专题07 平面向量与立体几何-浙江省五年（2021-2025）单独考试招生文化考试数学《真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题07 平面向量与立体几何 平面向量： 1.理解向量及有关的概念，掌握向量加法、减法和数乘向量运算； 2.掌握向量夹角的定义、内积的定义和性质； 3.掌握向量的直角坐标表示及运算； 4.会判断两个非零向量是否平行、垂直； 5.能利用向量的知识解决相关问题. 立体几何： 1.了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2.理解几何体的三视图，掌握直观图的斜二测画法，能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 3.会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积； 4.理解平面的基本性质； 5.理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 6.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质； 7.理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 8.理解异面直线所成角、直线与平面所成角的概念，并会解决相关的简单问题；了解二面角的概念. 考点01平面向量 （1） 平面向量的线性运算与坐标表示 1. （2025年浙江）已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. （2024年浙江）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3.（2023年浙江）向量，，则（ ）. A. B. C. D. 4. （2022年浙江）已知点，则（ ） A. B. C. D. 5. （2021年浙江）正三角形的边长为1，为边上动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. （2） 平面向量的内积 6. （2022年浙江）已知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 考点02立体几何 （1） 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 1.（2025年浙江）如图，按图②中的圆柱的轴截面进行切割，得到四分之一部分，得到的几何体如图①所示，．若圆柱的高为2，底面半径为1，则图①中的几何体的表面积为__________． 2. （2024年浙江）刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“壍（qiàn）堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑（biē nào）”.如图所示，壍堵可斜解为“阳马”和“鳖臑”两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3.（2024年浙江）如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积____________. 4.（2023年浙江）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）. A. 100 B. 128 C. 144 D. 192 5. （2022年浙江）一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为圆柱.将一个实心玻璃球放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了（水没有外溢），则球的半径为__________． 6. （2021年浙江）直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体积为__________． （2） 空间中点、线、面的位置关系 7.（2025年浙江）如图，长方体中，，，，O为上底面中心.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的大小. 8.（2024年浙江）如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的平面角的正切值. 9. （2023年浙江）如图所示，圆柱内接直三棱柱，该三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆O的直径，且，．求 （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 10. （2023年浙江）如果直线和直线没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 11. （2022年浙江）点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. （2022年浙江）如图所示，在正方体中，异面直线和CD所成角的正弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 13. （2022年浙江）如图（1）所示，在棱长为1的正方体中，分别沿相邻三个面的对角线截去三个三棱锥和，得到如图（2）所示的几何体． 求： （1）图（2）所示几何体的体积V； （2）二面角的平面角的余弦值． 14. （2021年浙江）已知是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. （2021年浙江）如图，正四棱柱，， （1）求二面角的平面角的正切值； （2）求四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量与立体几何 平面向量： 1.理解向量及有关的概念，掌握向量加法、减法和数乘向量运算； 2.掌握向量夹角的定义、内积的定义和性质； 3.掌握向量的直角坐标表示及运算； 4.会判断两个非零向量是否平行、垂直； 5.能利用向量的知识解决相关问题. 立体几何： 1.了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2.理解几何体的三视图，掌握直观图的斜二测画法，能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 3.会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积； 4.理解平面的基本性质； 5.理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 6.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质； 7.理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 8.理解异面直线所成角、直线与平面所成角的概念，并会解决相关的简单问题；了解二面角的概念. 考点01平面向量 （1） 平面向量的线性运算与坐标表示 1. （2025年浙江）已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先确定各点坐标，再求向量坐标，最后相加即可. 【详解】因为正方形ABCD边长为， 所以， 可得点，，， 所以，， 所以. 故选：A. 2. （2024年浙江）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可知，再根据向量的坐标表示求出，即可得出向量的坐标. 【详解】在中，分别为边的中点， 所以为中以为底边的中位线， 所以， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 则. 故选：B. 3.（2023年浙江）向量，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示计算即可. 【详解】已知向量，， 则， 故选：C. 4. （2022年浙江）已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示先求，再求. 【详解】∵, ∴, ∴. 故选：D. 5. （2021年浙江）正三角形的边长为1，为边上动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法运算进行求解即可. 【详解】如图所示， , 当时，最小， 因为为边长为1的正三角形， 所以. 故选：C. （2） 平面向量的内积 6. （2022年浙江）已知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的内积运算，即可求解. 【详解】己知点和动点， 则， ， ， 得， 则实数t的取值范围为， 故答案为： 考点02立体几何 （1） 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 1.（2025年浙江）如图，按图②中的圆柱的轴截面进行切割，得到四分之一部分，得到的几何体如图①所示，．若圆柱的高为2，底面半径为1，则图①中的几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】图①几何体的表面积圆柱侧面积的圆柱底面积的的2倍矩形面积的2倍，根据圆柱侧面积公式、圆的面积公式、矩形面积公式即可求解． 【详解】∵圆柱的侧面积的为，圆柱的底面积的为， 图①中矩形的面积为， ∴图①几何体的表面积为： ． 故答案为：． 2. （2024年浙江）刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“壍（qiàn）堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑（biē nào）”.如图所示，壍堵可斜解为“阳马”和“鳖臑”两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设底面三角形面积为，高为，求出三棱柱与三棱锥的体积，体积相减为四棱锥体积，然后求比值即可. 【详解】设底面三角形面积为， 因为侧棱垂直于底面，所以底面，所以设高， 则三棱柱“壍（qiàn）堵”体积； 则三棱锥“鳖臑（biē nào）”的体积； 则四棱锥“阳马”的体积； 则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为； 故选：C. 3.（2024年浙江）如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，然后根据球的表面积公式和圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】由题意得，圆锥底面的半径，高，半球的半径， 则圆锥的母线长， 则该几何体的表面积. 故答案为：. 4.（2023年浙江）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）. A. 100 B. 128 C. 144 D. 192 【答案】A 【解析】 【分析】先求出上底面和下底面的外接圆的半径，并讨论球心在上或的延长线上即可求解. 【详解】由正弦定理得上底面外接圆圆心为、下底面外接圆圆心为，外接圆半径分别为、， 因为正棱台的上下底面都是正三角形，上、下底面边长分别为和， 根据正弦定理可知，，，解得，. 如图1所示，设球的半径为，球心为，若球心在线段上，， 则,即， 解得，矛盾； 如图2所示，则球心在线段的延长线上， 则,即， 解得，故. 因此球的表面积为. 故选：A. 5. （2022年浙江）一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为圆柱.将一个实心玻璃球放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了（水没有外溢），则球的半径为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】理解题意，根据球及圆柱的体积公式计算即可. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 水位上升增加的体积为：， 则由可得：. 故答案：3. 6. （2021年浙江）直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先分析旋转几何体的组成，再分别求底面圆的半径和锥体的高，即可求得体积. 【详解】等腰直角三角形以其斜边为旋转轴旋转一周，得到的几何体是由2个圆锥组成的，这两个圆锥高为等腰直角三角形的斜边的. 直角边长为1的等腰直角三角形的斜边为，即圆锥高. 圆锥的底面圆半径等于等腰直角三角形的斜边的高，即根据三角形的面积，得到，故. 则该几何体的体积. 故答案为：. （2） 空间中点、线、面的位置关系 7.（2025年浙江）如图，长方体中，，，，O为上底面中心.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，根据四棱锥的体积公式计算即可； （2）通过辅助线找到即为二面角的平面角，再由正切值即可求解角度. 【小问1详解】 连接，，，，作于点H，如图， 易得是四棱锥的高，且， ∴； 【小问2详解】 取底面的中心S，取棱的中点T，连接，，，如图， ∵， ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴， 即二面角的大小为. 8.（2024年浙江）如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出底面积，利用棱锥体积公式求解； （2）根据题意找出二面角的平面角为，求出正切值即可. 【小问1详解】 底面ABCD为菱形，边长为，， 对角线，且相互平分， ， . 面ABCD， . 【小问2详解】 如图，作于，连接， ， 面、面ABCD， ，， 平面，， 平面，又平面， ， 为二面角的平面角， 又， ， 即二面角的平面角的正切值为. 9. （2023年浙江）如图所示，圆柱内接直三棱柱，该三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆O的直径，且，．求 （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）在圆中可得，由线面垂直可证，证得是二面角平面角，在可求其大小； （2）通过变换三棱锥的顶点，从而方便找到高，求得其体积. 【小问1详解】 因为是底面圆的直径， 故， 底面， ，且在平面内相交， 平面 ， 为二面角的平面角． 在中，，， ，即二面角的大小为. 【小问2详解】 如图所示，连接， 由（1）知平面 故. 10. （2023年浙江）如果直线和直线没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可判断. 【详解】因为两条直线平行或异面都没有公共点， 所以两条直线没有公共点可能平行，也可能是异面直线. 故选：D 11. （2022年浙江）点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于x轴的对称,横坐标不变，纵坐标相反即可求解. 【详解】点关于x轴的对称点的坐标. 故选：C. 12. （2022年浙江）如图所示，在正方体中，异面直线和CD所成角的正弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，（或其补角）即为所求角，再解三角形即可. 【详解】 因为，将平移到, 则与所成角即为与所成角， 直线和CD所成角为（或其补角）， ∵在正方体中，直线平面， ∵平面，∴，∴， 设正方体棱长为，则， 在直角三角形中，， ∴， 故选：D. 13. （2022年浙江）如图（1）所示，在棱长为1的正方体中，分别沿相邻三个面的对角线截去三个三棱锥和，得到如图（2）所示的几何体． 求： （1）图（2）所示几何体的体积V； （2）二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱柱与棱锥的关系求解. （2）先确定二面角的平面角的位置，再根据关系求余弦值. 【小问1详解】 ， ， 所以，所求几何体的体积． 【小问2详解】 在正方体中，取AC中点E，连接DE，， 则， 所以即为二面角的平面角 在中，． 所以． 即二面角的平面角的余弦值为． 14. （2021年浙江）已知是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，利用线面平行的性质和判定，线面垂直的性质和判定，判断选项A，B，C，D 是否正确，从而得出结论． 【详解】在A中，若，，则可能或，故A错误， 在B中，若，，则可能或，故B错误， 在C中，若，，则，故C正确， 在D中，若，，则或相交，故D错误． 故选：C． 15. （2021年浙江）如图，正四棱柱，， （1）求二面角的平面角的正切值； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，则有，从而是二面角的平面角，在中可求解； （2）在正四棱柱中，可得平面，即得四棱锥的高为，据此可求解. 【小问1详解】 正四棱柱中， 因为，，，都在平面内， 所以平面. 因为平面， 所以. 所以是二面角的平面角. 在中，； 【小问2详解】 正四棱柱中， 因为，，都在平面内， 所以平面. 所以四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $