专题06 直线与圆、圆锥曲线-江苏省职教高考五年（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题06 直线与圆、圆锥曲线 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 直线与圆 两点间距离公式及中点公式 √ 直线的倾斜角和斜率 √ 直线的方程 √ 两条直线的位置关系 √ 点到直线的距离公式 √ 圆的方程 √ 直线与圆的位置关系 √ 直线与圆的方程的实际应用 √ 考点01 直线与圆 1.（2023江苏省职教高考数学真题）小明将一张坐标纸折叠一次，发现点与点重合，则折痕所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】折叠后点A与点B重合，说明折痕是线段AB的垂直平分线。因此需先求AB的中点坐标，再求AB的斜率，进而得到折痕的斜率，最后用点斜式求直线方程。 【详解】中点为，，所求直线为中垂线， 方程为，即 故选：D 2.（2024江苏省职教高考数学真题）若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先设的中点坐标为，根据题意，得到中点所在直线方程，由圆上的点到直线的距离的最值情况即可得解. 【详解】设的中点坐标为， 因为，，所以，即， 又，，分别在直线和直线上移动， 所以，两式相加得， 所以，即即为中点所在直线方程， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到P点的最小距离为. 故答案为：. 3.（2022江苏省职教高考数学真题）圆上任意点P到直线的最小距离是 . 【答案】 【解析】 【分析】先将参数方程转化为普通方程，确定曲线类型，再结合点到直线的距离公式，利用三角函数的最值求解最小距离。 【详解】 由参数方程（为参数），消去参数： 因此，曲线是以为圆心，半径的圆。 直线方程为，根据点到直线的距离公式，圆心到该直线的距离为： 圆上点到直线的最小距离=圆心到直线的距离-圆的半径，即： 故答案为： 4.（2021江苏省职教高考数学真题）以抛物线的焦点为圆心，且与直线（t为参数）相切的圆的标准方程是 . 【答案】x2+（y﹣1）2＝1 【解析】 【分析】根据抛物线的标准形式求出焦点坐标（即圆心坐标）,将直线的参数方程化为普通方程； 利用圆与直线相切的条件（圆心到直线的距离等于半径），求出圆的半径，进而写出圆的标准方程。 【详解】抛物线的焦点（0，1），直线（t为参数）的普通方程为： x﹣y﹣1＝0， 由题意可得r＝＝1， 所以以抛物线的焦点为圆心，且与直线（t为参数）相切的圆的标准方程是 x2+(y﹣1)2＝1． 故答案为：x2+(y﹣1)2＝1． 内容 要求 A B C 圆锥曲线 椭圆的标准方程和性质 √ 双曲线的标准方程和性质 √ 抛物线的标准方程和性质 √ 坐标轴平移 √ 考点01 双曲线 1.（2025江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】的最小值即焦点到渐近线的距离，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可得出结果. 【详解】对于双曲线， 这里，则， 右焦点，渐近线方程为. 最小值即焦点到渐近线的距离， 取渐近线，即， 则到该渐近线的距离， 所以最小值为. 故选：B. 2.（2024江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的一条渐近线方程是，且该双曲线的一条准线和抛物线的准线重合，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线渐近线方程得到，再利用双曲线与抛物线的准线重合得到，从而代入求得，由此得解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即， 抛物线可化为，其准线为， 可得双曲线的准线，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则该双曲线的标准方程为. 故选：A. 3.（2022江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得与的值，结合条件求解和，则双曲线方程可求. 【详解】因为双曲线的焦距为2，所以， 由双曲线的一条渐近线与直线垂直，得， 又 所以，即， 则， 所以双曲线的方程为， 故选：B 4.（2021江苏省职教高考数学真题）已知双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+3＝0平行，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】先根据双曲线的渐近线方程形式，结合“渐近线与已知直线平行”的条件，得到的值； 再利用双曲线中的关系，结合离心率公式计算离心率。 【详解】 双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+3＝0平行，可得＝2， 所以e＝ 故选：D． 考点02 抛物线 1.（2025江苏省职教高考数学真题）以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆圆心坐标，再根据抛物线的焦点坐标写出标准方程即可． 【详解】由圆的一般方程为，所以圆心为，所以抛物线的焦点为， 故抛物线的焦点在轴负半轴，开口向左， 设抛物线的标准方程为，且， 所以，所以抛物线标准方程为． 故答案为：. 2.（2023江苏省职教高考数学真题）经过圆的圆心的抛物线标准方程是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心坐标； （2）根据“抛物线过该圆心”，结合抛物线的标准方程形式，确定抛物线的方程。 【详解】圆标准方程， 设抛物线方程或，圆心在抛物线上， 或，∴抛物线方程为或 故答案为：或 考点03 圆锥曲线综合 1.（2025江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 【答案】（1）， （2）证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）由椭圆准线方程列出式子解得，进而得到椭圆方程和离心率； （2）分情况设出直线方程，联立椭圆方程，根据向量的垂直坐标表示结合韦达定理求出直线，即可得出直线过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的长轴长为4，即，所以． 其右准线方程，其中，解得，， 即离心率，椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 已知，设， 当直线斜率存在时，设直线的方程为． 联立直线与椭圆方程，得：， 展开并整理得． 由韦达定理可得． 因为，以为直径的圆恒过点， 所以，则． 将代入上式得：， 整理得， 把代入上式： ， ， ， 即，因式分解得， 因为异于点，所以，解得． 所以直线的方程为，恒过定点． 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由可得，又， 联立求解发现无解，这种情况不成立． 综上，直线过定点． 2.（2024江苏省职教高考数学真题）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆，点在椭圆D上，射线交椭圆C于点N． ①求点N的坐标； ②若直线l与椭圆C有两个交点E、F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：的面积是定值． 【答案】（1） （2）① ②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程中，可得a与b的关系，由离心率公式可得a与c的关系，再由椭圆中的即可求解椭圆的标准方程. （2）①先求出点M的坐标，再求出直线OM的方程，设出点N的坐标，再由点N在椭圆C上，代入椭圆C的方程即可求解点N的坐标. ②分为直线斜率存在和不存在两种情况讨论，求解三角形的底边和高，计算即可得到定值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以有①， 又因为离心率为，所以有②， 又因为在椭圆中③，将②代入③中有④， 将④代入①中有，解得，所以， 所以椭圆. 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以椭圆，点代入D得 解得，所以，则， 因为射线交椭圆C于点N， 所以点N点在第一象限，所以，， 设，N在椭圆C上，则，解得， 又因为，所以，所以，. ②（i）当直线l斜率不存在时，轴，且与椭圆相切，如图一， ， 当时，，解得， 设,,所以，所以, 当时，，解得， 设,,所以，所以 （ii）当直线l斜率存在时，设l：，，，如图二， 因为l与椭圆D相切，所以，联立得， ， ，可得， ，联立得， 由， 所以，， ， 点O到l的距离是， ， 综上，的面积是定值． 3.（2023江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的四个顶点围成得四边形周长为，离心率为 (1)求椭圆的标准方程 (2)不垂直于轴的直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于两点，点的坐标为，证明：直线与直线的斜率之和等于零 【答案】（1）椭圆方程为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 【小问1详解】 （1），解得， ∴椭圆方程为； 【小问2详解】 证明：椭圆方程为的焦点， 设直线方程为，， 消去得， ，， ， ∴直线与直线的斜率之和等于零. 4.（2022江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的右准线方程为，且该准线截抛物线所得的弦长为8． （1）求抛物线的标准方程； （2）若椭圆的右顶点和抛物线的焦点重合． ①求椭圆的标准方程； ②过点M（－3，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点D，证明，直线AD过定点． 【答案】（1）. （2）① ②过定点证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的标准方程即可得解. （2）①由椭圆的标准方程及准线方程即可得解. ②由韦达定理及利用直线与椭圆的位置关系即可得解. 【小问1详解】 将代入抛物线. 解得. 即直线与抛物线两交点为,截得弦长为. 解得或. 所以抛物线的标准方程为:. 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线的焦点为,所以. 又因为椭圆右准线方程为解得. 所以. 所以椭圆标准方程为. ② 证明:由已知条件可知直线斜率存在,设其方程为,设，,则. 由得. 所以. 由. 可得. 因为三点共线,所以. 又因为,. 则. 所以. 即. 则. 得. 解得. 经检验满足式. 所以直线的方程为. 所以直线过定点. 5.（2021江苏省职教高考数学真题）已知椭圆的离心率为． （1）证明：； （2）若点在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ． ①求直线l的方程； ②求椭圆C的标准方程． 【答案】（1）证明见解析 （2）椭圆方程为 【解析】 【分析】 【小问1详解】 证明：由题意，∴，即：2a2＝3c2＝3（a2﹣b2） ∴a2＝3b2，可得； 得证． 【小问2详解】 ①由（1）可得方程为，即x2+3y2＝3b2， ∵当在内部， ∴<3b2， ∴ 设直线与椭圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 可得3b2……①； 3b2……②； 由①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣3（y1+y2）（y1﹣y2）； ∵M为线段PQ的中点， ∴ 由点斜式可得直线l的方程为x-,x-y-=0 ②联立，把直线方程代入椭圆方程得：x2+9（x﹣1）2＝3b2， 即：10x2﹣18x+9﹣3b2＝0． ∴x1+x2=,x1x2= 又∵OP⊥OQ，而, ∴·=+=+· 即4x1x2﹣3（x1+x2）+3＝0③ 将x1+x2，x1x2代入③ 解得b2＝1符合题意．a2＝3． ∴椭圆方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $真题分类汇编 中职高考复习 A职教 zhijiao.xkw.com 专题06直线与圆、圆锥曲线 抓考纲知考情 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 要求 内容 B 两点间距离公式及中点公式 √ 直线的倾斜角和斜率 √ 直线的方程 直线与圆 两条直线的位置关系 点到直线的距离公式 √ 圆的方程 直线与圆的位置关系 直线与圆的方程的实际应用 考点01直线与圆 1.(2023江苏省职教高考数学真题)小明将一张坐标纸折叠一次，发现点A(6,3)与点B(2,5)重合，则折 痕所在的直线方程是() Ay=x+2 B,y=-x+6 Cy=-2x+12 D y=2x-4 2.(2024江苏省职教高考数学真题)若动点M(x,y1),N(x2,y2)分别在直线(：x-y+4=0和直线 2:x-y+8=0上移动，点P是线段MN的中点，则圆(x-2)2+y2=1上的点到P点的最小距离是 x=cos0-1 3.(2022江苏省职教高考数学真题)圆{ 0为参数)上任意点P到直线x+y-1=0的最小距 y=sin0 离是 x-ft 4.(2021江苏省职教高考数学真题)以抛物线y=x2的焦点为圆心，且与直线 (y=t-1(t为参数) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 真题分类汇编 中职高考复习● ⊙A职教 zhijiao.xkw.com 相切的圆的标准方程是 抓考纲·知考情 要求 内容 A B C 椭圆的标准方程和性质 √ 圆锥曲线 双曲线的标准方程和性质 抛物线的标准方程和性质 坐标轴平移 考点01双曲线 1.(2025江苏省职教高考数学真题)已知双曲线C:上-上=1的右焦点为F,点P在双曲线C的渐近线 63 上，则PF的最小值是() A√2 B.3 c.√6 D.3 三@方行限数车专等真图》已如双面收号会-a>060的一条新近线方程是y 3t, 1 且该双曲线的一条准线和抛物线y=一x2的准线重合，则该双曲线的标准方程是() A.2 x2 =1 B.x2 =1 C.y2_x2 =1 D.--1 412 124 3 3 B2022江苏省职教高考数学真题)已知双曲线子-片=(@>0,6>0)的焦距为20，且双曲线的一为 渐近线与直线3x+y=0垂直，则双曲线的方程为() Ax2-上2 =1 B. 9 9y2=1 c-=1 D.x2 y2 =1 165 515 4(2021江苏省职教高考数学真题)已知双曲线号-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2xy43=0 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 ⊙AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 平行，则该双曲线的离心率是() A.2 B.5 C.2 D.5 考点02抛物线 1.(2025江苏省职教高考数学真题)以圆x2+4x+y2=0的圆心为焦点的抛物线的标准方程是一· 2.(2023江苏省职教高考数学真题)经过圆x2+y2-2x-4y+1=0的圆心的抛物线标准方程是一· 考点3圆锥曲线综合 1225江苏有职教底考数学真圈》已如画C:。+茶=1@>b>0的长销长为4，且右准线方程为 43 x= 3 (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)设P为椭圆C的上顶点，A、B为椭圆C上异于点P的任意两点，以线段AB为直径的圆恒过点P,证 明：直径AB过定点，并求定点坐标. 。2024江苏省职教倍技学真图圆C千+片口>6>0)过点(2，-少，且离心幸为修 (1)求椭圆C的标准方程； 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题·分类汇编 中职高考复习 A职教 zhijiao.xkw.com 2x22y2 (2》设稀圆D:行+产=1，点M1,0>0)在椭圈D上，射线OM交椭图C于点N ①求点N的坐标； ②若直线1与椭圆C有两个交点E、F,且与椭圆D有且仅有一个交点.证明：△EOF的面积是定值. 3.(2023江苏省职教高考数学真题)已知椭圆C:登+器=1(a>b>0)的四个顶点围成得四边形周长为 85,离心率为号 (1)求椭圆C的标准方程 (②)不垂直于x轴的直线1过椭圆C的上焦点F,且与椭圆C交于AB两点，点M的坐标为(0,4)，证明：直线 AM与直线BM的斜率之和等于零 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题·分类汇编 ⊙AI职教 中职高考复习● zhijiao.xkw.com 4(2022江苏省职教高考数学真愚)已知椭圆C:X+y 日+分=1(a>b>0)的右准线方程为x=4,且该准线 截抛物线C,:y2=2px(p>0)所得的弦长为8√2. (1)求抛物线C,的标准方程； (2)若椭圆C的右顶点和抛物线C,的焦点重合. ①求椭圆C的标准方程； ②过点M(一3,0)的直线1与椭圆C交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为点D,证明，直线AD过 定点. 5(2021江苏省职教高考数学真题)已知椭圆C,黑y a262 1(a>b>0)的离心率为V6 (1)证明：a=√3b: (②若点品，号)在瑞图C内部过点M的直线I交椭题C于R,Q两点，M为线段0的丰 10 点，且OP⊥O0. ①求直线1的方程； ②求椭圆C的标准方程 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 真题分类汇编 中职高考复习 A职教 zhijiao.xkw.com 9 x1+825’x1x2 9-3b2 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6