重难06 带电粒子运动过程中动量定理的应用（重难专练）（浙江专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难06 带电粒子运动过程中动量定理的应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 分析方法 假设有一个带电粒子，其质量为，电量为+。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为的匀强磁场中运动。粒子速度为，所受洛伦兹力为，且重力不计。如图建立直角坐标系。 粒子受到的洛伦兹力大小为 分别列出牛顿第二定律 可得动量定理 代入分洛伦兹力得即 两边累加求和可得： 适用的题型特点 如果已知某一分运动方向上的位移（可能需要借助动能定理获得），通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。反之，亦可。 优势 对于某些临界类问题，特别是当运动轨迹不再是圆周或圆周的一部分时，可有效规避复杂的几何作图。利用正则动量与动能定理只需分析粒子运动的初、末状态就能解决，极大地降低了解题的难度。 （建议用时：20分钟） 1. 如图是某带电粒子在磁场中的偏转轨迹，其速度偏转角为θ，磁场的宽度为d，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，粒子的带电量为+q，质量为m，射入磁场的初速度方向垂直于磁场边界；求射入磁场的初速度v。 【详解】利用洛伦兹力的冲量可写出：；而； 联立有：；即。 2. 如图是某带电粒子在磁场中的偏转轨迹，其射入磁场的速度方向与水平方向夹角为α，射出磁场的速度方向与水平方向夹角为θ，磁场的宽度为d，磁场方向垂直纸面向外，粒子的带正电，求粒子沿磁场边界方向的偏移量h。（α<θ<90°） 【详解】水平方向：；可求出 竖直方向：； 联立可得： 利用洛伦兹力的冲量可写出：； 而；；即； 而后两式联立：；即 3. 如图，有一半径为a的圆形磁场，其磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。左侧离子源的长度为2b，中心与圆形磁场的圆心在同一水平线上，电子在粒子源内均匀分布，经过加速电场加速后以同样的水平速度v0向右射入磁场。电子在磁场中的偏转半径也为a。所有粒子将在P点射出，但P点经过特殊处理，仅有与竖直方向夹角小于45°的粒子才能从P点射出，求电子可以从P点射出的比例η。 P a 2b B 45° A O 【详解】规定粒子射入磁场的方向为正方向，故在P点射出粒子的水平方向分速度vx为负，v0为正；洛伦兹力与水平方向的夹角一直大于90°，故可以写出：， 由于vx<0，故；设粒子由入射点A到出射点P的竖直距离为h； 则有：，由于粒子偏转半径为a，故：， 设粒子由入射点A到离子源中心的竖直距离为b'，故； 由于粒子在离子源按长度均匀分布： 4. 如图所示，在平面直角坐标系xoy的y轴的右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，y轴右侧还存在一电场强度为、方向竖直向下的匀强电场，匀强磁场右边界放一竖直的屏，屏与y轴平行，且与y轴间距为2L。一质量为m、电量为q的正电荷粒子从O点以初速度大小为v0，方向与y轴正半轴成45°射入场区，粒子恰好打在屏上Q点，Q点的坐标为（2L，- 0.5L），粒子重力不计。求：粒子打在Q点时速度方向与水平方向的夹角。 Q P x y 【详解】对带电粒子在复合场中沿x轴方向、竖y轴方向分别列方程： 沿x轴方向：； 解得： 竖y轴方向： 对于此方程中电场力作用时间无法求解，故无法求出vy。 由P→Q的过程中应用动能定理：（洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，不做功） 解得： 粒子打在Q点时速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则；即。 （建议用时：30分钟） 1. 如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）； (2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小； (3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场区域做类平抛运动，则， 代入 解得 （2）由段的边界方程可知 粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足， 联立可得 从点出电场时的速度与水平方向的夹角满足 则 粒子从点出电场时的速度为 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，粒子轨迹刚好磁场上边界相切时，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子进入第四象限的磁场后，沿轴方向应用动量定理有 对粒子从进入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程求和得 可得 运动轨迹与轴所围成的面积 代入 解得 2. 如图甲所示，曲线OP上方有沿方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿方向发射速度为，质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）： （2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积； （3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场和匀强电场（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向，现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场偏转后，恰好与y轴负方向成从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。 【答案】（1）；（2）；（3）3 【详解】（1）粒子在电场E1区域做类平抛运动，则 解得 （2）设粒子经过O点的速度为v，与y轴的夹角为θ，则 由 可得 粒子在磁场中运动时，在y轴上的偏移量 ∆y恒定，故所有粒子均击中y轴上的同一位置，即 处；在x轴上从B端射入的粒子到达的x轴上坐标的最远距离为 得磁场的最小面积 （3）粒子经过O点时与y轴负方向成角，可得粒子的速度为 设粒子在第n+1个磁场区域拐弯，则电场中共加速n次：由动能定理 可得 在y轴方向上由动量定理 可得 可得 解得 由于n只能取整数，故n只能取2，即粒子将在第3个磁场区域拐弯。 （建议用时：40分钟） 1. 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得 r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得 r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为 η=60% 2. 如图所示，在竖直面内建立坐标系，水平轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电小球在点静止释放，小球的运动曲线如图所示。 (1)若曲线在最低点的曲率半径为该点到轴距离的2倍，重力加速度为。求： 小球运动到任意位置处的速率及小球在运动过程中第一次下降的最大距离。 (2)若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随方向均匀增大，关系为。（和已知）求小球在运动过程中第一次下降的最大速度。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得 解得 设在最大距离处的速度为，根据圆周运动有 根据几何关系可知 结合（1） 解得 （2）由能量守恒定律，得 洛伦兹力在水平方向的冲量 由动量定理，得 联立解得最大速度 3. 为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为（，）的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从（，0）射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： （1）该未知粒子的比荷； （2）匀强电场电场强度E的大小及左边界的值； （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（，）（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 【答案】（1）；（2），；（3）， 【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 又 联立解得粒子的比荷为 （2）粒子的轨迹如图所示 粒子在电场中可逆向看成做类平抛运动，则有 联立解得匀强电场电场强度大小为 由几何关系可得 解得 （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场的运动轨迹如图所示 由 可得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 取一小段时间，对粒子在方向上列动量定理（如图） 两边同时对过程求和 可得 即 其中 则有 结合 可得 故有 4. 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长边界均平行轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为的磁场，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ的下边界与轴重合。位于处的离子源能释放出电荷量，质量、速度方向与轴夹角为的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)若，初速度 ①离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为多少？ ②求离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标； ③若在磁场区域Ⅱ中存在一个与运动方向始终相同的推力，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，求离子离开磁场区域Ⅱ的坐标； (2)若，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，请问离子的初速度是多少？（类比正弦式交流电） 【答案】(1)①2m，1m；②；③ (2) 【详解】（1）①离子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 所以离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为 ②如图所示，根据几何关系有 解得 ， 离子在区域Ⅰ中沿x轴正方向的位移大小为 所以离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标为 ③对于离子在区域Ⅱ中的运动，在x轴方向上根据动量定理有 由题意可知上式中 根据运动学公式可知离子在区域Ⅱ中沿x、y方向的位移大小为分别为 解得 所以离子离开磁场区域Ⅱ的横坐标为 即坐标为 （2）对离子从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的运动过程，在x方向上根据动量定理有 由题意整理得 类比正弦式交流电平均值和峰值的关系式可知 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难06 带电粒子运动过程中动量定理的应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 分析方法 假设有一个带电粒子，其质量为，电量为+。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为的匀强磁场中运动。粒子速度为，所受洛伦兹力为，且重力不计。如图建立直角坐标系。 粒子受到的洛伦兹力大小为 分别列出牛顿第二定律 可得动量定理 代入分洛伦兹力得即 两边累加求和可得： 适用的题型特点 如果已知某一分运动方向上的位移（可能需要借助动能定理获得），通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。反之，亦可。 优势 对于某些临界类问题，特别是当运动轨迹不再是圆周或圆周的一部分时，可有效规避复杂的几何作图。利用正则动量与动能定理只需分析粒子运动的初、末状态就能解决，极大地降低了解题的难度。 （建议用时：20分钟） 1. 如图是某带电粒子在磁场中的偏转轨迹，其速度偏转角为θ，磁场的宽度为d，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，粒子的带电量为+q，质量为m，射入磁场的初速度方向垂直于磁场边界；求射入磁场的初速度v。 2. 如图是某带电粒子在磁场中的偏转轨迹，其射入磁场的速度方向与水平方向夹角为α，射出磁场的速度方向与水平方向夹角为θ，磁场的宽度为d，磁场方向垂直纸面向外，粒子的带正电，求粒子沿磁场边界方向的偏移量h。（α<θ<90°） 3. 如图，有一半径为a的圆形磁场，其磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。左侧离子源的长度为2b，中心与圆形磁场的圆心在同一水平线上，电子在粒子源内均匀分布，经过加速电场加速后以同样的水平速度v0向右射入磁场。电子在磁场中的偏转半径也为a。所有粒子将在P点射出，但P点经过特殊处理，仅有与竖直方向夹角小于45°的粒子才能从P点射出，求电子可以从P点射出的比例η。 P a 2b B 45° A O 4. 如图所示，在平面直角坐标系xoy的y轴的右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，y轴右侧还存在一电场强度为、方向竖直向下的匀强电场，匀强磁场右边界放一竖直的屏，屏与y轴平行，且与y轴间距为2L。一质量为m、电量为q的正电荷粒子从O点以初速度大小为v0，方向与y轴正半轴成45°射入场区，粒子恰好打在屏上Q点，Q点的坐标为（2L，- 0.5L），粒子重力不计。求：粒子打在Q点时速度方向与水平方向的夹角。 Q P x y （建议用时：30分钟） 1. 如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）； (2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小； (3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。 2. 如图甲所示，曲线OP上方有沿方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿方向发射速度为，质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）： （2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积； （3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场和匀强电场（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向，现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场偏转后，恰好与y轴负方向成从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。 （建议用时：40分钟） 1. 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    2. 如图所示，在竖直面内建立坐标系，水平轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电小球在点静止释放，小球的运动曲线如图所示。 (1)若曲线在最低点的曲率半径为该点到轴距离的2倍，重力加速度为。求： 小球运动到任意位置处的速率及小球在运动过程中第一次下降的最大距离。 (2)若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随方向均匀增大，关系为。（和已知）求小球在运动过程中第一次下降的最大速度。 3. 为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为（，）的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从（，0）射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： （1）该未知粒子的比荷； （2）匀强电场电场强度E的大小及左边界的值； （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（，）（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 4. 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长边界均平行轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为的磁场，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ的下边界与轴重合。位于处的离子源能释放出电荷量，质量、速度方向与轴夹角为的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)若，初速度 ①离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为多少？ ②求离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标； ③若在磁场区域Ⅱ中存在一个与运动方向始终相同的推力，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，求离子离开磁场区域Ⅱ的坐标； (2)若，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，请问离子的初速度是多少？（类比正弦式交流电） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $