题型03 力与曲线运动（题型专练）（山东专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

题型03 力与曲线运动 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 平抛运动 考向02 斜抛运动【重难】 考向03 水平面内的圆周运动 考向04 竖直面内的圆周运动【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 力与曲线运动是高中物理从直线运动向复杂运动形式拓展的关键内容，也是高考物理的核心考点之一，尤其平抛与圆周运动几乎每年必考，常以选择题、实验题或综合计算题形式出现。该部分不仅是牛顿运动定律在曲线情境下的直接应用，更是理解天体运动、带电粒子在电磁场中运动等重要内容的基础，具有承上启下的桥梁作用。 高考命题常围绕平抛运动的规律应用、斜抛的对称性分析、水平面内圆周运动的向心力来源、竖直面内圆周运动的临界条件等模型展开。试题强调运动的合成与分解、向心力方程建立、临界状态分析等方法，并常与能量、动量等内容结合，考查综合建模能力。 学生主要误区在于：对合运动与分运动的关系理解不清，向心力分析时“添力”或“漏力”，忽视竖直圆周中最高点与最低点的受力临界条件，以及将实际问题转化为运动模型的能力不足。因此，强化运动分解思想与受力分析的系统训练是突破此题型的关键。 考向01 平抛运动 【例1-1】（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有，联立解得故选B。 【例1-2】（2025·浙江·一模）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．运动员在a处的速度大小 B．在空中飞行的时间 C．运动员在空中离坡面的最大距离 D．运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻 【答案】C 【详解】A．运动员水平飞出后做平抛运动，水平方向位移 竖直方向位移其中，竖直方向由自由落体运动规律代入，解得水平方向，则，A正确； B．由竖直方向位移公式解得，B正确； C．将运动分解为垂直斜坡方向和沿斜坡方向，垂直斜坡方向初速度加速度最大距离时垂直方向速度为0，时间垂直方向位移，C错误； D．由垂直斜坡方向速度减为零时距离最大，时间，D正确；故选C。 1．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 2．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 3.与斜面相关的几种的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 4.与斜面相关平抛运动的处理方法 (1)分解速度 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。 (2)分解位移 平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。 (3)分解加速度 平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。 【变式1-1】（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【详解】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 【变式1-2】（2025·四川遂宁·一模）如图所示，在一个倾角37°的长斜面底端O点正上方的P点处将一小球以速度v0水平抛出，恰好垂直击中斜面上的Q点，取，重力加速度的大小。下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度 B．Q点离O点的距离 C．保持h不变，将小球以2v0的速度水平抛出，则击中斜面的位置到O点的距离等于 D．若抛出点高度变为2h，欲使小球仍能垂直击中斜面，小球的初速度应调整为 【答案】D 【详解】A．如图甲所示 小球垂直击中斜面时，速度的偏向角为53°，根据平抛运动规律的推论可知，速度偏向角的正切值 可得 因为 小球在空中运动的时间 初速度，故A错误； B．几何关系可知，故B错误； C．保持抛出点高度不变，初速度大小变为原来的两倍，如图乙所示 若无斜面，则小球应击中点，实际击中点为轨迹与斜面的交点，显然离底端O的距离小于2|QO|，故C错误； D．若抛出点高度变为2h，根据小球垂直击中斜面的规律知 根据A项的分析，可得 小球在空中运动的时间 则小球平抛运动初速度，故D正确。 故选D。 考向02 斜抛运动 【例2-1】（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】网球水平方向上做匀速直线运动，有设球网高度为h，则对斜向下发出的球，有对斜向上发出的球，有联立以上各式，可得 故选C。 【例2-2】（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有，将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有，垂直方向根据对称性可得重物运动时间为重物离PQ连线的最远距离为故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为则落地速度与水平方向夹角正切值为可得故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为则从最高点到落地所用时间为轨迹最高点与落点的高度差为故D正确。故选BD。 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 【变式2-1】（2025·四川·一模）如图所示，喷水池中央立柱的上端处有两个喷水口，分别以速度、沿水平方向、斜向上方喷水，两水柱均垂直落在倾角为的斜面上。若斜向上方喷出的水柱的最高点与点连线与斜面平行，且大小为，取，忽略空气阻力。则（　　） A．中央立柱的高度为 B．的大小为 C．的方向与水平方向夹角的正切值为 D．斜向上方喷出的水柱从喷出至落到斜面上的时间为 【答案】D 【详解】A．对平抛，根据几何关系可知水平位移为竖直方向有水柱垂直落在倾角为的斜面上，可知速度偏转角为，有又联立解得，可得中央立柱的高度为，故A错误； C．对斜抛，设的方向与水平方向夹角为，斜向上方喷出的水柱的最高点与点连线与斜面平行，将斜抛至最高点看成是从最高点向左平抛，可得 可得，故C错误； BD．水柱垂直落在倾角为的斜面上，则此时速度的竖直分量为位移关系有设运动时间为，有联立解得，故B错误，D正确。故选D。 【变式2-2】（多选）（2025·湖南湘潭·模拟预测）玩具双筒发射器可以从双筒沿不同方向发射小球，如图所示，时刻同时从O点发射两小球A和B，A球以初速度与水平方向成角斜向上射出，B球以相同速率沿相同角度斜向下射出。忽略空气阻力，重力加速度为g。则A、B两球在空中同一竖直平面内运动时，下列说法正确的是（　　） A．A、B两球间的距离跟时间成正比 B．A球运动到最高点时，两球间的距离等于B球在该时间内竖直下落的距离的1.5倍 C．A球运动到最高点时，B球的速度大小为 D．A球运动到最高点时，B球到O点的距离为 【答案】AC 【详解】A．A、B两球在水平方向均做匀速直线运动，分速度大小均为，所以两球落地前始终在同一竖直线上。取向上为正方向，有则两球间的距离为，故A正确； B．当A球到达最高点时，竖直速度满足解得此时两球间的距离为，B球在该时间内竖直下落的距离为联立解得，故B错误； C．当时，则，故C正确； D．在时间内，B球运动的水平位移大小为此时B到O点的距离为，故D错误。故选AC。 考向03 水平面内的圆周运动 【例3-1】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有由于则有转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有联立解得故选C。 【例3-2】（2025·河北衡水·三模）某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴转动。转盘上放置两个物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度缓慢增大。整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为、，物块A、B的质量均为，与转盘间的动摩擦因数均为，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．当转盘的角速度大于时，绳子才会产生拉力 B．当两物块都将要相对转盘滑动时，转盘的角速度为 C．当两物块都将要相对转盘滑动时，绳子的拉力大小为 D．当转盘的角速度等于时，物块A受到指向圆心方向的摩擦力 【答案】B 【详解】A．根据向心力公式可知A、B两物块向心力大小分别为、，故物块B先达到最大静摩擦力，绳子将产生拉力，则有得，A错误； BC．当物块A也达到最大静摩擦力时，对B有对A有得，C错误，B正确； D．当转盘的角速度等于时，对B有此时即此时A不受摩擦力，D错误。故选B。 1．圆周运动动力学分析过程： 2．圆周运动基础模型 运动模型 向心力的来源示意图 运动模型 向心力的来源示意图 飞机水平转弯 飞车走壁 圆锥摆 火车转弯 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 3.水平面内的圆盘临界模型 ①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件： ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条 ①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出； AB相对圆盘滑动的临界条件 临界条件： ①，； ②， 临界条件： ① ② 【变式3-1】（多选）（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面内做匀速圆周运动，缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ） A．线速度 B．角速度 C．向心加速度 D．向心力 【答案】BD 【详解】CD．设绳子与竖直方向夹角为θ，小球质量为m，绳长为，对小球受力分析有 可得由题图可看出小球从A高度到B高度，增大，则有，，故C错误，D正确； AB．根据几何关系，可得小球做匀速圆周运动的半径为根据牛顿第二定律有可得，可得，，故A错误，B正确。故选BD。 【变式3-2】（多选）（2025高三下·河北·学业考试）如图所示，在游乐场中的“磨盘”娱乐设施中，人就地坐在转动的水平大圆盘上，当大圆盘转速增加时，人就会自动滑向盘边缘，为了增加转动时的稳定性，两位小朋友a和c（均可视为质点）分居圆盘圆心两侧，分别抓住经过圆心且刚好拉直的水平轻绳的一端。a的质量为3m，c的质量为m，a、c与圆心间的距离分别为、。小朋友a、c与盘间的动摩擦因数均为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。圆盘从静止开始绕经过圆心的竖直转轴缓慢地加速旋转（先有摩擦力后有绳子的拉力），小朋友和圆盘始终保持相对静止，当圆盘转速稳定，且两小朋友与盘间摩擦力均达到最大静摩擦力时，轻绳上的拉力大小可能为（　　） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】BD 【详解】由题可知，当圆盘的角速度较小时，和随圆盘转动的向心力较小，对分析可知解得对分析可知解得故，当角速度缓慢增加时，先达到最大静摩擦。当圆盘的角速度较小时，对受力分析有，对受力分析有解得，当圆盘的角速度较大时，对受力分析有，对受力分析有解得，，故BD符合题意 ，AC不符合题意。故选BD。 考向04 竖直面内的圆周运动 【例4-1】（2025·湖南郴州·一模）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点平滑相接，导轨半径为。一个可视为质点的物体质量为，将弹簧压缩至A点后静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后滑上半圆形导轨，运动到D点时恰好脱离轨道，已知O、D连线和竖直方向O、C连线夹角为，g取，下列说法中正确的是（　　） A．小球在D点时的速度为 B．弹簧释放出来的弹性势能大小为100J C．D点到物体落地点的水平距离为 D．为使物体能从C点飞出，物体到达B处时速度至少为10m/s 【答案】C 【详解】A．运动到D点时恰好脱离轨道，根据牛顿第二定律，有 解得，故A错误； B．从A到D，根据能量守恒，有 解得弹簧释放出来的弹性势能大小为，故B错误； C．在D点将速度分解，在竖直方向，有 在水平方向，有 竖直向上运动的时间为 竖直向上运动的高度为 从最高点到水平面的高度为 从最高点落到地面的时间为 D点到物体落地点的水平距离为，故C正确； D．从B到C，根据动能定理，有 为使物体能从C点飞出，则有 联立解得物体到达B处时速度至少为，故D错误。 故选C。 【例4-2】（2025·湖北武汉·三模）如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（    ） A．小球不可能回到A点 B．小球对细管的作用力不可能为零 C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大 D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大 【答案】D 【详解】A．因不计摩擦阻力，则小球无机械能损失，到达A点时速度为零，小球可回到A点，故A错误； B．小球下滑在AB段时，若满足（为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角） 时对细管的作用力为零，故B错误； CD．由上述分析，小球从A点运动到C点，在AB之间存在一个压力为零的位置，可知从A点运动到C点小球对细管的作用力先减小后增大，故C错误，D正确。 故选D。 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg 模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0 【变式4-1】（多选）（2025·甘肃白银·一模）有一质量m=2kg的物块在水平外力F作用下，从A点由静止开始向右运动，物块与水平面之间的动摩擦因数μ=0.3，A右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道，圆弧轨道的最低点为B，圆心为O，C为圆弧轨道最高点且OC与水平方向夹角30°。物块在到达B点之前已撤去外力F。经过B点时物块对圆弧轨道的压力是物块重力的5倍，已知AB间距离x=4m，圆弧的半径R=0.4m，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物块在B点时的速度大小为3m/s B．外力F对物块做的功为40J C．物块在C点受到的弹力大小为20N D．物块落回水平地面时与B点的水平距离为 【答案】BD 【详解】A．对物块在B点时进行受力分析，根据牛顿第二定律有 其中，解得物块在B点时的速度大小为，故A错误； B．物块由A点运动至B点过程中，根据动能定理有 代入数据解得外力F对物块做的功为，故B正确； C．物块由B点到C点过程，根据动能定理有 代入数据解得物块在C点的速度大小为 在C点根据牛顿第二定律有 代入数据解得物块在C点受到的弹力大小为，故C错误； D．物块在C点斜向上抛出，之后将做斜抛运动。水平方向分速度为 竖直方向分速度为 由分析可知竖直方向物块以做竖直上抛运动，设落到地面的时间为，则有 代入数据解得（舍掉）， 故水平方向物块匀速直线运动的位移为 所以物块落回水平面时与B点的水平距离为，故D正确。 故选BD。 【变式4-2】（多选）（2025·湖北十堰·模拟预测）如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组成，摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴连接，整个机械装置放置在上表面水平的压力传感器上，底座内部的电机可以驱动摆锤在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，底座始终保持静止。已知摆锤的质量为，底座的质量为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．若摆锤的速率为，则摆锤运动到最高点时，压力传感器的示数等于 B．摆锤运动到最低点时，压力传感器的示数可能小于 C．当摆锤重心与点等高且在点右侧时，直杆对摆锤的弹力指向点 D．当摆锤重心与点等高且在点右侧时，底座所受摩擦力水平向左 【答案】AD 【详解】A．若摆锤的速率为，摆锤运动到最高点时，直杆上无弹力，而底座保持静止，压力传感器的示数等于，故A正确； B．摆锤运动到最低点时，摆锤处于超重状态，压力传感器的示数一定大于，故B错误； CD．当摆锤重心与点等高且在点右侧时，直杆对摆锤弹力的竖直分量与摆锤的重力平衡，水平分力提供向心力，直杆对重锤的弹力斜向左上，直杆对底座的弹力斜向右下，而底座保持静止，所以底座所受摩擦力水平向左，故C错误D正确。故选AD。 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误； CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 故选D。 2．（2025·浙江台州·一模）跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．运动员做平抛运动，运动时间满足解得由于运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间，故A错误； B．平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据 结合上述分析可知，故B错误； C．如图所示 当竖直位移为时，通过比较此时二者的水平位移，根据可知落在斜面上的N点对应的平抛的初速度较大，运动员落在平台下方的斜面上的M时速度为落在平台下方的斜面上的N时速度为因此，故C错误； D．如图，连接P点到落点构造斜面 根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有，由于则有即，故D正确。故选D。 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有解得根据几何关系，可得对应的水平位移为在水平方向上，根据解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有在水平方向上有解得，故D错误。故选B。 4．（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，倾角的光滑斜面上有一光滑轨道，它是由长为的直轨道和半径为的圆弧轨道平滑连接而成。已知斜面边缘的点与点等高，，，是的中点。一小球以某一初速度发射后沿轨道运动，下列说法正确的是（　　） A．若，小球一定会从边离开斜面 B．若，小球一定会从边离开斜面 C．若，小球可能会从边离开斜面 D．若，小球可能会从边离开斜面 【答案】C 【详解】A．若小球恰能通过C点解得从A到C机械能守恒解得若，小球通过C点后做类平抛运动，也有可能是从DF边离开斜面，故A错误； B．若，小球到达C点以前就离开轨道做类斜抛运动，也有可能是从FG边离开斜面，故B错误； C．设小球通过C点后做类平抛运动恰能通过F点，解得机械能守恒解得若，小球可能会从DE边离开斜面，故C正确； D．若，小球一定会从FG边离开斜面，不可能从EF边离开，故D错误。故选C。 5．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图所示，一只松鼠需要从树枝越过前方的树干，松鼠从树枝上起跳时的初速度大小为、方向与水平方向的夹角为，运动轨迹恰好经过树干左侧的A点，且最高点位于B点的正上方。已知松鼠起跳处与AB间的高度为h，松鼠起跳的位置和树干间的距离与树干AB的宽度相等，重力加速度为g，不计空气阻力，松鼠可视为质点。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设松鼠从起跳到经过A点这一过程的时间为，有， 到B点正上方这一过程的时间为，有，解得故选C。 6．（2025·浙江杭州·一模）图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为的细线系着质量为的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度，在小球离地高为、速度为时烧断细线，已知重力加速度为，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为 B．从烧断细线到落地，小球位移为 C．烧断细线前，小球的向心力与成正比 D．烧断细线前，细线对小球的拉力与成正比 【答案】D 【详解】A．烧断细线后，小球做平抛运动，由运动学知识有，联立解得设小球做圆周运动时绳子与竖直方向的角度为，则圆周运动的半径为则小球落地点到杆的距离为，A错误； B．从烧断细线到落地，小球位移为，B错误； C．烧断细线前，小球做圆周运动，由牛顿第二定律有可见向心力大小与角速度和绳子与竖直方向的夹角有关，C错误； D．对小球受力分析，由牛顿第二定律有即可见烧断细线前，细线对小球的拉力与成正比，D正确。故选D。 7．（2025·山东·模拟预测）如图所示，半径为的玩具转盘在转盘中心点固定了一竖直杆，质量为的小球用轻绳和轻杆一起连接在竖直杆上，轻绳与竖直杆上的点相连，轻杆用铰链连接在竖直杆上的点（可绕点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳与竖直方向夹角，轻杆与竖直方向夹角，，，不计摩擦阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当绳上恰好无弹力时，小球的角速度 B．当小球角速度时，杆上弹力 C．当上恰好无弹力时，小球角速度 D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度，小球不会触碰到圆盘 【答案】A 【详解】A．当轻绳上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿杆方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有 解得此时小球的角速度为，故A正确； B．设轻绳AC的弹力为，轻杆BC的弹力为，当小球的角速度时，小球的受力如图所示： 则竖直方向有水平方向有联立解得，，故B错误； C．当上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿绳方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有 解得此时小球的角速度为，故C错误； D．假设小球脱离前，轻杆和细绳对小球都有力的作用，小球脱离后做平抛运动，且恰好没有碰到圆盘，则由平抛运动的性质可知，在竖直方向有在水平方向有联立解得小球平抛运动的初速度为则圆盘转动的角速度为故假设成立，所以小球在转动过程中忽然脱离，若小球不能碰到圆盘，则圆盘转动的角速度的取值范围为，故D错误。故选A。 8．（2025·广东·模拟预测）端午节期间，全国多地都举行赛龙舟比赛，吸引游客前来观看，其中叠滘的龙舟漂移技术让大家为之惊叹。如图所示，甲、乙两龙舟正并排以恒定的速率过同一圆形弯道，已知甲、乙两龙舟的质量关系为，下列说法正确的是（　　） A．水对龙舟的作用力与龙舟的运动方向垂直，指向圆形弯道的圆心 B．若甲、乙转弯时速率相同，则甲所需的向心力更大 C．当转弯时的速度增大时，舵手身体向内侧倾斜的程度应增大 D．若甲、乙以相同的角速度转弯时，甲更容易发生漂移 【答案】C 【详解】A．水对龙舟的作用力的竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力，故水对龙舟的作用力与龙舟的运动方向垂直但不指向圆形弯道的圆心，故A错误； B．根据向心力可知转弯速率一样，甲的质量小，甲的半径小，所以无法比较甲、乙的向心力大小，故B错误； C．由可知R一定时，v越大，越大，舵手身体向内侧倾斜程度越大,可以额外提供一部分向心力，故C正确； D．由可知转弯角速度相同，乙的质量大，乙的半径大，故所需向心力大，更容易发生漂移，故D错误。故选C。 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）蛙式打夯机是一种结构简单、操作方便的夯实机械。如图所示，蛙式打夯机主要由偏心轮（飞轮和偏心块组成）、电动机和夯体三部分组成。飞轮和夯体总质量为M，偏心块质量为m，偏心块的重心到轮轴的距离为R，重力加速度为g。在电动机带动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的偏心块转到顶端时，夯体刚好对地面无压力。下列说法正确的是（　　） A．电动机轮轴与偏心块转动角速度相同 B．偏心块转到最低时对地面的压力等于 C．偏心轮转动的角速度为 D．偏心块转到最低时处于失重状态 【答案】C 【详解】A．电动机轮轴与皮带轮通过皮带传动，线速度相等，根据电动机轮轴与皮带轮半径不同，皮带轮与偏心轮同轴转动角速度相同，故电动机轮轴与偏心轮转动角速度不相同，故A错误； C．当偏心轮上的偏心块转到顶端时，夯体刚好对地面无压力，有对偏心块有解得偏心轮转动的角速度为，故C正确； BD．在最低点，打夯机对地面压力最大，对偏心块有对打夯机有解得根据牛顿第三定律可知，打夯机对地面压力的最大值大于，处于超重状态，故BD错误。故选C。 10．（2025·宁夏吴忠·三模）如图所示，一半圆槽固定在水平面上，小球从半圆槽的左侧端点斜抛出去，能够垂直打到弧面上的P点。已知半圆槽的半径。，P点距圆心O的水平距离，重力加速度g取。对于小球从抛出到打到弧面这段过程分析可知（　　） A．小球的运动时间为3s B．小球的水平分速度大小为 C．小球的末速度大小为 D．小球的轨迹最高点距圆心O的水平距离也为9m 【答案】B 【详解】水平竖直分解速度如图所示 设小球的水平分速度为，竖直分速度初始为，最后为，连线与竖直方向的夹角为θ。由题意可知所以，以水平向右和竖直向下为正方向，则有竖直方向，有速度关系为速度与竖直方向夹角的正切值为联立解得，，，，故A错误，B正确； C．由矢量合成可知小球的末速度大小为，故C错误； D．小球升到最高点的时间为这段时间的水平位移为所以轨迹最高点距圆心O的水平距离为，故D错误。故选B。 【解法二】沿末速度与垂直末速度方向分解 设连线与竖直方向的夹角为θ，由题意可知 所以 A．将重力加速度在沿方向和垂直方向上分解，则小球在垂直方向上做末速度为零的匀减速运动，设该方向位移为X，则有其中，解得，故A错误； B．由水平方向上小球做匀速直线运动可得，故B正确； C．由末速度与水平速度关系可得，故C错误； D．由平抛结论“反向延长过中点”可知，若轨迹最高点与圆心O等高，则轨迹最高点与O距离等于x。但小球斜向上抛，轨迹最高点一定高于圆心O，其与O水平距离大于x，故D错误。故选B。 11．（多选）（2025·广东肇庆·一模）“醒狮”是融武术、舞蹈、音乐等为一体的民俗文化瑰宝，在岭南地区尤为盛行。某次醒狮采青表演中，两只狮子分别站在高度不同的梅花桩上，以大小相等的初速度同时水平抛出两颗质量相等的生菜a和b，两颗生菜运动轨迹的交点为P，生菜在空中的运动可视为平抛运动．则下列说法正确的是（　　） A．a生菜比b生菜晚落地 B．a、b两颗生菜经过P点时重力的瞬时功率相等 C．a生菜落地时的速度大于b生菜落地时的速度 D．a生菜的水平位移大于b生菜的水平位移 【答案】ACD 【详解】A．平抛运动的运动时间由竖直高度决定，．由于，所以，即生菜a比生菜b晚落地，故A正确； B．重力的瞬时功率，由于两颗生菜从抛出到P点的下降高度不同，所以经过P点时，两颗生菜竖直方向的分速度不同，因此两颗生菜重力的瞬时功率不相等，故B错误； C．落地速度，由于水平初速度大小相同，但运动时间，所以生菜a的落地时的速度更大，故C正确； D．水平位移，由于，所以，故D正确。 故选ACD。 12．（多选）（2025·湖南郴州·一模）在一个倾角为θ的足够长的固定斜面上，一小球以初速度v离开斜面，方向与斜面方向成θ角斜向上。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中任意相等的时间内速度变化不相等 B．小球经时间，离斜面最远 C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 【答案】BD 【详解】A．小球在空中只受重力作用，加速度为重力速度，速度变化量 可知相等时间内速度变化一定相同，故A错误； B．将小球的运动分解为垂直斜面方向和沿斜面方向两个分运动，小球垂直斜面方向的初速度大小为加速度大小当小球垂直斜面的速度减为零时离斜面最远，有故B正确； C．由斜抛的对称性可知，小球从开始运动到第一次落到斜面上时间为故C错误； D．小球沿斜面方向的初速度大小为加速度大小则小球开始运动到第一次落到斜面上位移为故D正确。故选BD。 13．（多选）（2025·四川绵阳·一模）“飞椅”是游乐场常见的游乐项目，结构示意图如图所示，长为的钢绳一端系着“飞椅”的座椅，另一端固定在长为的水平横臂上，横臂可以沿竖直轴上下移动，还可以绕轴转动。开始时，座椅静止在地面附近，横臂位于处，入坐上座椅后，横臂一边转动一边上升，到处时人和座椅稳定地绕竖直轴做匀速圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。已知间的高度差为，人与座椅的总质量为。忽略竖直轴自身的半径，不计空气阻力。则（　　） A．横臂在处，人和座椅的角速度为 B．横臂在处，人和座椅的角速度为 C．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 D．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 【答案】AD 【详解】AB．人和座椅做匀速圆周运动，向心力由重力和钢绳拉力的合力提供。圆周运动的轨道半径对人和座椅受力分析，竖直方向水平方向解得，故A正确，B错误 CD．根据动能定理，钢绳做功等于重力做功的负值与动能变化之和，即 线速度动能代入动能定理公式得，故C错误，D正确。故选AD。 14．（多选）（2025·广东肇庆·一模）如图所示，游乐场的旋转飞椅装置共有4条吊臂，每条吊臂长均为r，吊绳长均为L，每名游客与座椅的总质量均为m。吊臂绕O点的竖直轴匀速转动，游客在水平面内做匀速圆周运动，吊绳与竖直方向的夹角为θ。重力加速度为g，不计空气阻力和吊绳的质量。下列说法正确的是（　　） A．游客的线速度大小为 B．游客的角速度大小为 C．游客的向心加速度大小为 D．吊绳上的拉力大小为 【答案】BD 【详解】A．游客做匀速圆周运动的半径向心力大小可得，故A错误； B．角速度大小，故B正确； C．由可得向心加速度大小，故C错误； D．竖直方向有可得，故D正确。故选BD。 15．（多选）（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，光滑的圆弧内轨道竖直放置，为圆心，半径竖直，缺口对应的圆心角.在圆心正上方某点处，以初速度水平抛出一个小球。该小球恰好能从点无碰撞地进入圆弧轨道。重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．小球在点处的速度大小为 B．小球进入圆弧轨道前运动时间为 C．圆弧轨道的半径为 D．小球可沿圆弧轨道运动至 【答案】AD 【详解】C．小球从M运动到N为平抛运动，设运动时间为t，则水平方向有rsinθ＝v0t如图所示，在N点有tanθ＝　　联立解得故C错误； A．根据速度的合成与分解可知小球在N点处的速度大小为故A正确； B．根据速度的合成与分解可知解得故B错误； D．小球在N点的动能为小球从N点到M点根据动能定理，有解得恰好过M点，则有解得所以小球可沿圆弧轨道运动至M，故D正确。故选AD。 16．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在竖直平面建立坐标系，为光滑轨道，段为光滑平直轨道，；段为半径的四分之一圆弧轨道，为其圆心。可视为质点的质量的小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出（重力加速度取，，）。 (1)若小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出，要使小球恰好落在点处，初速度的大小是多少？ (2)若的大小、方向均可以改变，保证小球水平通过点，则击中光滑圆弧轨道时小球的动能是多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）小球由点到点做斜抛运动，速度分解有，水平方向位移为根据对称性，竖直方向有联立解得 （2）小球水平通过点时速度为，则有， 解得， 小球从到圆弧时间为，则有， 根据几何关系可得 联立解得 根据动能定理可得 解得击中光滑圆弧轨道时小球的动能为 17．（2025·广东深圳·一模）下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠和，水珠水平飞出，水珠沿玻璃匀加速下滑，水珠落回玻璃时，恰好与相遇，示意图如图所示。已知水珠和的质量均为，初速度大小均为，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度取，，。求： (1)水珠在空中运动的时间和位移； (2)下滑过程中，水珠受到阻力的大小（结果用分数及科学计数法表示）； (3)若水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失，沿玻璃切向的分速度不变，融合时间忽略不计，则融合后瞬间水珠的速度的大小。 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）方法一：平抛运动规律 水珠A做平抛运动，有 解得， 方法二：以斜面和垂直斜面方向正交分解 方向：，解得 方向：解得 （2）水珠B沿着斜面做匀加速直线运动根据运动学公式可知解得由受力分析及牛顿第二定律可知解得 （3）水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失 根据运动的合成与分解，此时水珠沿玻璃的分速度大小满足其中而融合时水珠B的速度为融合过程由动量守恒得解得 18．（2025·福建·模拟预测）某同学用质量、可视为质点的小石片打“水”漂的轨迹示意图如图所示，小石片从距液面高处的点以初速度水平飞出后，从点与液面成角射入某种液体中，然后从点与液面成角射出液面做斜上抛运动，到达最高点时距离液面的高度。已知重力加速度，，不计空气阻力。求： (1)小石片从点飞出到再次进入液体的时间t； (2)小石片从点飞出时距液面的高度； (3)小石片从A点运动到B点过程中，该液体对小石片做的功。 【答案】(1)0.4 s (2)1.8 m (3) 【详解】（1）从D点到液面，根据平抛运动规律有 解得 根据对称性可知，小石片从点飞出到再次进入液体的时间 （2）在A点，根据速度的分解有 根据速度—位移公式有 （3）A点的速度为 B点的速度为 根据动能定理有 19．（2025·吉林长春·一模）某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度m，石块在M点的速度大小m/s。不计空气阻力，重力加速度m/，，。求： (1)石块抛出点O距离地面的高度； (2)石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，石块抛出时的速度与水平方向的夹角为 石块抛出时沿竖直方向的分速度 则石块抛出点距离最高点的高度 石块抛出点距离地面的高度。 （2）石块从抛出点运动到落地点的过程，竖直方向上有 解得 石块抛出点与落地点在水平方向上的距离 解得 20．（25-26高三上·四川·期中）如图所示，半径为（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，、分别为轨道的最高点和最低点（和垂直），为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为。质量为的磁性小球通过磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)若让小球从轨道外侧点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道； (2)若让小球从轨道内侧点以初速度大小水平向左射入轨道，求： ①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小； ②小球运动到点时对轨道压力的大小。 