专题07 数列-江苏省职教高考五年（2021-2025）《数学真题分类汇编》

null 专题07 数列 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 数列 数列的概念 √ 等差数列 √ 等比数列 √ 数列的实际应用 √ 考点01 等差数列 1.（2025江苏省职教高考数学真题）若数列的前项和为，则_____． 【答案】27 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系，分析求解即可. 【详解】由数列前项和与通项的关系可得： ， 因为， 所以， 所以． 故答案为：. 2.（2024江苏省职教高考数学真题）在数列中，，则数列的通项公式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倒数法证得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 易知，所以，则， 又，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 考点02 等比数列 1.（2023江苏省职教高考数学真题）正项等比数列的前项和为，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正项等比数列的通项公式与前n项和公式，核心思路是先由已知条件求出公比q，再代入前n项和公式计算. 【详解】， ∵，∴， 解得 或（舍）， 故答案为： 2.（2022江苏省职教高考数学真题）在正项等比数列{}中，若是方程的两根，则的值是 . 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等比数列性质与对数运算结合的题目。利用等比数列的“等积性”并结合韦达定理求出；利用对数的运算性质（），将所求式子转化为关于的对数，计算最终结果。 【详解】因为是方程的两个解. 由韦达定理可知:. 由等比数列的性质可得. 由对数的运算公式可得. 故答案为:. 3.（2021江苏省职教高考数学真题）已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值 是 ． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】∵等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列， ∴2×4a2＝16a1+a3，+ ∴+， 整理得：q2﹣8q+16＝0， 解得q＝4． 故答案为：4． 考点03 等差数列与等比数列的综合运用 1.（2025江苏省职教高考数学真题）已知等差数列的首项且满足. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. （3）若数列满足，且.证明：数列是等比数列，并求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式即可得解. （）根据，利用求和公式的定义列出式子即可得解. （）根据递推关系得出，构造辅助数列，结合等比数列的定义及求和公式与等差数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的首项，公差为，因为， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以， 【小问3详解】 因为，所以， 令， 则， 又，所以， 则数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 所以 ， 2.（2024江苏省职教高考数学真题）已知等差数列的前n项和为，20是与的等差中项，且． （1）求数列的通项公式； （2）设． ①求数列的前n项和; ②若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出关于的方程组，从而得解； （2）①利用裂项相消法即可得解；②先化简，再利用等比数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 因为等差数列的前n项和为，20是与的等差中项，， 所以，即，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ①由（1）得， 所以； ②由①得，， 所以. 3.（2023江苏省职教高考数学真题）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式 (2)设，数列的前项和 证明： 求数列的前项和 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用=−（n≥2）的关系，将已知条件转化为递推式，进而判断数列类型;（2）先求的表达式，再计算前n项和。 【小问1详解】 由题意，， 时，， 时，， 化简得，即为常数， 数列是公比为2的等比数列，; 【小问2详解】 ，， 为常数，数列是公差为2的等差数列， ， ①， ， ∴； ②， , , 两式相减得 , ∴. 4.（2022江苏省职教高考数学真题）已知数列{}是正项数列，且． （1）求数列{}的通项公式； （2）设，求数列{}的前n项和； （3）设，数列{}的前n项和记为，证明． 【答案】（1） （2）. （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式即可得解. （2）由等差数列的通项公式及前项和公式即可得解. （3）利用等比数列的前项和公式,指数幂公式进行化简即可得解. 【小问1详解】 由题意当时,通过作差法可得 经检验当时,符合题意 所以 又因为是正项数列 所以. 综上所述:. 【小问2详解】 因为 所以为等差数列. 所以 所以 【小问3详解】 因为. 所以为等比数列. 所以. 所以. 5.（2021江苏省职教高考数学真题）已知数列{an}满足a1＝2且an+1＝3an+2n﹣1（n∈N*）． （1）求证：数列{an+n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）= 【解析】 【分析】对于(1)：通过对递推式变形，构造出“”与“”的倍数关系，结合等比数列的定义证明； 对于(2)：利用(1)中证明的等比数列的通项公式，变形得到的通项； 对于(3)：将的通项拆分为等比数列和等差数列的和，分别用等比、等差数列求和公式计算，再合并得到前项和。 【小问1详解】 已知，对其变形： +(n+1)=3++n+1=3(+n),因此（常数）。 又因为，所以。 根据等比数列的定义：首项为、公比为的数列是等比数列。 【小问2详解】 由(1)知，是首项为、公比为的等比数列，根据等比数列通项公式： =3 移项得的通项公式： 【小问3详解】 等比数列的前项和： 等差数列的前项和： 因此： = 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $