且斜率为1的直线交于点，过点作平行于的直线． (1)求的取值范围； (2)判断是否共线，并说明理由； (3)证明：为定值． 5．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为． (1)求双曲的标准方程； (2)过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为． ①证明：为定值； ②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值． 6．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为． (1)求双曲线的方程； (2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值． 7．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值. 8．(23-24高二上·重庆·期末)已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8． (1)求双曲线的方程； (2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值． 9．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 10．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标. 11．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点． (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围． 12．(23-24高二上·重庆·期末)设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为． (1)求的方程； (2)设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程． 13．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知双曲线的实轴长为2，且其渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $