专题08 计数原理与概率统计-浙江省五年（2021-2025）单独考试招生文化考试数学《真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题08计数原理与概率统计 1.掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决有关问题； 2.理解排列、组合的概念及性质，会用排列数和组合数公式计算简单的排列组合问题； 3.理解二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别； 4.了解样本空间、随机事件、基本事件、古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质，会求简单随机事件的古典概率，会求互斥事件的概率； 5理解总体、个体、样本、样本容量的概念，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，并会解决简单的抽样问题； 6.理解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 7.理解样本平均数、方差、标准差的概念，会用方差、标准差判断数据的离散程度； 8.理解离散型随机变量的分布列，了解几次独立重复试验的特征和伯努利概型；了解正态分布的特点及正态曲线的形状，了解随机变量的二项分布及数字特征； 9.会用一元线性回归模型进行有关问题的预测； 10.能运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题. 考点01计数原理与排列组合 1. （2025年浙江）将“培养学生勇于探索的科学精神和精益求精的工匠精神”这句话的个字分别写在张卡片上，一张卡片一个字，任取一张，取到“学”字卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 2. （2025年浙江）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 3. （2024年浙江）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 4.（2023年浙江）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5.（2022年浙江） 从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 20 6.（2021年浙江）从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 15种 D. 20种 考点02二项式定理 1. （2025年浙江） 下列各式中，展开式含有常数项的是（ ） A. B. C. D. 2.（2024年浙江）的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ） A. B. C. D. 3.（2023年浙江）的展开式的常数项是（ ）. A. B. C. 2 D. 3 4.（2022年浙江）的展开式中的系数为__________． 5.（2021年浙江）已知展开式中各项系数之和为，则______. 考点03概率 1. （2025年浙江）从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. （2024年浙江）某车站有四个出口，乘客甲从中随机选一个出口出站，则选择出口的概率是____________. 3.（2023年浙江）假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 4. （2022年浙江） 已知箱子中有5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球，取出的两个球颜色相同的概率为__________． 5. （2021年浙江）三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08计数原理与概率统计 1.掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决有关问题； 2.理解排列、组合的概念及性质，会用排列数和组合数公式计算简单的排列组合问题； 3.理解二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别； 4.了解样本空间、随机事件、基本事件、古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质，会求简单随机事件的古典概率，会求互斥事件的概率； 5理解总体、个体、样本、样本容量的概念，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，并会解决简单的抽样问题； 6.理解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 7.理解样本平均数、方差、标准差的概念，会用方差、标准差判断数据的离散程度； 8.理解离散型随机变量的分布列，了解几次独立重复试验的特征和伯努利概型；了解正态分布的特点及正态曲线的形状，了解随机变量的二项分布及数字特征； 9.会用一元线性回归模型进行有关问题的预测； 10.能运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题. 考点01计数原理与排列组合 1. （2025年浙江）将“培养学生勇于探索的科学精神和精益求精的工匠精神”这句话的个字分别写在张卡片上，一张卡片一个字，任取一张，取到“学”字卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知“培养学生勇于探索的科学精神和精益求精的工匠精神”中有个字， 其中有“学”字有个， 所以取到“学”字卡片概率为， 故选：D. 2. （2025年浙江）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先观察这几个几何体有几个三角形面，再根据排列数计算即可. 【详解】一共有5个几何体，其中从左至右第1、3、5个几何体有三角形面， 第一步，这3个有三角形面的几何体排在一起，排列方法有种，将其看作一个元素； 第二步，再与其余2个几何体一起共3个元素进行全排列，有种方法， 所以共有排列方法（种）. 故选：C. 3. （2024年浙江）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计算原理和排列的定义，先安排队员再安排教练即可求解. 【详解】由题意， 先安排队员，共有种排法， 因为教练不排两端， 故教练在中间三个位置上选一个有种排法， 所以不同的排法共有种. 故选：B. 4.（2023年浙江）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】通过分步计数与插空法求解. 【详解】首先将两个穿红衣服的人排列，构成三个空， 再把一个穿黄色衣服的人安排在最中间的空中， 把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中， 所以共有种. 故选：C 5.（2022年浙江） 从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析，利用排列数公式计算即可. 【详解】从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记， 则不同选法的种数为. 故选：D. 6.（2021年浙江）从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 15种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，与顺序无关，是组合问题，据此可求解. 【详解】从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法有 （种）. 故选：B 考点02二项式定理 1. （2025年浙江） 下列各式中，展开式含有常数项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先求解二项式的通项，再根据常数项令求解即可. 【详解】设二项式， 则该二项展开式的通项为：， 由得， ∴n必须是3的整数倍，n可以是6. 故选：B. 2.（2024年浙江）的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定二项式系数最大的项为最中间的项，根据二项式展开式的通项公式求出最中间的项即可. 【详解】因为的二项展开式中共有项， 二项式系数最大的项为最中间的项，即第项， 则其最中间的项为. 故选：A. 3.（2023年浙江）的展开式的常数项是（ ）. A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式，即可求解. 【详解】根据题意，常数项由分别来自，的项组成， 的展开式的通项为， 则第一个因式取2，第二个因式取，得； 第一个因式取，第二个因式取，得； 因此的展开式的常数项是. 故选：D. 4.（2022年浙江）的展开式中的系数为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】把按照二项式展开可得，项，再乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解. 【详解】 所以的系数为. 故答案为:. 5.（2021年浙江）已知展开式中各项系数之和为，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】令，可得展开式中各项系数之和为，据此可求解. 【详解】令，可得展开式中各项系数之和为， 由题可得， 所以， 解得. 故答案为：5 考点03概率 1. （2025年浙江）从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合的相关知识解答. 【详解】从从甲、乙、丙、丁四人中任选两人共有中情况， 选到甲的可能只有甲乙、甲丙、甲丁三种情况， 故甲被选中的概率. 故选:B. 2. （2024年浙江）某车站有四个出口，乘客甲从中随机选一个出口出站，则选择出口的概率是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知车站有四个出口，随机选一个共有种选择， 选择出口只是其中的种， 所以选择出口的概率是. 故答案为：. 3.（2023年浙江）假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据古典概型的基本概念，结合组合数运算，即可求解. 【小问1详解】 由题，5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，有2个秘书职位，且5个人被录用的机会相等， 女孩A得到一个职位的事件即为女孩A和其余四个女孩其中一人得到一个职位， 故女孩A得到一个职位的概率为：. 【小问2详解】 女孩A和B各得到一个职位的事件只有一种， 故女孩A和B各得到一个职位的概率为：， 【小问3详解】 女孩A或B得到一个职位即总和中除去女孩女孩A和B都得不到一个职位， 故女孩A或B得到一个职位的概率即为 4. （2022年浙江） 已知箱子中有5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球，取出的两个球颜色相同的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列组合与古典概型即可求解. 【详解】从5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球的方法数有种， 而颜色相同的方法数有种， 利用古典概型概率公式得，取出的两个球颜色相同的概率为. 故答案为:. 5. （2021年浙江）三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有8种，而投入一个盒子包含2个基本事件，根据古典概型及性质可求解. 【详解】设“每个盒子都有乒乓球”为事件A，由题可知 三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有（种）， 三个不同颜色的乒乓球随机投入一个盒子包含2个基本事件，所以 . 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $