精品解析：辽宁省鞍山市海城四中集团 2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

海城四中集团2025-2026学年度 （上） 九年级期中考试数学试题 （本试卷共23 小题 满分120分考试时长1 20分钟） 注意事项：1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意， B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意， C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意， D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 4. 抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.根据规律写出解析式对照选项即可. 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，根据“左加右减”，将x替换为得到 再向下平移2个单位长度，根据“上加下减”，在函数整体后减2，最终得到解析式 故选A. 5. 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ） A. 3 cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案． 【详解】连接OA， ∵OC⊥AB， ∴AC=AB=3cm， ∴OC==4． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 等弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系作答即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，本选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意； C、等弧所对的弦相等，本选项符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多系农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7-9月的农业产业链的月平均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用．从7月到9月经过两个月增长，根据复合增长公式即可列出方程． 【详解】解：设月平均增长率为， 则8月产业链条数为， 9月产业链条数为． ∵计划9月增长至125条， ∴． 故选：D． 8. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数． 【详解】解：如图，设AD与BC交于点F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 9. 如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为2，则弦的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，作于点，先根据垂径定理证明垂直平分，则经过点，再根据等腰三角形的“三线合一”证明，则是等边三角形，由，得，则，求出和的长，即可根据勾股定理求得，则． 【详解】连接、、，作于点，则， ， ， 垂直平分， 为弦的中点， ，经过点， ， ， ， ∴是等边三角形， 于点， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题重点考查垂径定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10. 二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ） A. ②③④ B. ②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 二 、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数与轴交点个数由决定：抛物线与轴有个交点；抛物线与轴有个交点；抛物线与轴没有交点．据此解答即可． 【详解】解：∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是_______（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而增大，和点关于对称轴对称， ∵， ∴． 故答案为： 13. 如图，在⊙O中，，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得AB=AC，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求解． 【详解】解：， AB=AC， ∠B=∠C， ， ； 故答案为70°． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 14. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°． 【答案】45 【解析】 【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到的度数，再由∠AOC=105°，计算得到的度数，最后由三角形外角和得到的度数，即可知道的度数． 【详解】解：∵是由绕点O顺时针旋转40°后得到的图形 ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为：45 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是解题的重点． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出关于点的对称图形 （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，并直接写出的坐标____________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 由作图可得，的坐标为． 故答案为：． 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换是解题的关键． （1）依据中心对称的性质，即可画出关于点的对称图形； （2）依据点为旋转中心，将顺时针旋转，即可画出，再结合图形写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求y的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （3）根据对称轴为直线，得出时，取得最大值，当时取得最小值，即可求得当时，的取值范围 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 对称轴为直线，二次函数图象与轴的另一个交点为， ∵， ∴在，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∴当时，的取值范围为． 19. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可； （2）设与交于点F，利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求得和的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得和的长度，最后利用勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点F，如图， 为的直径， ，， ，， ， ，， 过点C作于点H，则， ， ， ， ， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ． 答：的长为． 20. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 【答案】（1） （2）当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 （3）每周至少可获得3000元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴． ∴． ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； 【小问3详解】 解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 21. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 22. 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）四边形BE'FE的形状是______； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 【答案】（1）正方形 （2）CF＝FE' （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形； （2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论； （3）过点D作DG⊥AE于点G，由旋转及四边形BE′FE是正方形可得如下关系：AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（1）可知，△ADG≌△BAE，得到DG＝BE，AG＝BE，再由勾股定理求出DE的长． 【小问1详解】 四边形BE′FE是正方形． 理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， 由旋转得，BE′＝BE， ∴四边形BE′FE是正方形． 【小问2详解】 CF＝FE'， 证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°， ∵DA＝DE， ∴AG＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠ADG＝∠BAE， 在△ADG和△BAE中 ， ∴△ADG≌△BAE（AAS）， ∴AG＝BE； ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝FE′， ∴AG＝FE′， 由旋转得，AE＝CE′， ∴AE＝CE′， ∴FE′＝AE＝CE′， ∴CF＝FE'． 【小问3详解】 如图3，过点D作DG⊥AE于点G， ∵BE＝FE′，CF＝3， ∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3， ∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝， ∴(BE+3)2+BE2＝()2， 解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴AE＝9+3＝12， 由（2）得，△ADG≌△BAE， ∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9， ∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3， ∵∠DGE＝90°， ∴DE＝＝＝． 【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）略 （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城四中集团2025-2026学年度 （上） 九年级期中考试数学试题 （本试卷共23 小题 满分120分考试时长1 20分钟） 注意事项：1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 4. 抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ） A. 3 cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 等弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等 7. 近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多系农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7-9月的农业产业链的月平均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 9. 如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为2，则弦的长是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ） A. ②③④ B. ②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 二 、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数与轴只有一个交点，则________． 12. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是_______（用“”连接） 13. 如图，在⊙O中，，，则的度数为_________． 14. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出关于点的对称图形 （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，并直接写出的坐标____________． 18. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求y的取值范围． 19. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 20. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 21. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 22. 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）四边形BE'FE的形状是______； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $