精品解析：天津市第二南开学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

数学试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法和对数函数定义域，求出集合，根据集合交集的运算方法，求出结果. 【详解】已知，解得，所以， 已知，定义域，解得，所以， 可得. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断即得. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是，. 故选：D 3. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由，推不出，排除AB； 由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C； ，反之不成立，D正确； 故选：D． 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，则或与相交，故C错误； D. 若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 5. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：易知为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A正确； B选项：记，则，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：记，则，故D错误. 故选：A 6. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 7. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 9. 中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球时，正四面体棱长最长，正四面体补成正方体，即可得解． 【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大， 则该球半径，如图： 设正四面体的棱长为， 则正方体的棱长为， 则该正方体的体对角线长为，解得， 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2.本卷共11题，共105分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 11. 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知都为正实数，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，由基本不等式得，再代入原式得，判断相等条件后即可得最小值. 【详解】，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为. 故答案为： 【点睛】解答本题的关键在于分别利用两次基本不等式，根据“一正二定三相等”的原则判断最小值. 13. 正项数列满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由数列的通项与求和公式的关系求得，然后求得，最后利用裂项相消法求和化简即可求解. 【详解】正项数列满足， 可得， 两式相减得，可得， 当时，，适合上式. 所以，所以， 所以 . 故答案为： 14. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 15. 已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导函数得到在上的单调性和最值，根据函数有6个零点得到和时分别有4和2个零点，然后列不等式求解即可. 【详解】解：当，， 由可得，由可得， 故可得在单调递减，在单调递增， 故在有最小值， 又因为当时，， 由函数有6个零点，故可得两段函数分别存在4和2个零点. 若存在四个零点，此时需满足：， 若存在实数，使得函数有6个零点，此时有两种情况： ①：； ②：， 综上： 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点个数问题： ①转化为方程的根的个数问题； ②转化为函数图象与轴交点个数问题； ③转化为两个函数图象交点个数问题. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简即可。 （2）余弦定理求出的值即可. 【小问1详解】 由题可知， 所以， 即， 又因为 所以. 【小问2详解】 由余弦定理且，， 得. 所以. 17. 已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 又， 所以 【小问2详解】 因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 【小问3详解】 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 18. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，求出平面法向量即可证明；法二：构造平行四边形然后结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由二面角的公式代入计算，即可得到结果； （3）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：法一：如图，平面，，可得平面， 由，可得，则直线，，两两垂直， 以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 由题意可得，，，，，． 由平面，取平面的一个法向量为，由， 可得， 又平面，所以平面． 法二：取中点，连接，，由是的中点，可得，而， 则，又，于是四边形是平行四边形． 所以， 又平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）可得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设平面与平面的夹角为， 因此． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为， 且， 则点到平面的距离为． 19. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求等差数列的公差，进而得到数列的通项公式；构造数列，判断其为等比数列，利用等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法可求数列奇数项的项和，利用等比数列的求和公式可求数列偶数项的项和，再相加即可. 【小问1详解】 对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为. ， 所以 . 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. 【小问1详解】 ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. 【小问3详解】 由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. C. 6 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2.本卷共11题，共105分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 11. 若在上不单调，则实数取值范围是_________________． 12. 已知都为正实数，则的最小值为___________． 13. 正项数列满足，则_________. 14. 在平面四边形中，，，向量在向量上投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 15. 已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数取值范围是________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 17. 已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）证明： 18. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $