专题03 函数的概念、表示及性质-江苏省职教高考五年（2021-2025）《数学真题分类汇编》

null 专题03 函数概念、表示及性质 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示） 内容 要求 A B C 函数 函数的概念 √ 函数的表示法 √ 函数的单调性 √ 函数的奇偶性 √ 考点01 分段函数的概念及其表示 1.（2022江苏省职教高考数学真题）已知函数，其中，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的定义即可得解. 【详解】 . 所以. 故选:. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知函数若关于的方程恰有3个不同的解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】函数解析式作出图像结合题意即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出图像， 令，显然是单调函数， 则方程变为， 有图可知，当时，方程有三个解，即方程有三个解， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知函数，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次函数与指数函数的性质，作出的大致图象，再分别求得与 对应的值，从而结合图象得到m,n的范围，进而得解. 【详解】当时，， 当时，， 利用二次函数与指数函数的性质，作出的大致图象，如图， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 因为在区间上的值域为， 结合图象可得或， 所以当时，；当时，； 综上，，即的取值范围为. 故答案为：. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）对于任意实数，定义，设函数，则函数的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题需要先分析函数和的图象与性质，找到它们的交点，再根据的定义确定的表达式，进而求出最小值。 【详解】令，通过分析函数单调性可知，当时，，；当时，，，所以交点为 时，，；时，； 时，，∴的最小值为 5.（2022江苏省职教高考数学真题）已知函数的值域为R，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 【分析】要使分段函数的值域为，需保证：各分段函数在对应定义域内的取值范围能覆盖全体实数；左段（）的最大值需不小于右段（）的最小值，确保两段值域衔接后能覆盖。 【详解】当时，。 因为在上单调递增，所以，进而。 即右段函数的值域为。 当时，是一次函数， 要让左段能取到小于的所有实数（与右段衔接覆盖）， 左段需是增函数，因此一次项系数大于： 右段最小值为，因此左段在处的“极限值”（代入）需不小于： 化简得： 结合）和，得实数的取值范围是 故答案为： 6.（2021江苏省职教高考数学真题）已知函数，若其图象上存在互异的三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），使得，则实数k的取值范围是　 　． 【答案】（﹣1，0） 【解析】 【分析】 【详解】画出函数f（x）的图象如下图， 由题意得函数图象上存在互异的三个点，且＝＝＝k， 则可看做函数y＝kx与函数f（x）的图象有三个不同的交点， 由图知，当k＝﹣1或k＝0时，有且仅有两个交点， 要使两个图象有三个不同的交点，则k的取值范围为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 考点02 函数的性质 1.（2021江苏省职教高考数学真题）已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0则的最小值是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】∵奇函数f（x）是定义在R上的单调函数， ∴由f（2a）+f（b﹣4）＝0得f（2a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b）， 则2a＝4﹣b，得2a+b＝4，即2a+2+b＝6， 则 当且仅当＝，即b2＝4（a+1）2时取等号， 即的最小值是， 故选：B． 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. （1）求实数的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】（1） （2）奇函数 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合（1）中结论，利用奇函数的判定方法，结合指数的运算法则即可判断. 【小问1详解】 因为，所以函数在上单调递增， 则在上的最小值为，最大值为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 是奇函数，理由如下： 由（1）知， 则，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. （1）求实数b的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数a的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件求得当时，的解析式，进而代入点，从而得解； （2）利用（1）中结论即可得解； （3）分类讨论与两种情况，令即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 又当时，， 所以当时，，则， 因为点在函数的图象上， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1），得， 所以当时，； 当时，； 故. 【小问3详解】 当时，由，得， 即，即，无解； 当时，由，得， 即，即，解得或（舍去）， 所以. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知二次函数是定义在内的偶函数，且 (1)求得解析式 (2)若方程有两个相等得实数解，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于二次函数的偶函数问题，需利用偶函数的定义（对定义域内所有成立）和偶函数定义域的对称性（定义域关于原点对称）来建立方程，进而求解参数。 【详解】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （1）由题意，解得 ； （2），， 有两个相等的实数解， ，解得，此时方程的解. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）若二次函数满足，且是偶函数． （1）求的解析式； （2）若在区间上，函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）需要利用二次函数的性质，结合已知条件和是偶函数来建立方程，求 解参数和； （2）将“函数图象恒在直线上方”转化为不等式恒成立问题，通过求函数在区间上的最小值来确定 的取值范围。 【详解】 【小问1详解】 设，展开可得： g(x)=+(-b - 1)x+(b + c + 1) 因为是偶函数，根据偶函数的性质，且二次函数偶函数的一次项系数为， 所以，解得。 又因为，将，代入中， 可得：+(-1)×(-2)+c=7， 解得c=1 所以的解析式为。 【小问2详解】 “在区间上，函数的图象恒在直线的上方”， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 整理得在上恒成立。 设，这是一个二次函数，其对称轴为。 因为对称轴，所以在区间上单调递减。 那么在上的最小值为，计算：h(1)=-3×1 + 1 - m=-1-m， 因为在上恒成立，所以，即，解得。 6.（2021江苏省职教高考数学真题）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝+2x（a＞0，且a≠1）．又直线l：m x+y+2m+5＝0（m∈R）恒过定点A，且点A在函数f（x）的图象上． （1）求实数a的值； （2）求f（﹣4）+f（8）的值； （3）求函数f（x）的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】（1）先找直线恒过的定点，再利用偶函数性质，代入时的解析式求； （2）利用偶函数性质将转化为，再分别代入对应区间的解析式计算，最后求和； （3）已知时的解析式，利用偶函数性质代入的解析式，推导时的表达式，再结合的解析式，得到完整的分段函数。 【详解】 【小问1详解】 根据题意，直线l：m x+y+2m+5＝0即m（x+2）＝﹣y﹣5（m∈R）恒过定点A， 则有，解可得，故定点A（﹣2，﹣5）， 点A在函数f（x）的图象上，而函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数， 又x＜0时，f（x）＝，则f（﹣2）＝loga2﹣4＝﹣5，变形可得loga2＝﹣1， 解可得； 【小问2详解】 根据题意，由（1）的结论，a＝，则f（x）＝， 则f（﹣4）＝＝﹣10，f（﹣8）＝＝﹣19， 则f（8）＝f（﹣8）＝﹣19， 则f（﹣4）+f（8）＝﹣10﹣19＝﹣29； 【小问3详解】 当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣2x， 又由函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数， 则f（x）＝f（﹣x）＝﹣2x， 故f(x)= 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $