重难03 曲线运动中的临界与极值（重难专练）（浙江专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难03 曲线运动中的临界与极值 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 一、平抛运动中的临界与极值 1.常见场景 物体从斜面平抛后落到斜面上 (临界：刚好落到斜面顶端/底端)； 物体平抛后穿过固定边界 (如圆环、挡板，临界：刚好擦过边界)。 2.核心临界条件 位移约束：水平位移 竖直位移 结合几何关系 (如斜面倾角θ满足 速度约束：刚好擦过边界时，速度方向与边界相切 (速度偏角与边界倾角相等)。 二、匀速圆周运动中的临界与极值 (选考重点) 1.竖直圆周运动 (轻绳/轻杆模型) (1)轻绳模型 (无支撑，只能提供拉力) 临界位置：最高点 (最易脱离轨道)； 临界条件：绳子拉力. 重力完全提供向心力； 临界速度： 得 (选考必记)； 极值关联：若最高点速度 绳子有拉力， 若 物体未到最高点就脱离轨道，做斜抛运动 (选考常考“能否完成完整圆周运动”判断)。 (2)轻杆模型 (有支撑，可提供拉力或支持力) 临界位置：最高点； 临界条件：支持力. (速度最小的临界状态)； 最小速度：(选考易与轻绳模型混淆，需明确区分)； 受力方程：速度为0时： (支持力向上)；速度v>0时：若 (支持力)；若 (拉力) 。 2.水平圆周运动 (圆锥摆/转盘模型) (1)圆锥摆模型 临界条件：绳子拉力的水平分力提供向心力，竖直分力平衡重力； 极值问题：求绳子拉力的最小值或最大摆角 (选考常结合动能定理考查“从最低点摆到最高点的临界速度”)； 核心方程： (竖直平衡)， (水平向心力)，联立得 (2)转盘模型 (物体在转盘上随转盘转动) 临界状态：物体刚好不滑动 (最大静摩擦力提供向心力)； 临界条件： 极值关联：临界角速度： (选考常考“转盘角速度多大时物体滑动”)；临界半径：同一转盘上，物体离转轴越远 (r越大)，临界角速度越小，越易滑动 (选考多选题常考此规律) 。 3.轨道约束模型 (如过山车、圆环轨道) 临界状态：物体刚好不脱离轨道 (轨道支持力 临界位置：最高点 (竖直轨道)或最低点 (倾斜轨道，选考拓展)； 核心方程：与轻绳/轻杆模型一致，需注意轨道半径r的几何关系 (如过山车轨道半径变化)。 三、带电粒子在电磁场中的曲线运动 (选考难点，结合洛伦兹力) 1.匀速圆周运动 (仅受洛伦兹力) 临界条件：粒子刚好不打在边界上 (轨迹与边界相切)； 极值问题：求粒子的最大/最小速度、磁场的最大/最小磁感应强度； 解题关键：洛伦兹力提供向心力： 得轨道半径 几何分析：通过“轨迹圆心在速度垂线和边界中垂线的交点”确定圆心，利用临界状态的“相切”关系找半径的极值 (如“刚好穿出磁场时，轨迹半径最大”)。 2.类平抛运动 (电场力提供加速度，洛伦兹力为零或恒定) 临界状态：粒子刚好从极板边缘飞出 (竖直位移等于极板间距的一半)； 核心方程：水平方向 竖直方向 （建议用时：20分钟） 1. 如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选B。 2. 如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点平滑相接，导轨半径为。一个可视为质点的物体质量为，将弹簧压缩至A点后静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后滑上半圆形导轨，运动到D点时恰好脱离轨道，已知O、D连线和竖直方向O、C连线夹角为，g取，下列说法中正确的是（　　） A．小球在D点时的速度为 B．弹簧释放出来的弹性势能大小为100J C．D点到物体落地点的水平距离为 D．为使物体能从C点飞出，物体到达B处时速度至少为10m/s 【答案】C 【详解】A．运动到D点时恰好脱离轨道，根据牛顿第二定律，有 解得，故A错误； B．从A到D，根据能量守恒，有 解得弹簧释放出来的弹性势能大小为，故B错误； C．在D点将速度分解，在竖直方向，有 在水平方向，有 竖直向上运动的时间为 竖直向上运动的高度为 从最高点到水平面的高度为 从最高点落到地面的时间为 D点到物体落地点的水平距离为，故C正确； D．从B到C，根据动能定理，有 为使物体能从C点飞出，则有 联立解得物体到达B处时速度至少为，故D错误。 故选C。 3. 如图所示，同一竖直面内固定半径分别为R和2R的两个光滑绝缘的同心圆环轨道，O为圆心，OM、ON、OP把竖直面均分成相同的三部分，MOP区域有平行于纸面的匀强电场（区域边界处无电场），其中OP竖直。质量分别为m和2m的A、B两个带电小球用长为R的绝缘轻杆固连，分别套在外环、内环上。最初A、B静止在最高点，现给A、B一点扰动，使两球开始沿顺时针运动，重力加速度大小为g，则下列说法错误的是（　　） A．在电场以外的区域运动过程中，A、B球组成的系统机械能守恒 B．运动过程中轻杆对球A始终不做功 C．第一次运动到最低点，若外环对球A的作用力为零，则此时内环对球B的弹力大小为3mg D．第一次回到出发点，若A、B对轨道的弹力刚好为零，则电场力做功为 【答案】BC 【详解】A．在电场以外的区域运动过程中，A、B球组成的系统只有重力做功，所以机械能守恒，A正确； B．运动过程中A、B两球角速度始终相等，轻杆对球A始终做功，B错误； C．系统最低点静止时，支持力为3mg，有速度时合力提供向心力且大于零，即支持力大于3mg，C错误； D．设再回到最高点时B的速度为v，则A的速度为2v，从最高点出发到再次回到最高点 在最高点由系统牛顿第二定律 解得，D正确。 此题选择错误选项，故选BC。 4. 如图所示，四分之三圆轨道（内壁、外壁均光滑）被固定在竖直面内，为圆心，是轨道上一点，其中部分是圆管，是竖直直径，、的夹角为（为未知量）。一质量为的小球（可视为质点）沿光滑水平面，以向左的速度经点进入圆轨道，恰好到达最高点，接着在点受到轻微的扰动从到达时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为，不计空气阻力以及圆管粗细。下列说法正确的是（　　） A．圆弧轨道的半径为 B．的余弦值为 C．小球到达点时的动能为 D．小球从点到达水平面时重力瞬时功率为 【答案】D 【详解】A．设圆弧轨道的半径为，小球由到由机械能守恒定律可得 解得，故A错误； BC．把小球在点的重力分别沿着和垂直分解，小球运动到点，支持力刚好等于0，重力沿着方向的分力充当向心力，由向心力公式可得 小球从到，由机械能守恒可得 联立解得， 小球到达点时的动能，故BC错误； D．把小球在点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则水平方向的分速度为 根据机械能守恒，小球到达水平面的速度为，小球从到水平面做斜下抛运动，水平方向的分运动是的匀速直线运动，则小球到达水平面的竖直分速度为 重力的瞬时功率为 可得球从点到达水平面时重力瞬时功率为，故D正确。 故选D。 5. 如图所示，滑行轨道由水平部分和光滑半圆弧部分组成，水平轨道A点左侧粗糙且足够长，μ=0.1，A点右侧光滑，距离圆弧最低点B点距离为L=1m。两个物块（均可视为质点）紧靠在A点，质量分别为M=0.2kg和m=0.1kg，中间填充炸药，引爆炸药两物块可瞬间获得速度向两侧滑去，其中M滑块滑行距离s=2m，m滑块将冲上圆弧轨道并从C点飞出去落回到水平面，g取10m/s2。 (1)炸药引爆后瞬间，两滑块的速度分别是多大？ (2)若圆弧轨道半径r=0.2m，滑块滑到C点时对轨道的压力是多大？ (3)若轨道半径r可改变，试判断m滑块从C点飞出后能否落在粗糙轨道部分，并说明缘由。 【答案】(1)， (2) (3)不能，详见解析 【详解】（1）对M滑块，根据动能定理，有 解得 爆炸瞬间两个滑块动量守恒，有 解得 （2）对m滑块，A至C过程，由动能定理，有 解得 在轨道C点，根据牛顿第二定律，有 解得 根据牛顿第三定律，有 （3）对m滑块，由（2）得 从C点开始做平抛运动，有， 解得 代入数据，整理得 当r=0.2m时，x取最大值，为xm=0.8m＜L，故不能落在粗糙部分。 6. 如图所示，游戏装置由光滑倾斜轨道AB、半径的光滑圆弧轨道BC、长为L=9.0m水平轨道CD和高为光滑高台EF构成，倾角为的直角斜面体紧贴着高台边缘ED，且与高台EF等高。现将质量m=0.5kg的小物块从倾斜轨道上高度为的A处由静止释放，小物块恰好能到达高台边缘E点。若斜面体向左移动，固定在CD间的任一位置，小物块仍从同一高度H处由静止释放，发现小物块从斜面体顶端斜抛后也恰好落在E点。已知小物块与水平轨道CD和与斜面体之间的动摩擦因数均为μ，小物块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。 (1)求小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小； (2)求动摩擦因数μ和斜面体倾角θ； (3)在高台EF上放置表面光滑、质量M=2.0kg的“小山坡”，小物块以速度v0=2.0m/s冲向“小山坡”，设小物块始终贴着“小山坡”表面运动，求“小山坡”获得的速度。 【答案】(1)25N (2)，30° (3)0.8m/s，0 【详解】（1）小物块到达圆弧轨道最低点C时速度为vC，由机械能守恒 小物块在圆弧轨道最低点C时，由向心力公式 解得 由牛顿第三定律得小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小25N （2）小物块由A到E的过程中，由能量关系 解得 设斜面体与平台相距为x，小物块到E点的速度为vE，由能量关系 解得 根据斜抛运动的规律 运动时间为 联立解得 代入得 即（θ与x无关） 则 解得 （3）小物块从“小山坡”返回或越过“小山坡”，满足动量守恒 满足机械能守恒 解得， 或， ①若小物块不能越过“小山坡”，则“小山坡”获得的速度为0.8m/s ②若小物块能够越过“小山坡”，则“小山坡”获得的速度为0 7. 如题图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。EFGH是长度的固定光滑凹槽，其底部 FG水平，侧壁 EF、HG竖直。一长度、质量的平板紧靠EF放置，平板上表面与DEH齐平。现将一质量也为的小滑块可视为质点从弹簧右端弹射，经过轨道BCD后滑上平板，并带动平板一起运动，平板到达HG处时立即被锁定。已知平板与小滑块之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，不计空气阻力。 (1)若小滑块恰好能到达螺旋圆形轨道最高点C，求小滑块刚弹射后的速度大小； (2)要使小滑块恰好能到达H点，求小滑块刚弹射后的速度最小值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小滑块恰好能到达C点时，对应的小滑块弹射速度大小为，由牛顿第二定律有： 从B点到C点过程中，由动能定理有： 联立解得： （2）由分析知，平板被锁定后，小滑块恰好能滑到 H点速度为零时，对应的弹出速度最小；设小滑块刚弹射时速度大小为v，与平板共速时速度大小为，共速时小滑块到平板左端距离为 x从滑上平板到共速，有： 从共速到恰好到达H点，有： 联立解得： 由于，符合题意，因此小滑块刚弹射后的最小速度为 （建议用时：30分钟） 8. 如图所示，半径为的玩具转盘在转盘中心点固定了一竖直杆，质量为的小球用轻绳和轻杆一起连接在竖直杆上，轻绳与竖直杆上的点相连，轻杆用铰链连接在竖直杆上的点（可绕点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳与竖直方向夹角，轻杆与竖直方向夹角，，，不计摩擦阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当绳上恰好无弹力时，小球的角速度 B．当小球角速度时，杆上弹力 C．当上恰好无弹力时，小球角速度 D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度，小球不会触碰到圆盘 【答案】A 【详解】A．当轻绳上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿杆方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有 解得此时小球的角速度为，故A正确； B．设轻绳AC的弹力为，轻杆BC的弹力为，当小球的角速度时，小球的受力如图所示： 则竖直方向有 水平方向有 联立解得，，故B错误； C．当上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿绳方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有 解得此时小球的角速度为，故C错误； D．假设小球脱离前，轻杆和细绳对小球都有力的作用，小球脱离后做平抛运动，且恰好没有碰到圆盘，则由平抛运动的性质可知，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得小球平抛运动的初速度为 则圆盘转动的角速度为 故假设成立，所以小球在转动过程中忽然脱离，若小球不能碰到圆盘，则圆盘转动的角速度的取值范围为，故D错误。 故选A。 9. 如图所示，一水平圆台绕过其中心的竖直轴以稳定的角速度转动，b、c是圆台上同一条半径上两点，已知，，一可视为质点的物块P与圆台间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)若物块P在圆台上的c点随圆台一起转动，求圆台转动的最大角速度； (2)若圆台转动的角速度很大，物块P自圆台的上方某点Q（图中未画出）自由下落，在b点与圆台发生碰撞，获得竖直方向的速度和水平方向的速度，弹起后再次下落，正好落在圆台上的c点。已知物块P与圆台碰撞前后在竖直方向速度大小不变、方向改变，碰撞时间极短。求Q点距圆台的高度h； (3)若圆台转动的角速度较小，其他条件与第（2）问相同。求圆台转动的最小角速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块P的质量为，在圆台上的c点随圆台一起转动，最大静摩擦力提供物块P做圆周运动的向心力，圆台转动的角速度最大，则 解得 （2）物块P自由下落后，设与圆台碰撞前的速度大小为，则 因为圆台转动的角速度很大，所以物块P与圆台碰撞过程中，物块P因受水平摩擦力获得的水平速度小于圆台b点的线速度；设物块P与圆台碰撞时间为，圆台对物块P在竖直方向的作用力大小为，则物块P与圆台碰撞时，竖直方向有 水平方向有 解得 设物块P从与b点发生碰撞到与c点发生碰撞经过的时间为，沿水平方向的位移大小为，则，， 解得 （3）圆台转动的角速度较小，若，则在碰撞过程中，物块P在b点离开圆台时已经与圆台在水平方向共速，速度大小为，则 物块从b点到c点经过的时间可表示为 则物块在水平方向有 即 该表达式无解，此种情况不成立。若，由于物块P和圆台的运动时间相等，设为，则 即 当时， 不成立。当时， 符合条件，则最小角速度 10. 如图，餐桌上表面离地面的高度，餐桌中心是一个半径为的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的的小物体与圆盘间的动摩擦因数为，小物体与餐桌间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢增大圆盘的转动速度，物体从圆盘上甩出后，在餐桌上做匀减速直线运动，恰好不会滑出餐桌落到地上，g取，不计空气阻力。 （1）为使物体不从圆盘滑到餐桌上，求圆盘的边缘线速的最大值； （2）物体在餐桌上滑行的时间； （3）若餐桌上洒上了油，导致物体与餐桌间的动摩擦因数减小，物体沿桌面匀减速直线运动后落地，落地点距离圆桌中心的水平距离，求此过程桌面对物体做的功。 【答案】（1）；（2）1s；（3） 【详解】（1）对物体，有 解得 （2）在餐桌上有 可得 恰好不会滑出桌面落到地上 可得 恰好不会滑出桌面落到地上 可得 （3）在餐桌上有 物体滑出桌面的过程中 飞出桌面后竖直方向 水平方向 故物体落地时距离圆桌中心的水平距离 解得 则此过程桌面对物体做的功为 11. 如图所示，在区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，，，BC=2d。在顶点处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向区域内各个方向均匀射入比荷为、速率为的带负电的粒子，有的粒子能从边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．边有粒子射出的区域长度为 【答案】D 【详解】A．粒子源射出的粒子有从边射出，，则速度方向与边成角范围内的粒子都能从边射出，如图所示，当粒子速度方向与边成角时，粒子运动轨迹与边相切，其圆心为，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为，又，解得，故A错误； B．所有粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，轨迹为劣弧时对应弦长越短，在磁场中运动时间越短，运动时间最短的粒子对应的弦垂直于，由几何关系可得，轨迹对应圆心刚好在边上，最短时间，故B错误； C．轨迹为劣弧时对应圆心角越大，在磁场中运动时间越长，沿弧运动时时间最长，故，故C错误； D．边有粒子射出的区域为，由几何关系可得，故D正确。 故选D。 12. 如图，长方体区域中。a处的粒子源可在范围内朝各个方向发射速率均为v的同种粒子，粒子比荷为k。该区域仅存在由a指向的匀强电场E时，粒子均落在矩形范围内；该区域仅存在由a指向的匀强磁场B时，粒子均通过边。不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区区域运动过程中（　　） A．E的量大值为 B．E的大小可能为 C．B的大小可能为 D．B的大小可能为 【答案】BD 【详解】AB．只有电场时，粒子做类平抛，根据运动学规律则有， 由牛顿第二定律可得 解得 故有 联立解得 即E的最小值为，A错误，B正确； CD．只有磁场时，粒子均通过ab边，则沿ad射出的粒子恰与cd相切，半径 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 13. 如图所示，光滑水平桌面上有边长为的正方形区域，区域内存在竖直向下的匀强磁场，在边的中点有一粒子发射源，可以沿与成角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，已知粒子的比荷为，磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　） A．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 B．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小满足 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足 【答案】BC 【详解】 洛伦兹力提供向心力有 可得 由题意作出带电粒子以不同速度在磁场中的运动轨迹示意图，如图所示。 A．当粒子从边射出，粒子的运动轨迹恰好与ad边相切时，如图曲线Ⅱ，根据几何关系有 解得 则 所以若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 ，故A错； B．粒子从边射出，粒子的运动轨迹恰好与dc边相切时，如图曲线Ⅰ，根据几何关系有 解得 则 结合选项A的结果可得当，即时，粒子可以从边射出，故B正确； C．根据和 可得 则粒子在磁场中的运动时间为 如图曲线Ⅱ或Ⅲ，当，粒子在磁场中运动的最长时间为，故C正确； D．粒子的运动轨迹恰好与dc边相切，如图曲线Ⅰ，此时粒子轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 粒子的运动轨迹恰好与bc边相切，如图曲线Ⅵ，此时粒子轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足即，故D错误。 故选BC。 14. 如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分别为和的半圆盒和围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、带电荷量为的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度为0，经电场加速后沿的中垂线从极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏上。已知加速电压为（未知）时，粒子刚好打在荧光屏的中点处。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且打到半圆盒上的粒子均被吸收。 (1)求加速电压的大小。 (2)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的取值范围。 (3)若调节加速电场的方向与粒子发射速度和角度，使粒子恰好打在中点处，求粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子垂直于射入，恰好垂直打在中点处的运动轨迹如图甲所示，设其运动轨迹半径为，则由几何关系知 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 当粒子在电场中时，由动能定理得 联立解得 （2）当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时，运动轨迹如图乙所示，此时粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最大速度为，粒子在电场中，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时运动轨迹如图丙所示，粒子在磁场中运动的半径有最小值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最小速度为，粒子在电场中，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 故加速电压的取值范围为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 可知速度大小与入射角度不影响粒子在磁场中运动的周期。设中点为Q，粒子从P点运动到Q点，轨迹对应圆心角越小，所用时间就越短。当粒子运动轨迹与半圆盒相切时，对应圆心角最小，设轨迹半径为，轨迹圆心为，如图丁所示 则由几何关系有 解得 则 则 所以粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值为 （建议用时：40分钟） 15. 如图所示，平面内有一个半径为的圆柱区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度。现有一簇粒子以速度，方向竖直向上垂直磁场进入柱形区域（粒子的射入范围等于柱形区域的直径且分布均匀，但是粒子进入矩形磁场时分布不均匀），粒子的比荷，不考虑粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．射入柱形区域的粒子均由点射入矩形区域 B．进入矩形区域的粒子在边射出的长度为 C．进入矩形区域的粒子运动的最长时间为 D．由边射出的粒子数与进入矩形区域的粒子数之比为 【答案】ACD 【详解】A．由于粒子束由下方平行射入，且分布均匀，由洛伦兹力提供向心力得 可得粒子轨迹半径为 根据磁聚焦原理可知，粒子均由点射入矩形磁场，故A正确； BC．粒子由边射出矩形边界的速度方向如图所示 由于切点是边的中点，且和的长度均为，平行于，为弧的圆心，根据勾股定理可得 同理可证弧为半圆，也是在矩形磁场中运动时间最长的粒子，由几何关系可得 则进入矩形区域的粒子在边射出的长度为 进入矩形区域的粒子运动的最长时间为，故B错误，C正确； D．由边射出的粒子轨迹如图所示 由射入的粒子经过矩形磁场区域在边射出，为圆形磁场的圆心，为A点入射的粒子轨迹的圆心，，，，，，则， 由边射入的粒子占总粒子数的，故D正确。 故选ACD。 16. 如图所示，一游戏装置安装在水平台面上，由高度h可调的斜轨道AB、两竖直半圆轨道DFO和平直轨道OE组成（略错开）。已知CB长，小圆轨道半径，大圆轨道半径，两半圆轨道和BD段均光滑（BD间距），滑块与AB、OE之间的动摩擦因数均为。游戏时滑块从斜轨道AB的顶端由静止释放，滑块质量，可视为质点，重力加速度g取，忽略空气阻力，各部分平滑连接。 (1)若，求： ①滑块在斜面上的加速度； ②滑块经过D点对圆轨道的压力； (2)若要求滑块不脱离圆轨道，求： ①释放高度h应满足的要求； ②若某次游戏恰能过最高点且OE长度可调，滑块在平台上的落点距D的最大距离x。 【答案】(1)①②，方向竖直向下 (2)①或② 【详解】（1）设斜面倾角为，若 则 根据牛顿第二定理有 得 求得 ②设斜面长度为L,滑块由A点运动到D点的过程，由动能定理得 其中 设滑块经过D点时所受支持力大小为，则 联立得 根据牛顿第三定理，得 方向竖直向下。 （2）①若滑块恰好通过大圆轨道最高点，则 得 滑块从A点到大圆轨道最高点的过程，根据动能定理有 联立解得 若滑块在大圆轨道上运动恰好通过与大圆圆心等高处，则滑块从A点运动到大圆轨道上与大圆圆心等高处的过程，由动能定理得 得 若滑块刚好能沿斜面下滑，则 即 此时 所以释放高度h应满足或。 ②设OE的长度为，则滑块由轨道最高点到离开OE轨道的过程，由动能定理得 滑块离开OE后开始做平抛运动，设滑块在平台上的落点距D的距离为，则有， 联立得 设 则 则 当时，即时，有最大值，最大值为。 17. 如图所示，倾角的绝缘倾斜传送带长，以的速度顺时针匀速转动，传送带与半径可调的绝缘竖直光滑圆弧轨道平滑连接，其中段为光滑管道，对应圆心角点所在半径始终在竖直方向上，过点的竖直虚线右侧空间（包含虚线边界）存在水平向右的匀强电场，电场强度。一带电小物块在传送带最上端处无初速释放后，沿传送带运动。已知小物块的质量、电量，与传送带间的动摩擦因数，整个过程中小物块电量始终保持不变，忽略空气阻力，取重力加速度。 (1)求小物块第一次到达点时的速度大小； (2)当轨道半径，求小物块经过点瞬间对圆弧轨道的压力大小； (3)要使小物块第一次沿圆弧轨道向上运动过程中，不脱离轨道也不从点飞出，求圆轨道半径的取值范围。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）对物体受力分析，由牛顿第二定律得 代入数据得 假设物块与传送带共速，则共速时间，则 则该过程中物块沿传送带下滑的位移为，则 物块与传送带 后，所受摩擦力发生突变，对物块受力分析，由牛顿第二定律得 代入数据得 对两者共速之后物块到点的过程，由运动学公式 代入数据得 （2）对物块在点时受力分析，受重力、电场力和支持力，如下图所示 设电场力和重力的合力为,其方向与竖直方向的夹角为，设此力为等效重力，则由勾股定理 由几何关系 即 即点为接下来做圆周运动的最低点，则过点和圆心的反向延长线，交于圆周点，为等效最高点。 在点，设物体的支持力为，由向心力公式 联立各式代入数据得 由牛顿第三定律可知，小物块经过点瞬间对圆弧轨道的压力大小。 （3）过圆心做直径的垂线交于圆周于点，如下图 则由分析可知，当小物块第一次沿圆弧轨道到达点时，速度为零，小物块不脱离轨道也不从点飞出，由动能定理可知 代入数据得 即圆轨道半径的取值范围为 由分析可知，当圆轨道半径较小时，小物块第一次沿圆弧轨道点时，速度为零，小物块不脱离轨道也不从点飞出，由动能定理可知 代入数据得 即圆轨道半径的取值范围为 假设第一次沿圆弧轨道到达点时, 与轨道之间弹力为零，设此时速度为，则 由动能定理可知 代入数据得 即圆轨道半径的取值范围为 18. 如图所示，半径的光滑半球静止于光滑水平桌面，在半球的顶端点有两个相同的小球，小球可看作质点，取重力加速度大小，刚开始小球用双手固定，点是球心，不计空气阻力。     (1)如图1，现同时将两个小球以的水平初速度向外抛出，求两小球落地瞬间的水平距离（不考虑小球反弹）； (2)如图2，现同时放开双手，求小球离开球面瞬间的速度大小； (3)如图3，若半球质量，小球质量，以初始球心位置为坐标中心，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴建立坐标系，在点只放一个小球，由于轻微扰动，当其由静止向右运动时，求小球在半球球面上运动时的轨迹方程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对于其中的一个小球，水平方向有 竖直方向有 其中 求得 两小球落地瞬间的水平距离为 （2）设小球离开球面瞬间小球与球心的连线与竖直方向的夹角为，在该过程中根据动能定理，有 重力沿半径方向的分力提供向心力，有 求得 （3）设经过时间，小球水平方向的速度大小为，其坐标为，半球的速度大小为，水平方向的位移大小为，二者组成的系统水平方向动量守恒，有 该式对小球在半球面上运动的任意时刻都成立，故 根据几何关系，二者水平方向的位移大小之和满足 以上两式联立，求得 将代入，得 19. 某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道AB，半径的圆弧轨道BCD，长度、倾角为θ的直轨道DE，半径为R、圆心角为θ的圆弧管道EF组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道AB上高度为h静止释放，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE，轨道DE由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a恰好不从滑块b上滑落。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，，取） (1)若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②第一次沿DE上滑的最大高度； ③在DE上经过的总路程。 (2)若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 【答案】(1)①；②0.45m；③2m (2)0.4m 【详解】（1）①对小物块从A到第一次经过的过程，根据机械能守恒定律有 第一次经过点的向心加速度大小为 ②小物块从A到DE上滑最大高度处，设从D到最大高度处的距离为，由动能定理可得 由几何关系可得最大高度 解得 ③小物块在上时，因为，所以小物块每次在上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在上的滑动使机械能损失，最终小物块将在、间往复运动，且易知小物块每次在上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为，根据功能关系有 解得 （2）对小物块从A到的过程，根据动能定理有 解得 方法一：对小物块由牛顿第二定律可得 对滑块b可得 小物块从滑上滑块到滑到滑块最右端时两者恰好共速，用时为，设滑块长度为，则有 联立解得解得 方法二：设滑块长度为时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 20. 如图，在坐标系Oxy内，圆心在O点、半径为R的四分之一圆形区域内无电场也无磁场，其左、右边界与x轴的夹角分别为30°和60°。放置在O点的粒子源，可沿四分之一圆形区域的半径方向发出质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，粒子初速度大小为。所有粒子从圆弧MN进入垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。经过该磁场（磁场区域范围未知）偏转后，所有粒子最终都平行于x轴飞出磁场，并垂直打在右侧的粒子接收板PQ上。粒子重力不计，求： (1)粒子在匀强磁场中运动时间的最小值； (2)粒子打在接收板上的长度； (3)y轴右侧最小磁场区域对应的所有边界方程。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动由牛顿第二定律得 解得 经分析从点进入磁场的粒子在磁场中运动时间最短，对应的速度偏转角，则时间为 又 联立解得 （2）从点进入磁场的粒子圆心在，根据几何关系可得 由于该粒子平行于轴向右射出磁场，则出射点在点正上方处，最终打在粒子接收板的处，根据几何关系可得 从点进入磁场的粒子圆心在，由于该粒子也平行于轴向右射出磁场，则出射点在点正上方处，最终打在粒子接收板的处，根据几何关系可得 所以粒子打在接收板上的长度 （3）其他进入磁场中的所有粒子轨迹圆圆心的轨迹为以为圆心、半径为的四分之一圆，如图中圆弧所示，若想粒子最终都平行于轴飞出磁场，则出射点都在轨迹圆圆心正上方处，把轨迹圆圆心轨迹向上平移就得到了磁场的右边界，即圆心在的圆弧，该圆弧与从点射出的粒子轨迹圆弧和圆弧及轴所围区域即为右侧磁场的最小区域，如图所示 根据几何关系知，圆心的坐标为，右边界圆弧的半径为，则其边界方程为 其中 轨迹圆弧的圆心的坐标为半径为，对应的轨迹方程为 其中，， 圆弧的方程为 其中 21. 某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，I区长度，内有沿y轴正向的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大，现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度沿z轴正向进入I区，经过两个区域分界面上的B点进入II区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点（如图中所示），已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)II区中磁感应强度的大小； (3)II区L的最小长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛规律有， 根据牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）离子在Ⅰ区运动过程，由动能定理可得 解得离子到达B点时速度的大小为 离子在Ⅱ区类，做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如下图所示 设临界圆轨迹半径为r，根据几何知识有 解得离子的轨迹半径为 离子沿y轴正方向的速度为 则根据洛伦兹力提供向心力有 解得Ⅱ区中磁感应强度大小为 （3）离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为 离子在z轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得 联立解得Ⅱ区的长度为（，，） 当时，II区的最小长度为 22. 一游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接，直轨道的左边平滑连接一光滑曲面轨道。长为L、质量为M的平板紧靠光滑且足够长的固定凹槽EFGH放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从光滑曲面轨道h高度处由静止释放，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知，，，平板与滑块间的动摩擦因数滑块视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)若滑块恰好能通过圆形轨道最高点C点，求释放点的高度h； (2)滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速的过程中系统损耗的机械能； (3)要使滑块能到达H点，求释放点的高度范围。 【答案】(1)1.25m； (2)0.625J； (3)1.44m<h<2.16m 【详解】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C点时 从滑块由h高度处释放到C点过程，根据动能定理 mg（h-2R)= 解得 h=1.25m （2）滑块由h高度处释放到B点，机械能守恒 mgh= 平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒 根能量守恒 联立解得 0.625J （3）①设滑块以最小速度v1滑上平板，对滑块平板动量守恒有 系统能量守恒 当平板到达HG锁定后，滑块继续向右减速，有： 从释放到E点，滑块机械能守恒，有 联立解得 ②设滑块以最大速度v3滑上平板，当滑到平板最右端时刚好共速，系统动量守恒，有： 系统能量守恒 从释放到E点，滑块机械能守恒，有 联立解得 故释放点的高度范围 1.44m≤h≤2.16m 23. 一游戏装置如图所示，图中P为弹射装置，AB为倾角的倾斜直轨道，BC为水平轨道，C、D分别为竖直圆轨道的最低点和最高点，竖直圆轨道与水平轨道相切于C点，CE为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接，以A点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。已知：圆轨道半径R=0.3m，轨道AB长为，轨道BC长为。通过调节弹射装置P在坐标平面内的位置以及小滑块水平弹出的初速度，使滑块均能无碰撞从A点切入轨道AB，滑块与AB、BC段间动摩擦因数均为，其余各段轨道均光滑。滑块质量为m=0.3kg，滑块可视为质点，，，重力加速度大小为。 (1)若滑块从纵坐标y=0.9m的某点弹出： （ⅰ）求滑块弹出时的初速度大小； （ⅱ）试通过计算判断滑块能否通过圆轨道的最高点D。 (2)若滑块从A点切入后，能进入竖直圆轨道且第一次在圆轨道上运行时不脱离圆轨道，则滑块弹出时所处位置的纵坐标y应满足什么条件？ 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）滑块可以通过圆轨道最高点D (2)见解析 【详解】（1）（ⅰ）滑块从P点弹射到A点的过程中做平抛运动，在竖直方向上有 解得 根据平抛过程中速度夹角的正切值为位移夹角正切值的2倍关系，有 代入数据解得 平抛运动水平方向上做匀速运动 解得 （ⅱ）从P点到D点根据动能定理有 解得 滑块恰好通过圆轨道的最高点D的条件满足 解得 由于 所以滑块可以通过圆轨道最高点。 （2）滑块不脱离圆轨道分两种情况： 第一种，当滑块恰好通过圆轨道的最高点D的时，有 解得 从P点到D点根据动能定理有 根据运动的分解，在A点有 从P点到A点，滑块下落的高度 联立解得 第二种，当滑块到达与圆心等到的位置时，根据动能定理有 又因为 以及 联立解得 此外滑块还要能进入圆轨道，从P点到C点根据动能定理有 又因为 以及 联立解得 综上可知，或。 24. 如图所示为某游乐场中一滑道游乐设施的简化模型，为检测该设施的安全性，现让一假人乘坐仿制车模型（均可视为质点）从倾斜滑道的顶端点由静止开始滑下，已知假人和车模的总质量为，倾斜滑道与半径的圆形光滑滑道相切于点。人车模型从点进入圆形滑道后恰好能通过滑道的最高点，圆形滑道在最低点处略有错开，人车模型进入水平轨道后滑上与点等高的质量为的滑槽。滑槽开始时静止在光滑的水平地面上，部分长度为部分为半径的四分之一光滑圆弧轨道。人车模型与倾斜轨道和水平轨道间的动摩擦因数均为，人车模型与滑槽之间的动摩擦因数为，水平轨道长为与的夹角，重力加速度取，不计空气阻力以及轨道连接处的机械能损失。求： (1)人车模型通过圆形轨道最低点处时，轨道对人车模型支持力的大小； (2)倾斜轨道的长度； (3)若人车模型始终不脱离滑槽，则人车模型与滑槽段的动摩擦因数的最小值。 【答案】(1) (2) (3)0.15 【详解】（1）人车模型恰好通过轨道的最高点可得 从圆形轨道最高点到点，由动能定理可得 得 在点，由牛顿第二定律可得 （2）人车模型从到，由动能定理可得 得 （3）人车模型从到，由动能定理 得 对人车模型与滑槽，最终二者共速，由水平方向动量守恒 如果滑到最高点，由能量守恒得 得 如果滑到最高点又滑到处，由能量守恒得 得 因此，若人车模型始终不脱离滑槽，动摩擦因数的最小值是0.15。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重难03曲线运动中的临界与极值 内容导航 ◆速度提升 ◆技巧掌握 ◆手感养诚 ☑重难考向聚焦 锁定目标精街打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 ☑重难技巧突破 授予利器瓦解滩点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 ☑重难保分练 稳扎稳灯必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础份值 ☑重难抢分练 突破瓶颈争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 囟重滩冲刺练 模拟实战挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 01 重难考向聚焦 平抛运动中的临界与极值 曲线运动中 1.竖直圆周运动（轻绳/轻杆模型 的临界与极 匀速圆周运动中的临界与极值 2,水平园周运动（圆锥摆/转盘模型 值 3.轨道约束模型（如过山车、圆环轨道 1.匀速圆周运动 带电粒子在电磁场中的曲线运动 2.类平抛运动 重难技巧突破 1/16 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一、平抛运动中的临界与极值 1.常见场景 物体从斜面平抛后落到斜面上（临界：刚好落到斜面顶端/底端）： 物体平抛后穿过固定边界（如圆环、挡板，临界：刚好擦过边界）。 2.核心临界条件 位移约束：水平位移=Vot,竖直位移y=gt2,结合几何关系（如斜面倾角0满足tan6=)； 速度约束：刚好擦过边界时，速度方向与边界相切（速度偏角与边界倾角相等）。 二、匀速圆周运动中的临界与极值（选考重点） 1.竖直圆周运动（轻绳/轻杆模型） (1)轻绳模型（无支撑，只能提供拉力） 临界位置：最高点（最易脱离轨道）； 临界条件：绳子拉力.F=0,重力完全提供向心力； 临界速度：mg=m子 ,得Vm=gr(选考必记)： 极值关联：若最高点速度v>gr:绳子有拉力，R十mg=m;若v<√g:物体未到最高点就脱离轨道， 做斜抛运动（选考常考“能否完成完整圆周运动”判断）。 (2)轻杆模型（有支撑，可提供拉力或支持力） 临界位置：最高点； 临界条件：支持力.F=O(速度最小的临界状态)： 最小速度：Vmim=0(选考易与轻绳模型混淆，需明确区分)： 受力方程：速度为0时： Fw=mg(伎持力向上)：速度v>0时：若v<gr,mg-RN=m￥（伎持力）；若 v>g,mg+R,=m号（拉力。 2.水平圆周运动（圆锥摆/转盘模型） (1)圆锥摆模型 临界条件：绳子拉力的水平分力提供向心力，竖直分力平衡重力： 极值问题：求绳子拉力的最小值或最大摆角（选考常结合动能定理考查“从最低点摆到最高点的临界速度”）： 核心方程：Fcos0=mg竖直平衡，F-sin日=m兴（水平向心力），联立得tan日=。 (2)转盘模型（物体在转盘上随转盘转动） 临界状态：物体刚好不滑动（最大静摩擦力提供向心力）： 2/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 药界条件：fNmg==a生时 极值关联：临界角速度：如=√厚（选考常考“转盘角速度多大时物体滑动：临界半径：同一转盘上，物 体离转轴越远红越大)，临界角速度越小，越易滑动（选考多选题常考此规律）。 3轨道约束模型（如过山车、圆环轨道） 临界状态：物体刚好不脱离轨道（轨道支持力F=0): 临界位置：最高点（竖直轨道）或最低点（倾斜轨道，选考拓展）： 核心方程：与轻绳/轻杆模型一致，需注意轨道半径r的几何关系（如过山车轨道半径变化）。 三、带电粒子在电磁场中的曲线运动（选考难点，结合洛伦兹力） 1.匀速圆周运动（仅受洛伦兹） 临界条件：粒子刚好不打在边界上（轨迹与边界相切）： 极值问题：求粒子的最大/最小速度、磁场的最大/最小磁感应强度； 解题关键：洛伦兹力提供向心力：qvB=m兴，得轨道半径r=器 几何分析：通过“轨迹圆心在速度垂线和边界中垂线的交点”确定圆心，利用临界状态的“相切”关系找半径的 极值（如“刚好穿出磁场时，轨迹半径最大”）。 2.类平抛运动（电场力提供加速度，洛伦兹力为零或恒定 临界状态：粒子刚好从极板边缘飞出（竖直位移等于极板间距的一半）： 核心方程：水平方向LVt竖直方向yat2-=器名 03 重难保分练 (建议用时：20分钟) 1.如图所示是排球场地的示意图。排球场ABCD为矩形，长边AD=L,前场区的长度为后，宽AB=专，网 高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点 的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下 列说法正确的是() 3/16 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E L/2 前场区 后场区 B F L/6 A.若在底线CD上方沿垂直AB水平击球，临界高度为碧 B.若在前后场区的分界线的E点正上方水平击球，沿着EB方向击球，临界高度为骋 C.若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为靨L D.若在前后场区的分界线EP正上方的脂界高度沿垂直AB水平击球，击球的速度为合√器 2。如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点平滑相接，导轨半径为R=4m。一个 可视为质点的物体质量为m=1kg,将弹簧压缩至A点后静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速 度后脱离弹簧，之后滑上半圆形导轨，运动到D点时恰好脱离轨道，已知O、D连线和竖直方向O、C 连线夹角为0=60°，g取10m/s2,下列说法中正确的是() C 0 m 00000000000☐ A B A.小球在D点时的速度为2W10m/s B.弹簧释放出来的弹性势能大小为100J C.D点到物体落地点的水平距离为2V3m D.为使物体能从C点飞出，物体到达B处时速度至少为10ms 3.如图所示，同一竖直面内固定半径分别为R和2R的两个光滑绝缘的同心圆环轨道，O为圆心，O ON、OP把竖直面均分成相同的三部分，MOP区域有平行于纸面的匀强电场（区域边界处无电场）， 其中OP竖直。质量分别为m和2m的A、B两个带电小球用长为R的绝缘轻杆固连，分别套在外环、 内环上。最初A、B静止在最高点，现给A、B一点扰动，使两球开始沿顺时针运动，重力加速度大小 为g,则下列说法错误的是() 4/16 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M A,在电场以外的区域运动过程中，A、B球组成的系统机械能守恒 B.运动过程中轻杆对球A始终不做功 C.第一次运动到最低点，若外环对球A的作用力为零，则此时内环对球B的弹力大小为3g D.第一次回到出发点，若A、B对轨道的弹力刚好为零，则电场力做功为mgR 4.如图所示，四分之三圆轨道ABD(内壁、外壁均光滑)被固定在竖直面内，0为圆心，C是轨道上一点， 其中AB部分是圆管，AB是竖直直径，OCOB的夹角为日（为未知量）。一质量为m的小球（可视为 质点)沿光滑水平面，以向左的速度Vo经A点进入圆轨道，恰好到达最高点B,接着在B点受到轻微的 扰动从B到达C时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为g,不计空气阻力以及圆管粗细。下 列说法正确的是() A.圆弧轨道的半径为是 B.的余弦值为 C.小球到达C点时的动能为 D.。小球从C点到达水平面时重力屏时功率为59mg。 5. 如图所示，滑行轨道由水平部分和光滑半圆弧部分组成，水平轨道A点左侧粗糙且足够长，4O.1,A 点右侧光滑，距离圆弧最低点B点距离为L=1。两个物块（均可视为质点）紧靠在A点，质量分别 为M=0.2kg和m=0.1kg,中间填充炸药，引爆炸药两物块可瞬间获得速度向两侧滑去，其中M滑块滑 行距离s=2m,m滑块将冲上圆弧轨道并从C点飞出去落回到水平面，g取10m/s2。 5/16 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ☑ea A (1)炸药引爆后瞬间，两滑块的速度分别是多大？ (2)若圆弧轨道半径=0.2m,滑块滑到C点时对轨道的压力是多大？ (3)若轨道半径r可改变，试判断m滑块从C点飞出后能否落在粗糙轨道部分，并说明缘由。 6. 如图所示，游戏装置由光滑倾斜轨道AB、半径R=2√3m的光滑圆弧轨道BC、长为L=9.Om水平轨道 CD和高为h=3m光滑高台EF构成，倾角为9的直角斜面体紧贴着高台边缘ED,且与高台EF等高。 现将质量m0.5kg的小物块从倾斜轨道上高度为H=4y3m的A处由静止释放，小物块恰好能到达高台 边缘E点。若斜面体向左移动，固定在CD间的任一位置，小物块仍从同一高度H处由静止释放，发 现小物块从斜面体顶端斜抛后也恰好落在E点。己知小物块与水平轨道CD和与斜面体之间的动摩擦 因数均为4，小物块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g=10ms2。 A入m M R 7777777777777777777777777 h (1)求小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小： (2)求动摩擦因数u和斜面体倾角0； (3)在高台EF上放置表面光滑、质量M=2.0kg的“小山坡”，小物块以速度vo-2.0s冲向“小山坡”，设小物 块始终贴着“小山坡”表面运动，求“小山坡”获得的速度。 7.如题图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径R=0.5m的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道 DE平滑连接。EFGH是长度d=10m的固定光滑凹槽，其底部FG水平，侧壁EF、HG竖直。一长度 L=5m、质量m=0.1kg的平板紧靠EF放置，平板上表面与DEH齐平。现将一质量也为m=0.1kg的 小滑块（可视为质点）从弹簧右端弹射，经过轨道BCD后滑上平板，并带动平板一起运动，平板到达 HG处时立即被锁定。已知平板与小滑块之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重 力加速度g取10m/s2,不计空气阻力。 6/16 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 R E A B(D F G ()若小滑块恰好能到达螺旋圆形轨道最高点C,求小滑块刚弹射后的速度大小； (②)要使小滑块恰好能到达H点，求小滑块刚弹射后的速度最小值。 04 重难抢分练 (建议用时：30分钟) 8.如图所示，半径为L的玩具转盘在转盘中心0点固定了一竖直杆，质量为m的小球用轻绳AC和轻杆BC一 起连接在竖直杆上，轻绳AC与竖直杆上的A点相连，轻杆BC用铰链连接在竖直杆上的B点（可绕B点 自由转动)。已知圆盘静止时轻绳AC与竖直方向夹角α=30°，轻杆BC与竖直方向夹角3=45°，AC=L, 0B=L,不计摩擦阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是() A.当绳AC上拾好无弹力时，小球的角速度w一√里 B.当小球角速度w厚时，杆BC上弹力F=+m C.当BC上恰好无弹力时，小球角速度w一厚 D.若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度ω一√是，小球不会触碰到圆盘 9.如图所示，一水平圆台绕过其中心的竖直轴00以稳定的角速度转动，b、c是圆台上同一条半径上两点， 己知0b=L,Oc=2L,一可视为质点的物块P与圆台间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩 擦力。不计空气阻力，重力加速度大小为g。 7/16 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b C (1)若物块P在圆台上的c点随圆台一起转动，求圆台转动的最大角速度ω1： (2)若圆台转动的角速度很大，物块P自圆台的上方某点Q(图中未画出)自由下落，在b点与圆台发生碰 撞，获得竖直方向的速度和水平方向的速度，弹起后再次下落，正好落在圆台上的c点。己知物块P与圆 台碰撞前后在竖直方向速度大小不变、方向改变180°，碰撞时间极短。求Q点距圆台的高度： (3)若圆台转动的角速度较小，其他条件与第(2)问相同。求圆台转动的最小角速度ω2。 10.如图，餐桌上表面离地面的高度h=1.25m,餐桌中心是一个半径为r=2m的圆盘，圆盘可绕中心轴转 动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的 m=1kg的小物体与圆盘间的动摩擦因数为41=045，小物体与餐桌间的动摩擦因数为2=0.3，最大 静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢增大圆盘的转动速度，物体从圆盘上甩出后，在餐桌上做匀减速直线 运动，恰好不会滑出餐桌落到地上，g取10m/s2,不计空气阻力。 (1)为使物体不从圆盘滑到餐桌上，求圆盘的边缘线速Vo的最大值； (2)物体在餐桌上滑行的时间； (3)若餐桌上洒上了油，导致物体与餐桌间的动摩擦因数减小，物体沿桌面匀减速直线运动后落地，落地 点距离圆桌中心的水平距离2√2m,求此过程桌面对物体做的功。 11.如图所示，在△ABC区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，∠A=90°，AC=d,BC-2d。在顶 点A处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向∠CAB区域内各个方向均匀射入比荷为k、速率为V的 带负电的粒子，有亏的粒子能从AB边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是 () 8/16 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 + + A。匀强磁场的慰感应强度大小为 B.粒子在磁场中运动的最短时间为5π则 3v7 C.粒子在磁场中运动的最长时间为⑤πd D.AB边有粒子射出的区域长度为d 12.如图，长方体区域abcd-ab1C1d1中ab=2ad=2aa1=2L。a处的粒子源可在∠bad范围内朝各个方向 发射速率均为v的同种粒子，粒子比荷为k。该区域仅存在由aα指向1的匀强电场E时，粒子均落在 a1b1C1d1矩形范围内；该区域仅存在由a指向1的匀强磁场B时，粒子均通过ab边。不计重力及粒子 间的相互作用，则其中某个粒子在该区区域运动过程中() d 0 d A,E的量大值为瓷 B.E的大小可能为茫 C.B的大小可能为 D.B的大小可能为是 13.如图所示，光滑水平桌面上有边长为L的正方形区域abcd,区域内存在竖直向下的匀强磁场，在ab边 的中点0有一粒子发射源，可以沿与ab成30°角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，己知粒子的 比荷为k,磁感应强度大小为B,下列说法正确的是() 9/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.若粒子从ab边射出，粒子射出的速度大小U< B.若粒子从ad边射出，粒子射出的速度大小满足号U≤2(2-V3)kBL C。粒子在磁场中运动的最长时间为=需 D.从cd边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足霜≤t≤需 14.如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分 别为2a和4a的半圆盒NN2和MM2围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、 带电荷量为十q的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度为O,经电场加速后沿M1N1的中垂线从 极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏NM2上。已知加速电压为Uo(未知)时，粒子刚好打在荧光屏 NM的中点处。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且打到半圆盒上的粒子均被吸收。 Vo M N. M, U。 + (I)求加速电压U0的大小。 (2)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的取值范围。 (3)若调节加速电场的方向与粒子发射速度和角度，使粒子恰好打在NM2中点处，求粒子在磁场中运动的最 短时间所对应圆心角的正弦值。 09 重难冲刺练 (建议用时：40分钟) 10/16