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【详解】（1）把恒力和重力的合力视为等效重力 设等效重力方向与竖直方向夹角为，则有 解得 过圆心作的平行线和圆轨道有两个交点，下方交点为等效最低点，如图 假设小球能到达等效最低点，由动能定理 解得 在等效最低点恰好不脱离轨道时 解得 可知 可知小球不会脱离轨道。 （2）①从点到等效最低点，由动能定理 解得 在等效最低点压力最大 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的最大压力。 ②从点运动到点过程，可知合外力做功为0，所以 在点，受力分析如图 解得 根据牛顿第三定律，小球在点对轨道的压力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型03 力与曲线运动 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 平抛运动 考向02 斜抛运动【重难】 考向03 水平面内的圆周运动 考向04 竖直面内的圆周运动【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 力与曲线运动是高中物理从直线运动向复杂运动形式拓展的关键内容，也是高考物理的核心考点之一，尤其平抛与圆周运动几乎每年必考，常以选择题、实验题或综合计算题形式出现。该部分不仅是牛顿运动定律在曲线情境下的直接应用，更是理解天体运动、带电粒子在电磁场中运动等重要内容的基础，具有承上启下的桥梁作用。 高考命题常围绕平抛运动的规律应用、斜抛的对称性分析、水平面内圆周运动的向心力来源、竖直面内圆周运动的临界条件等模型展开。试题强调运动的合成与分解、向心力方程建立、临界状态分析等方法，并常与能量、动量等内容结合，考查综合建模能力。 学生主要误区在于：对合运动与分运动的关系理解不清，向心力分析时“添力”或“漏力”，忽视竖直圆周中最高点与最低点的受力临界条件，以及将实际问题转化为运动模型的能力不足。因此，强化运动分解思想与受力分析的系统训练是突破此题型的关键。 考向01 平抛运动 【例1-1】（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·浙江·一模）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．运动员在a处的速度大小 B．在空中飞行的时间 C．运动员在空中离坡面的最大距离 D．运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻 1．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 2．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 3.与斜面相关的几种的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 4.与斜面相关平抛运动的处理方法 (1)分解速度 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。 (2)分解位移 平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。 (3)分解加速度 平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。 【变式1-1】（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【变式1-2】（2025·四川遂宁·一模）如图所示，在一个倾角37°的长斜面底端O点正上方的P点处将一小球以速度v0水平抛出，恰好垂直击中斜面上的Q点，取，重力加速度的大小。下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度 B．Q点离O点的距离 C．保持h不变，将小球以2v0的速度水平抛出，则击中斜面的位置到O点的距离等于 D．若抛出点高度变为2h，欲使小球仍能垂直击中斜面，小球的初速度应调整为 考向02 斜抛运动 【例2-1】（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 【变式2-1】（2025·四川·一模）如图所示，喷水池中央立柱的上端处有两个喷水口，分别以速度、沿水平方向、斜向上方喷水，两水柱均垂直落在倾角为的斜面上。若斜向上方喷出的水柱的最高点与点连线与斜面平行，且大小为，取，忽略空气阻力。则（　　） A．中央立柱的高度为 B．的大小为 C．的方向与水平方向夹角的正切值为 D．斜向上方喷出的水柱从喷出至落到斜面上的时间为 【变式2-2】（多选）（2025·湖南湘潭·模拟预测）玩具双筒发射器可以从双筒沿不同方向发射小球，如图所示，时刻同时从O点发射两小球A和B，A球以初速度与水平方向成角斜向上射出，B球以相同速率沿相同角度斜向下射出。忽略空气阻力，重力加速度为g。则A、B两球在空中同一竖直平面内运动时，下列说法正确的是（　　） A．A、B两球间的距离跟时间成正比 B．A球运动到最高点时，两球间的距离等于B球在该时间内竖直下落的距离的1.5倍 C．A球运动到最高点时，B球的速度大小为 D．A球运动到最高点时，B球到O点的距离为 考向03 水平面内的圆周运动 【例3-1】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·河北衡水·三模）某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴转动。转盘上放置两个物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度缓慢增大。整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为、，物块A、B的质量均为，与转盘间的动摩擦因数均为，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．当转盘的角速度大于时，绳子才会产生拉力 B．当两物块都将要相对转盘滑动时，转盘的角速度为 C．当两物块都将要相对转盘滑动时，绳子的拉力大小为 D．当转盘的角速度等于时，物块A受到指向圆心方向的摩擦力 1．圆周运动动力学分析过程： 2．圆周运动基础模型 运动模型 向心力的来源示意图 运动模型 向心力的来源示意图 飞机水平转弯 飞车走壁 圆锥摆 火车转弯 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 3.水平面内的圆盘临界模型 ①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件： ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条 ①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出； AB相对圆盘滑动的临界条件 临界条件： ①，； ②， 临界条件： ① ② 【变式3-1】（多选）（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面内做匀速圆周运动，缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ） A．线速度 B．角速度 C．向心加速度 D．向心力 【变式3-2】（多选）（2025高三下·河北·学业考试）如图所示，在游乐场中的“磨盘”娱乐设施中，人就地坐在转动的水平大圆盘上，当大圆盘转速增加时，人就会自动滑向盘边缘，为了增加转动时的稳定性，两位小朋友a和c（均可视为质点）分居圆盘圆心两侧，分别抓住经过圆心且刚好拉直的水平轻绳的一端。a的质量为3m，c的质量为m，a、c与圆心间的距离分别为、。小朋友a、c与盘间的动摩擦因数均为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。圆盘从静止开始绕经过圆心的竖直转轴缓慢地加速旋转（先有摩擦力后有绳子的拉力），小朋友和圆盘始终保持相对静止，当圆盘转速稳定，且两小朋友与盘间摩擦力均达到最大静摩擦力时，轻绳上的拉力大小可能为（　　） A．10 B．9 C．4 D．3 考向04 竖直面内的圆周运动 【例4-1】（2025·湖南郴州·一模）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点平滑相接，导轨半径为。一个可视为质点的物体质量为，将弹簧压缩至A点后静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后滑上半圆形导轨，运动到D点时恰好脱离轨道，已知O、D连线和竖直方向O、C连线夹角为，g取，下列说法中正确的是（　　） A．小球在D点时的速度为 B．弹簧释放出来的弹性势能大小为100J C．D点到物体落地点的水平距离为 D．为使物体能从C点飞出，物体到达B处时速度至少为10m/s 【例4-2】（2025·湖北武汉·三模）如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（    ） A．小球不可能回到A点 B．小球对细管的作用力不可能为零 C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大 D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg 模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0 【变式4-1】（多选）（2025·甘肃白银·一模）有一质量m=2kg的物块在水平外力F作用下，从A点由静止开始向右运动，物块与水平面之间的动摩擦因数μ=0.3，A右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道，圆弧轨道的最低点为B，圆心为O，C为圆弧轨道最高点且OC与水平方向夹角30°。物块在到达B点之前已撤去外力F。经过B点时物块对圆弧轨道的压力是物块重力的5倍，已知AB间距离x=4m，圆弧的半径R=0.4m，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物块在B点时的速度大小为3m/s B．外力F对物块做的功为40J C．物块在C点受到的弹力大小为20N D．物块落回水平地面时与B点的水平距离为 【变式4-2】（多选）（2025·湖北十堰·模拟预测）如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组成，摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴连接，整个机械装置放置在上表面水平的压力传感器上，底座内部的电机可以驱动摆锤在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，底座始终保持静止。已知摆锤的质量为，底座的质量为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．若摆锤的速率为，则摆锤运动到最高点时，压力传感器的示数等于 B．摆锤运动到最低点时，压力传感器的示数可能小于 C．当摆锤重心与点等高且在点右侧时，直杆对摆锤的弹力指向点 D．当摆锤重心与点等高且在点右侧时，底座所受摩擦力水平向左 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 2．（2025·浙江台州·一模）跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 4．（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，倾角的光滑斜面上有一光滑轨道，它是由长为的直轨道和半径为的圆弧轨道平滑连接而成。已知斜面边缘的点与点等高，，，是的中点。一小球以某一初速度发射后沿轨道运动，下列说法正确的是（　　） A．若，小球一定会从边离开斜面 B．若，小球一定会从边离开斜面 C．若，小球可能会从边离开斜面 D．若，小球可能会从边离开斜面 5．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图所示，一只松鼠需要从树枝越过前方的树干，松鼠从树枝上起跳时的初速度大小为、方向与水平方向的夹角为，运动轨迹恰好经过树干左侧的A点，且最高点位于B点的正上方。已知松鼠起跳处与AB间的高度为h，松鼠起跳的位置和树干间的距离与树干AB的宽度相等，重力加速度为g，不计空气阻力，松鼠可视为质点。则（　　） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·一模）图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为的细线系着质量为的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度，在小球离地高为、速度为时烧断细线，已知重力加速度为，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为 B．从烧断细线到落地，小球位移为 C．烧断细线前，小球的向心力与成正比 D．烧断细线前，细线对小球的拉力与成正比 7．（2025·山东·模拟预测）如图所示，半径为的玩具转盘在转盘中心点固定了一竖直杆，质量为的小球用轻绳和轻杆一起连接在竖直杆上，轻绳与竖直杆上的点相连，轻杆用铰链连接在竖直杆上的点（可绕点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳与竖直方向夹角，轻杆与竖直方向夹角，，，不计摩擦阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当绳上恰好无弹力时，小球的角速度 B．当小球角速度时，杆上弹力 C．当上恰好无弹力时，小球角速度 D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度，小球不会触碰到圆盘 8．（2025·广东·模拟预测）端午节期间，全国多地都举行赛龙舟比赛，吸引游客前来观看，其中叠滘的龙舟漂移技术让大家为之惊叹。如图所示，甲、乙两龙舟正并排以恒定的速率过同一圆形弯道，已知甲、乙两龙舟的质量关系为，下列说法正确的是（　　） A．水对龙舟的作用力与龙舟的运动方向垂直，指向圆形弯道的圆心 B．若甲、乙转弯时速率相同，则甲所需的向心力更大 C．当转弯时的速度增大时，舵手身体向内侧倾斜的程度应增大 D．若甲、乙以相同的角速度转弯时，甲更容易发生漂移 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）蛙式打夯机是一种结构简单、操作方便的夯实机械。如图所示，蛙式打夯机主要由偏心轮（飞轮和偏心块组成）、电动机和夯体三部分组成。飞轮和夯体总质量为M，偏心块质量为m，偏心块的重心到轮轴的距离为R，重力加速度为g。在电动机带动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的偏心块转到顶端时，夯体刚好对地面无压力。下列说法正确的是（　　） A．电动机轮轴与偏心块转动角速度相同 B．偏心块转到最低时对地面的压力等于 C．偏心轮转动的角速度为 D．偏心块转到最低时处于失重状态 10．（2025·宁夏吴忠·三模）如图所示，一半圆槽固定在水平面上，小球从半圆槽的左侧端点斜抛出去，能够垂直打到弧面上的P点。已知半圆槽的半径。，P点距圆心O的水平距离，重力加速度g取。对于小球从抛出到打到弧面这段过程分析可知（　　） A．小球的运动时间为3s B．小球的水平分速度大小为 C．小球的末速度大小为 D．小球的轨迹最高点距圆心O的水平距离也为9m 11．（多选）（2025·广东肇庆·一模）“醒狮”是融武术、舞蹈、音乐等为一体的民俗文化瑰宝，在岭南地区尤为盛行。某次醒狮采青表演中，两只狮子分别站在高度不同的梅花桩上，以大小相等的初速度同时水平抛出两颗质量相等的生菜a和b，两颗生菜运动轨迹的交点为P，生菜在空中的运动可视为平抛运动．则下列说法正确的是（　　） A．a生菜比b生菜晚落地 B．a、b两颗生菜经过P点时重力的瞬时功率相等 C．a生菜落地时的速度大于b生菜落地时的速度 D．a生菜的水平位移大于b生菜的水平位移 12．（多选）（2025·湖南郴州·一模）在一个倾角为θ的足够长的固定斜面上，一小球以初速度v离开斜面，方向与斜面方向成θ角斜向上。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中任意相等的时间内速度变化不相等 B．小球经时间，离斜面最远 C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 13．（多选）（2025·四川绵阳·一模）“飞椅”是游乐场常见的游乐项目，结构示意图如图所示，长为的钢绳一端系着“飞椅”的座椅，另一端固定在长为的水平横臂上，横臂可以沿竖直轴上下移动，还可以绕轴转动。开始时，座椅静止在地面附近，横臂位于处，入坐上座椅后，横臂一边转动一边上升，到处时人和座椅稳定地绕竖直轴做匀速圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。已知间的高度差为，人与座椅的总质量为。忽略竖直轴自身的半径，不计空气阻力。则（　　） A．横臂在处，人和座椅的角速度为 B．横臂在处，人和座椅的角速度为 C．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 D．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 14．（多选）（2025·广东肇庆·一模）如图所示，游乐场的旋转飞椅装置共有4条吊臂，每条吊臂长均为r，吊绳长均为L，每名游客与座椅的总质量均为m。吊臂绕O点的竖直轴匀速转动，游客在水平面内做匀速圆周运动，吊绳与竖直方向的夹角为θ。重力加速度为g，不计空气阻力和吊绳的质量。下列说法正确的是（　　） A．游客的线速度大小为 B．游客的角速度大小为 C．游客的向心加速度大小为 D．吊绳上的拉力大小为 15．（多选）（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，光滑的圆弧内轨道竖直放置，为圆心，半径竖直，缺口对应的圆心角.在圆心正上方某点处，以初速度水平抛出一个小球。该小球恰好能从点无碰撞地进入圆弧轨道。重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．小球在点处的速度大小为 B．小球进入圆弧轨道前运动时间为 C．圆弧轨道的半径为 D．小球可沿圆弧轨道运动至 16．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在竖直平面建立坐标系，为光滑轨道，段为光滑平直轨道，；段为半径的四分之一圆弧轨道，为其圆心。可视为质点的质量的小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出（重力加速度取，，）。 (1)若小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出，要使小球恰好落在点处，初速度的大小是多少？ (2)若的大小、方向均可以改变，保证小球水平通过点，则击中光滑圆弧轨道时小球的动能是多少？ 17．（2025·广东深圳·一模）下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠和，水珠水平飞出，水珠沿玻璃匀加速下滑，水珠落回玻璃时，恰好与相遇，示意图如图所示。已知水珠和的质量均为，初速度大小均为，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度取，，。求： (1)水珠在空中运动的时间和位移； (2)下滑过程中，水珠受到阻力的大小（结果用分数及科学计数法表示）； (3)若水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失，沿玻璃切向的分速度不变，融合时间忽略不计，则融合后瞬间水珠的速度的大小。 18．（2025·福建·模拟预测）某同学用质量、可视为质点的小石片打“水”漂的轨迹示意图如图所示，小石片从距液面高处的点以初速度水平飞出后，从点与液面成角射入某种液体中，然后从点与液面成角射出液面做斜上抛运动，到达最高点时距离液面的高度。已知重力加速度，，不计空气阻力。求： (1)小石片从点飞出到再次进入液体的时间t； (2)小石片从点飞出时距液面的高度； (3)小石片从A点运动到B点过程中，该液体对小石片做的功。 19．（2025·吉林长春·一模）某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度m，石块在M点的速度大小m/s。不计空气阻力，重力加速度m/，，。求： (1)石块抛出点O距离地面的高度； (2)石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 20．（25-26高三上·四川·期中）如图所示，半径为（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，、分别为轨道的最高点和最低点（和垂直），为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为。质量为的磁性小球通过磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)若让小球从轨道外侧点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道； (2)若让小球从轨道内侧点以初速度大小水平向左射入轨道，求： ①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小； ②小球运动到点时对轨道压力的大小。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $