专题02 函数及其应用-浙江省五年（2021-2025）单独考试招生文化考试数学《真题分类汇编》（原卷版+解析版）

专题02 函数及其应用 1.理解函数的有关概念及其表示方法； 2.理解函数的两要素，会求一些常见函数的定义域，会根据对应法则求函数值，理解分段函数的概念； 3.理解函数的单调性、奇偶性的定义，掌握增函数、减函数及奇函数、偶函数的图像特征，会判断（证明）函数的单调性、奇偶性； 4.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质，会求二次函数的解析式； 5.能运用函数知识解决简单的实际问题； 6.掌握实数指数幂的运算法则，能利用计算器求实数指数幂的值； 7.理解对数的概念，理解对数的性质和运算法则，能利用计算器求对数值； 8.理解指数函数、对数函数的概念，掌握其图像和性质； 9.能运用指数函数、对数函数的知识解决有关问题. 考点01函数的概念及其表示 1. （2025年浙江）函数，的定义域是（　　） A. B. C. D. 2. （2025年浙江）已知函数，则__________. 3. （2024年浙江） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.（2023年浙江）若函数满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.（2023年浙江）函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 6.（2023年浙江）函数的定义域为_____. 7.（2022年浙江）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8.（2021年浙江）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 9.（2021年浙江）函数，若，则______. 考点02函数的性质 1.（2025年浙江）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 2.（2025年浙江）已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. （2025年浙江）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 4.（2024年浙江）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 5.（2024年浙江）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6.（2023年浙江）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 7.（2023年浙江）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 8.（2022年浙江）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.（2022年浙江）已知二次函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 10.（2021年浙江）下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是（ ） A. B. C. D. 11.（2021年浙江）函数的图像关于直线对称，对称轴左边部分图像如图，则在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 12.（2021年浙江）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 考点03指对幂及其运算 1.（2024年浙江）已知，，，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 2.（2023年浙江）计算：． 3. （2022年浙江）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. （2022年浙江）计算：. 5. （2021年浙江）计算：. 考点04函数综合运用 1. （2024年浙江）设函数，则满足的值为____________. 2.（2024年浙江）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 3.（2022年浙江）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其应用 1.理解函数的有关概念及其表示方法； 2.理解函数的两要素，会求一些常见函数的定义域，会根据对应法则求函数值，理解分段函数的概念； 3.理解函数的单调性、奇偶性的定义，掌握增函数、减函数及奇函数、偶函数的图像特征，会判断（证明）函数的单调性、奇偶性； 4.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质，会求二次函数的解析式； 5.能运用函数知识解决简单的实际问题； 6.掌握实数指数幂的运算法则，能利用计算器求实数指数幂的值； 7.理解对数的概念，理解对数的性质和运算法则，能利用计算器求对数值； 8.理解指数函数、对数函数的概念，掌握其图像和性质； 9.能运用指数函数、对数函数的知识解决有关问题. 考点01函数的概念及其表示 1. （2025年浙江）函数，的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：B. 2. （2025年浙江）已知函数，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴. 故答案为：11. 3. （2024年浙江） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分母不为零，偶次根号下大于等于零，对数函数真数大于零可求. 【详解】要使函数有意义， 需满足，化简得 ，解得：； 则函数的定义域为； 故选：B. 4.（2023年浙江）若函数满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令，即代入解析式中求解即可. 【详解】已知函数满足， 令，得， 所以， 故选：D. 5.（2023年浙江）函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为,所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为. 故选：C. 6.（2023年浙江）函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图像和性质，即可求解. 【详解】对于，有. 故答案为：. 7.（2022年浙江）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式大于等于零即可求解. 【详解】因为， 所以函数的值域为. 故选：A 8.（2021年浙江）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数式中的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式的被开方数为非负数，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 9.（2021年浙江）函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分，两种情况，由内到外计算，据此可求解. 【详解】①当时，， 所以， 解得或（舍去）； ②当时，， 所以，方程无实根. 综上所述，. 故答案为： 考点02函数的性质 1.（2025年浙江）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 2.（2025年浙江）已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的对称轴和开口方向得到其单调性，再由时的值域，得到，进而得到方程有两个且大于1的实根m和n，由得到，设，分析的性质得到，得到，即可解得. 【详解】函数，可知抛物线开口向上，对称轴为， 所以二次函数在上单调递增， 又当时，其值域为， 得，即， 所以方程有两个且大于1的实根m和n，， 即，解得， 设，开口向上，对称轴为，则， 当时，函数单调递减， 所以当时，，，解得， 综上，. 故选：C 3. （2025年浙江）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 【答案】（1）不会响，理由见解析 （2），， （3）没有落地，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格结合题意即可求解. （2）根据待定系数法即可求解. （3）根据把代入二次函数，结合题意即可求解. 【小问1详解】 由题意得，在时，，∵，∴警报器不会响. 【小问2详解】 由题意得，， 则解得，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 则， ∴ ∴物体在时，没有落地. 4.（2024年浙江）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像分析求解即可. 【详解】根据已知的函数图像可知，前2h的路程为， 因为2h到5h为一次函数，又因为， 所以路程为， 所以总路程为. 故选：C. 5.（2024年浙江）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图像，分别写出函数与的单调增区间，即可求解. 【详解】由图可知函数的单调增区间为，； 如图，因为，所以只需将在轴下方的图像翻折到轴上方即可， 由图可知的单调增区间为，，，； 综上函数与均为单调递增的是，； 结合选项单调递增区间为； 故选：B. 6.（2023年浙江）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，二次函数，正弦函数的单调性逐项分析即可. 【详解】指数函数底数为，在定义域上为减函数，故A错误， 指数函数底数为，在定义域上为增函数，故B正确， 二次函数对称轴为，开口向下， 当时为增函数，当时为减函数，故C错误， ，当时，即时为增函数， 当时，即时为减函数，故D错误， 故选：B. 7.（2023年浙江）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）57人，最大利润为20490元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答; （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 由题意可得: 即: 【小问2详解】 由题意可得: 即 ∵ ∴ ∴当人时， 元 答：当培训人数为57人时，培训机构利润最大，最大利润为20490元． 8.（2022年浙江）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得当时，函数取最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号. 综上可得，函数的最小值为2. 故选：. 9.（2022年浙江）已知二次函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数最值得到函数对称轴及单调性，再根据对称轴找与相等的函数值，根据单调性判断大小即可. 【详解】因为二次函数的最小值为， 所以二次函数开口向上，且对称轴为， 则， 且在上单调递减，在上单调递增， 则由可得：， 即. 故选：B. 10.（2021年浙江）下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质可判断. 【详解】对A选项，由可知，函数的顶点坐标为，对称轴为，函数图像开口向下. 令，可得或，即与轴交于点和. 所以函数的简图如下： 由图可知，函数图像经过第一、三、四象限，故错误； 对B选项，由可知，函数的顶点坐标为，对称轴为，函数图像开口向下. 令，可得或，即与轴交于点和， 所以函数的简图如下： 由图可知，函数图像经过第一、二、三、四象限，故正确； 对C选项，由于，且函数图像开口向上，所以函数图像位于轴的上方，不符合题意； 对D选项，由于，且函数图像开口向上，所以图像位于轴的上方，不符合题意； 故选：B 11.（2021年浙江）函数的图像关于直线对称，对称轴左边部分图像如图，则在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据图像对称的性质，找出已知图像单调递增区间，关于对称轴对称区间即为单调递减区间. 【详解】由图像可知，函数在区间上单调递增，且关于直线的对称区间为, 依据函数图像对称的性质，函数在区间上单调递减. 故选：C. 12.（2021年浙江）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 【答案】（1） （2）3.85 【解析】 【分析】（1）根据关系二次函数，将实验数据代入求解即可. （2）根据（1）求出的函数式，求解对称轴即可求解最佳加工时间即可. 【小问1详解】 设u为可食用率，t为加工时间，设 由已知得：，得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以当时，u有最大值，即最佳加工时间为3.85分钟. 考点03指对幂及其运算 1.（2024年浙江）已知，，，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】以为底的对数函数为增函数，则，即； 所以； 以为底的对数函数为增函数，则，即； 所以； 又因为； 综上，； 故选：C. 2.（2023年浙江）计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据对数的运算法则结合阶乘的运算法则计算即可. 【详解】 3. （2022年浙江）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数图像求解. 【详解】由图像，可知它们都是增函数，故有， 又因为当时，函数的图像更接近轴，∴， 由函数的图像知其为减函数，所以，所以， 故选：A. 4. （2022年浙江）计算：. 【答案】150 【解析】 【分析】根据指数幂的运算、对数运算、三角函数值以及排列数运算进行求解. 【详解】 5. （2021年浙江）计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据阶乘运算、根式化简、指数幂运算、对数的运算及特殊角的三角函数值可求解. 【详解】 . 考点04函数综合运用 1. （2024年浙江）设函数，则满足的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数分别代入两个解析式求出的值，保留属于所给区间的值即可. 【详解】若，则，，所以符合条件； 若，则，则，所以符合条件； 综上满足的值为； 故答案为：. 2.（2024年浙江）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 【答案】（1）时段的药物浓度平均增速快 （2） （3）时，药物浓度最高数值为1 【解析】 【分析】（1）根据图表计算出和的增速比较大小即可. （2）根据血液浓度平均增长求解即可.. （3）根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 在时段的药物浓度平均增速快. 【小问2详解】 因为时，是关于的一次函数， 所以时，血液中的浓度平均增长， 所以. 【小问3详解】 因为， ， 当时，药物浓度最高数值为1. 3.（2022年浙江）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）已知的横坐标，根据几何关系求的纵坐标. （2）由题意可知原点，点和点在二次函数图像上，由三点即可解出二次函数解析式. （3）根据二次函数图像即可求出最高点坐标. 【小问1详解】 因为米，米，所以米， 又因为， 所以， 故点B的坐标为． 【小问2详解】 设所求二次函数的解析式为， 因为此函数图像经过点，点和点， 所以，解得． 所以，所求二次函数的解析式为. 【小问3详解】 因为， 所以，当时，． 该运动员飞行到最高点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $